Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \) है। परीक्षा में जोड़ के लिए हमेशा डोमेन का प्रतिच्छेद लें। / The common domain is \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \). For addition, always take the intersection of domains.
गुणन में डोमेन (f) और (g) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए केवल (x=3) हटेगा। सरलीकरण से पहले मूल डोमेन देखना जरूरी है। / For product, the domain is the intersection of original domains, so only (x=3) is excluded. Check the original domain before simplifying.
हर जगह (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) मिलते हैं। भाग वाले प्रश्नों में हर के शून्य हमेशा हटाएं। / We need (g(x)\neq0), and \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm2\). In quotient questions, always exclude zeros of the denominator.
((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), इसलिए ((f+g)(4)=2)। पहले फलन जोड़ें, फिर मान रखें। / ((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), so ((f+g)(4)=2). First add the functions, then substitute the value.
((f-g)(x)=4x), अतः ((f-g)(-3)=-12)। घटाव में दूसरे पूरे फलन का चिन्ह बदलना न भूलें। / ((f-g)(x)=4x), hence ((f-g)(-3)=-12). In subtraction, change the sign of the whole second function.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और \(\frac{1}{x-4}\) के लिए \(x\neq4\) चाहिए। इसलिए डोमेन \( [0,\infty\)-{4} ) है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for \(\frac{1}{x-4}\), \(x\neq4\). Hence the domain is \( [0,\infty\)-{4} ).
यद्यपि (fg=1) बनता है, मूल फलनों में (x=-2) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। सरलीकृत अभिव्यक्ति से डोमेन बढ़ाना गलत है। / Although (fg=1), the original functions do not allow (x=-2) and (x=1). It is wrong to enlarge the domain after simplification.
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), पर (x=1) मूल हर को शून्य करता है। रद्द करने के बाद भी हटाए गए बिंदु याद रखें। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), but (x=1) makes the original denominator zero. After cancellation, remember the removed point.
जब \(x\ge2\), तब (|x-2|=x-2), इसलिए (f-g=0)। मापांक वाले फलन में केस बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / When \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so (f-g=0). For modulus functions, making cases is the safest method.
((fg)(x)=x-2(2x+1)), इसलिए ((fg)(-2)=4(-3)=-12)। (fg) का अर्थ (f(x)g(x)) होता है, संयोजन नहीं। / ((fg)(x)=x-2(2x+1)), so ((fg)(-2)=4(-3)=-12). (fg) means (f(x)g(x)), not composition.
