Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बंद बिंदु ( -8 ) को शामिल करता है और खुला बिंदु ( 1 ) को हटाता है। सिरों के प्रकार से असमानता के चिन्ह तय करें। / The closed dot includes ( -8 ), and the open dot excludes ( 1 ). Decide inequality signs from endpoint types.
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक ( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( 3x+4\le 10 \) मिलता है। इसलिए \( x\le 2 \) को बंद बिंदु के साथ दिखाएं। / Multiplying by negative ( -5 ) reverses the sign and gives \( 3x+4\le 10 \). Therefore show \( x\le 2 \) with a closed dot.
A. ( x>-2 ), ( -2 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>-2 ), open dot at ( -2 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -6x<12 ), इसलिए ( x>-2 ) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / Solving gives ( -6x<12 ), so ( x>-2 ). Dividing by a negative reverses the sign.
पहला भाग ( -1 ) से पहले तक है और दूसरा ( -1 ) को शामिल करके ( 6 ) से पहले तक जाता है। इसलिए मिलकर ( 6 ) से छोटी सभी संख्याएं मिलती हैं। / The first part goes before ( -1 ), and the second includes ( -1 ) and goes before ( 6 ). So together they give all numbers less than ( 6 ).
दो से गुणा करने पर \( -8\le x-3<10 \) मिलता है। इसलिए \( -5\le x<13 \) सही है। / Multiplying by ( 2 ) gives \( -8\le x-3<10 \). Therefore \( -5\le x<13 \) is correct.
पहली असमानता से \( x\ge -4 \) और दूसरी से ( x<4 ) मिलता है। दोनों शर्तों का साझा भाग ( [-4,4) ) है। / The first inequality gives \( x\ge -4 \), and the second gives ( x<4 ). The common part of both conditions is ( [-4,4) ).
पूरक में ( -3 ) शामिल हो जाता है और ( 6 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -3 ) becomes included and ( 6 ) is excluded. Open and closed endpoints switch in a complement.
A. \( x\le -3 \) या \( x\ge 8 \)/\( x\le -3 \) or \( x\ge 8 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |2x-5|\ge 11 \) से \( 2x-5\le -11 \) या \( 2x-5\ge 11 \) मिलता है। बराबरी होने से सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |2x-5|\ge 11 \) gives \( 2x-5\le -11 \) or \( 2x-5\ge 11 \). Since equality is included, boundary points are closed.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -5\le x\le 2 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -5\le x\le 2 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
हटाए गए भाग में ( -1 ) शामिल है पर ( 4 ) शामिल नहीं है। इसलिए ( -1 ) हटेगा और ( 4 ) बच जाएगा। / The removed part includes ( -1 ) but excludes ( 4 ). Therefore ( -1 ) is removed and ( 4 ) remains.
कोई संख्या एक साथ ( 3 ) से बड़ी या बराबर और ( 3 ) से छोटी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both greater than or equal to ( 3 ) and less than ( 3 ). For AND, the intersection is empty.
C. ( -2 ) बंद बिंदु बाईं ओर और ( 10 ) खुला बिंदु दाईं ओर/Closed at ( -2 ) shaded left and open at ( 10 ) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\( x\le -2 \) में ( -2 ) बंद है और ( x>10 ) में ( 10 ) खुला है। ( या ) में अलग भागों का संघ बनता है। \(/ In ( x\le -2 ), ( -2 ) is closed, and in ( x>10 ), ( 10 ) is open. OR forms the union of separate parts.\)
पहला भाग ( -9 ) से छोटे मान और दूसरा ( -9 ) सहित बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / The first part gives values less than ( -9 ), and the second gives ( -9 ) and larger values. Together they form the whole number line.
पहला अंतराल ( 4 ) को शामिल करता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। मिलकर छाया \( 1<x\le 12 \) बनती है। / The first interval includes ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Together they form \( 1<x\le 12 \).
C. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 13-3x<-8 ) मिलता है। फिर ( -3x<-21 ) से ( x>7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -4 ) reverses the sign and gives ( 13-3x<-8 ). Then ( -3x<-21 ) gives ( x>7 ).
C. \( -\frac{7}{2} \) खुला और \( \frac{3}{2} \) बंद/\( -\frac{7}{2} \) open and \( \frac{3}{2} \) closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक \( -\frac{7}{2} \) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक \( \frac{3}{2} \) को शामिल करता है। भिन्न सिरों पर भी वही नियम लागू होता है। / The round bracket excludes \( -\frac{7}{2} \), and the square bracket includes \( \frac{3}{2} \). The same rule applies to fractional endpoints.
हल करने पर \( 3\le 3x<18 \), इसलिए \( 1\le x<6 \) मिलता है। बाईं सीमा बंद और दाईं सीमा खुली रहेगी। / Solving gives \( 3\le 3x<18 \), so \( 1\le x<6 \). The left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 5 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 5 ), and the second begins after ( 5 ). Therefore, there is no common part.
A. सिर्फ ( -4 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -4 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x+4|=0 ) पर ( x=-4 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x+4|=0 ) gives ( x=-4 ). So only one closed dot appears.
B. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 2 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 2 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne 2 \) में ( 2 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne 2 \) includes all real numbers except ( 2 ). Show the removed point by an open hole.
A. ( 2 ) खुला, ( 8 ) बंद, और ( 5 ) पर खुला छेद/( 2 ) open, ( 8 ) closed, and an open hole at ( 5 )
Explanation
Simple Explanation
अंतराल ( (2,8] ) में से केवल ( 5 ) हटाया गया है। हटे हुए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / Only ( 5 ) is removed from ( (2,8] ). Show the removed point by an open hole.
B. \( x\le -3 \) या ( x>10 )/\( x\le -3 \) or ( x>10 )
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता से \( x\le -3 \) और दूसरी से ( x>10 ) मिलता है। ( या ) में दोनों भागों का संघ लें। \(/ The first inequality gives ( x\le -3 ), and the second gives ( x>10 ). For OR, take the union of both parts.\)
पहली असमानता से ( x>3 ) और दूसरी से \( x\le 7 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग \( 3<x\le 7 \) है। / The first inequality gives ( x>3 ), and the second gives \( x\le 7 \). For both conditions, the common part is \( 3<x\le 7 \).
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 0 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 0 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 0 ) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं देते हैं। बीच का खुला छेद हटे हुए बिंदु को दिखाता है। / The two intervals give all real numbers except ( 0 ). The open hole in the middle shows the removed point.
C. \( x\ge -15 \), ( -15 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge -15 \), closed at ( -15 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक ( 4 ) से गुणा करने पर \( x+7\ge -8 \) मिलता है। इसलिए \( x\ge -15 \) और बिंदु बंद होगा। / Multiplying by positive ( 4 ) gives \( x+7\ge -8 \). Thus \( x\ge -15 \), and the dot is closed.
दोनों ओर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल हैं। शामिल सीमा को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / Both sides have square brackets, so both boundary values are included. Included boundaries are shown by closed dots.
पहला अंतराल ( 2 ) को शामिल नहीं करता और दूसरा ( 2 ) से शुरू होता है। इसलिए कोई साझा बिंदु नहीं है। / The first interval does not include ( 2 ), and the second starts at ( 2 ). Therefore, there is no common point.
C. सिर्फ ( 3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 3 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों में केवल ( 3 ) साझा है और दोनों में ( 3 ) शामिल है। इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। / The only common point in both intervals is ( 3 ), and ( 3 ) is included in both. Therefore, one closed dot appears.
दिए गए संघ का पूरक ( -1 ) से छोटे मान और ( 4 ) से बड़े पर ( 9 ) तक के मान देता है। ( 9 ) बचता है क्योंकि दूसरा भाग ( 9 ) को शामिल नहीं करता। / The complement of the given union gives values less than ( -1 ) and values greater than ( 4 ) up to ( 9 ). The point ( 9 ) remains because the second part excludes ( 9 ).
C. \( x\ge 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 3 \), closed at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 9-6x\le -9 \), इसलिए \( -6x\le -18 \) और \( x\ge 3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / Simplifying gives \( 9-6x\le -9 \), so \( -6x\le -18 \) and \( x\ge 3 \). Reverse the sign when dividing by a negative.
गोल कोष्ठक \( \frac{1}{4} \) को हटाता है और दाईं ओर तीर बड़े मान देता है। इसलिए \( x>\frac{1}{4} \) होगा। / The round bracket excludes \( \frac{1}{4} \), and the rightward arrow gives larger values. Therefore \( x>\frac{1}{4} \).
दोनों को मिलाकर \( -3\le 2x+5<15 \) मिलता है। हल करने पर \( -4\le x<5 \) होगा। / Together they give \( -3\le 2x+5<15 \). Solving gives \( -4\le x<5 \).
हटाए गए भाग में ( 1 ) शामिल नहीं है लेकिन ( 6 ) शामिल है। इसलिए ( 1 ) तक का बायां भाग बचता है। / The removed part does not include ( 1 ) but includes ( 6 ). Therefore the left part up to ( 1 ) remains.
\( |x-1|\le 3 \) से \( -2\le x\le 4 \) मिलता है। पूर्णांक समाधान में इसी अंतराल के सभी पूर्णांक बिंदु लें। / \( |x-1|\le 3 \) gives \( -2\le x\le 4 \). For integer solutions, take all integer points in this interval.
C. सिर्फ ( 2 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 2 )
Explanation
Simple Explanation
( [2,2] ) में केवल ( 2 ) शामिल होता है। एकल शामिल मान को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / ( [2,2] ) contains only ( 2 ). A single included value is shown by a closed dot.
A. ( x>5 ), ( 5 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>5 ), open at ( 5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( 4x+4>2x+14 ), इसलिए ( 2x>10 ) और ( x>5 ) मिलता है। सख्त चिन्ह में बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( 4x+4>2x+14 ), so ( 2x>10 ) and ( x>5 ). With a strict sign, the dot remains open.
पहला भाग ( 3 ) तक है और दूसरा ( 3 ) से बड़ा है। दोनों में कोई साझा मान नहीं है। / The first part goes up to ( 3 ), and the second is greater than ( 3 ). They have no common value.
दोनों चिन्ह सख्त ( < ) हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल नहीं होंगे। सख्त असमानता में खुला बिंदु लगाएं। / Both signs are strict ( < ), so both boundary values are excluded. Use open dots for strict inequalities.
C. \( x\ge \frac{19}{2} \), \( \frac{19}{2} \) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge \frac{19}{2} \), closed at \( \frac{19}{2} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
तीन से गुणा करने पर \( 18\le 2x-1 \), इसलिए \( x\ge \frac{19}{2} \) मिलता है। \( \le \) में सीमा बिंदु शामिल होता है। / Multiplying by ( 3 ) gives \( 18\le 2x-1 \), so \( x\ge \frac{19}{2} \). The \( \le \) sign includes the boundary point.
दोनों अंतराल ( 5 ) पर मिलते हैं और ( 5 ) शामिल है। इसलिए लगातार छाया ( [-2,8) ) बनती है। / The two intervals meet at ( 5 ), and ( 5 ) is included. Therefore the continuous shading is ( [-2,8) ).
कोई वास्तविक संख्या एक साथ ( 2 ) से छोटी और ( 8 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में साझा भाग लेना होता है। / No real number can be less than ( 2 ) and greater than ( 8 ) at the same time. For AND, take the common part.
B. \( -\frac{3}{4} \) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/Closed dot at \( -\frac{3}{4} \), shaded left
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \( -\frac{3}{4} \) को शामिल करता है और \( -\infty \) बाईं दिशा बताता है। अनंत पर बिंदु नहीं लगाया जाता। / The square bracket includes \( -\frac{3}{4} \), and \( -\infty \) indicates the left direction. No dot is placed at infinity.
बाईं ओर छाया छोटे मान दिखाती है और खुला बिंदु बराबरी को हटाता है। इसलिए ( x<-12 ) सही है। / Left shading shows smaller values, and an open dot excludes equality. Therefore ( x<-12 ) is correct.
A. ( x<-8 ), ( -8 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<-8 ), open at ( -8 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( -10+2x>4x+6 ), इसलिए ( -16>2x ) और ( x<-8 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( -10+2x>4x+6 ), so ( -16>2x ) and ( x<-8 ). In a strict inequality, the boundary point remains open.
