Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्राकृतिक संख्याएँ इस संदर्भ में \(1,2,3,\dots\) से शुरू होती हैं। शर्त \(x<5\) पर \(A=\{1,2,3,4\}\) बनता है। चूँकि \(1,2,3,4\) के सभी सदस्य सेट \(B\) में भी हैं, इसलिए \(A\subset B\) सत्य है। यह proper subset है क्योंकि \(5\in B\) पर \(5\notin A\)। विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों सेट बराबर नहीं हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\) में ऐसा तत्व (5) है जो \(A\) में नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों सेट खाली नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: "\(<5\)" का अर्थ 5 शामिल नहीं है — सीमाएँ ध्यान से पढ़ें। / Here natural numbers are taken as \(1,2,3,\dots\). The condition \(x<5\) yields \(A=\{1,2,3,4\}\). Every element of A is in B, so \(A\subset B\); it is a proper subset because \(5\in B\) but \(5\notin A\). Option A is incorrect since the sets are not equal; option C is incorrect because B has an element (5) not in A; option D is incorrect because neither set is empty. Exam tip: pay attention to strict inequalities — "<5" excludes 5.
A. \(A\subseteq B\) पर \(A\neq B\)/\(A\subseteq B\) but \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
A के सभी तत्व (2, 3, 5) B में मौजूद हैं, इसलिए A ⊆ B सत्य है। परन्तु B में अतिरिक्त तत्व 7 भी है, इसलिए A और B बराबर नहीं हैं (A ≠ B)। इसीलिए A एक उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। विकल्प B गलत है क्योंकि बराबर होने के लिए दोनों में एक जैसे सभी तत्व होने चाहिए; यहाँ 7 केवल B में है। विकल्प C गलत है क्योंकि B में ऐसा तत्व (7) है जो A में नहीं है, अतः B ⊄ A। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 A का सदस्य नहीं है। परीक्षा टिप: यदि एक समुच्चय का हर तत्व दूसरे में है परन्तु दूसरा समुच्चय अतिरिक्त तत्व रखता है, तो पहला समुच्चय उचित उपसमुच्चय होता है और आप इसे A ⊂ B या A ⊆ B और A ≠ B से व्यक्त कर सकते हैं। / Every element of A (2, 3, 5) is contained in B, so A ⊆ B holds. However B has an extra element 7, so A ≠ B; therefore A is a proper subset of B. Option B is wrong because equality requires exactly the same elements in both sets; here 7 is only in B. Option C is incorrect because B contains 7 which is not in A, so B ⊄ A. Option D is false because 7 ∉ A. Exam tip: check whether any element of one set is missing in the other—if all of A are in B but the converse is false, A is a proper subset of B (write A ⊂ B or A ⊆ B with A ≠ B).
किसी समुच्चय के उपसमुच्च्यों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। रिक्त समुच्चय में तत्वों की संख्या \(0\) है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^0=1\)। इसलिए रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय होता है—ख़ुद रिक्त समुच्चय। विकल्प C (2) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(2\) तब मिलता है जब समुच्चय में एक तत्व हो (\(2^1=2\))। विकल्प A (0) और D (अनंत) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या शून्य नहीं हो सकती और रिक्त समुच्चय के लिए अनंत भी नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की गिनती के लिए सीधे सूत्र \(2^n\) याद रखें और \(n\) के स्थान पर समुच्चय के तत्वों की संख्या रखें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). For the empty set \(A\), we have \(n=0\), so the count is \(2^0=1\). Thus the empty set has exactly one subset — itself. Option C (2) is a common mistake: \(2\) would be correct only if the set had one element (\(2^1=2\)). Option A (0) and D (Infinite) are incorrect because a set always has at least one subset (the empty set) and the empty set does not have infinitely many subsets. Exam tip: Apply the formula \(2^n\) each time; first find the number of elements \(n\), then compute \(2^n\).
24 के सम भाजक वे प्राकृतिक संख्या हैं जो 24 को बिना शेष विभाजित करती हैं और सम होने चाहिए। इन्हें लिखने पर \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) आता है। विकल्प C में 10 है, जो 24 का भाजक नहीं है, अतः C, A का उपसमुच्चय नहीं है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प B ({8,12,24}) सभी A के ही तत्व हैं इसलिए सही उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी विकल्प को जाँचते समय पहले वास्तविक सेट A के तत्व लिख लें; शून्य समुच्चय हमेशा किसी भी सेट का उपसमुच्चय होता है। / Even divisors of 24 are natural numbers that divide 24 evenly and are even. So \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\). Option C contains 10, which is not a divisor of 24, therefore C is not a subset of A. A closest distractor, option B ({8,12,24}), consists entirely of elements of A and thus is a valid subset. Exam tip: list the elements of the given set first and then check membership; remember the empty set is a subset of every set.
शर्त \(|x|<3\) का अर्थ है \(-3<x<3\)। पूर्णांकों के लिए इस अंतराल के अंदर आने वाले मान हैं
\(-2,-1,0,1,2\)। अतः \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), जो बिल्कुल \(B\) के बराबर है। इसलिए \(A=B\) सत्य है।
विकल्प B और C असत्य हैं क्योंकि वे किसी सेट को दूसरे का proper subset मानते हैं
(यानि \(A\neq B\))—यहाँ वास्तविकता में दोनों दिशाओं में समावेशन होते हुए भी समता成立 करती है, इसलिए proper subset का दावा गलत है।
विकल्प D गलत है क्योंकि \(3\) परिशर्त \(|x|<3\) को पूरा नहीं करता।
परीक्षा सुझाव: पहले \(|x|<3\) को \(-3<x<3\) में बदलें और तब केवल पूर्णांक लिखें — इससे सेट के तत्व जल्दी स्पष्ट हो जाते हैं। / The inequality \(|x|<3\) is equivalent to \(-3<x<3\).
For integers the elements in this interval are \(-2,-1,0,1,2\). Hence \(A=\{-2,-1,0,1,2\}=B\), so \(A=B\) is correct.
Options B and C are incorrect because they assert a proper-subset relation (\(A\neq B\)), which is false here — although both \(A\subset B\) and \(B\subset A\) hold, that implies equality, not a proper subset.
Option D is false because \(3\) does not satisfy \(|x|<3\).
Exam tip: Convert the absolute-value condition to an interval and list integer members to decide equality quickly.
