Topic Quiz • 140 questions • 30 seconds per question.
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What is the simplified value of \( \frac{8!}{6!} \)?
A. (56)
\(8!=8\cdot7\cdot6!\), इसलिए मान (56) है। परीक्षा में समान फैक्टोरियल भाग पहले काटें। / Since \(8!=8\cdot7\cdot6!\), the value is (56). In exams, cancel the common factorial part first.
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Find the value of \( \frac{11!}{9!\cdot2!} \).
B. (55)
\(11!=11\cdot10\cdot9!\) और (2!=2), इसलिए मान (55) है। पहले विस्तार करके फिर कटौती करें। / \(11!=11\cdot10\cdot9!\) and (2!=2), so the value is (55). Expand first and then cancel.
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If ( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=42 ), what is the positive value of (n)?
B. (6)
यह (n(n+1)=42) देता है, इसलिए (n=6) है। फैक्टोरियल अनुपात को लगातार गुणनफल में बदलें। / It gives (n(n+1)=42), so (n=6). Convert factorial ratios into consecutive products.
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What is the simplified value of \( \frac{7!+6!}{6!} \)?
C. (8)
\(7!+6!=7\cdot6!+6!=8\cdot6!\), इसलिए मान (8) है। जोड़ में भी सामान्य फैक्टोरियल निकालें। / \(7!+6!=7\cdot6!+6!=8\cdot6!\), so the value is (8). Take common factorials even in sums.
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What is the value of \( \frac{12!}{10!\cdot3!} \)?
A. (22)
\(12!=12\cdot11\cdot10!\) और (3!=6), इसलिए मान (22) है। हर में मौजूद फैक्टोरियल को पहले काटें। / \(12!=12\cdot11\cdot10!\) and (3!=6), so the value is (22). Cancel the denominator factorial first.
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If ( \frac{n!}{(n-2)!}=90 ), what is the value of (n)?
C. (10)
यह (n(n-1)=90) देता है, इसलिए (n=10) है। लगातार दो संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / It gives (n(n-1)=90), so (n=10). Identify the product of two consecutive numbers.
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What is the value of \( \frac{9!}{5!\cdot4!} \)?
A. (126)
(9!) को \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) लिखकर (4!) से भाग देने पर (126) मिलता है। यह संयोजन में आने वाला सामान्य रूप है। / Writing (9!) as \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and dividing by (4!) gives (126). This is a common form in combinations.
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What is ( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} ) equal to?
B. ( (n+3)(n+2) )
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए उत्तर ((n+3)(n+2)) है। बड़ी फैक्टोरियल को छोटी फैक्टोरियल तक फैलाएं। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so the answer is ((n+3)(n+2)). Expand the larger factorial up to the smaller one.
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Find the value of \( \frac{15!}{13!\cdot2} \).
A. (105)
\(15!=15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \) है। पहले सामान्य भाग हटाएं। / \(15!=15\cdot14\cdot13!\), so \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \). Remove the common part first.
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What is the simplified value of \( \frac{6!\cdot5!}{7!\cdot4!} \)?
A. \( \frac{5}{7} \)
(6!) और \(5!=5\cdot4!\) रखने पर मान \( \frac{5}{7} \) आता है। गुणन में छोटे फैक्टोरियल काटना आसान होता है। / Using (6!) and \(5!=5\cdot4!\), the value becomes \( \frac{5}{7} \). In products, cancel smaller factorials carefully.
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What is the value of \( \frac{13!-12!}{11!} \)?
A. (144)
(13!-12!=12!(13-1)=12\cdot12!), इसलिए मान (144) है। घटाव में सामान्य फैक्टर जरूर निकालें। / (13!-12!=12!(13-1)=12\cdot12!), so the value is (144). Always take a common factor in subtraction.
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What is the value of \( \frac{8!}{3!\cdot5!}+\frac{7!}{2!\cdot5!} \)?
C. (91)
पहला पद (56) और दूसरा पद (35) है, इसलिए योग (91) है। मिश्रित अभिव्यक्ति में प्रत्येक पद अलग सरल करें। / The first term is (56) and the second term is (35), so the sum is (91). Simplify each term separately in mixed expressions.
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Which is the correct expansion of ( \frac{(n+4)!}{(n+2)!} )?
B. ( (n+4)(n+3) )
((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!), इसलिए केवल दो गुणक बचते हैं। अनावश्यक ((n+2)) न जोड़ें। / ((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!), so only two factors remain. Do not add an extra ((n+2)).
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If ( \frac{(n+3)!}{(n+1)!}=72 ), what will be the value of (n)?
B. (6)
यह ((n+3)(n+2)=72) है, इसलिए \(9\cdot8=72\) से (n=6) है। लगातार गुणकों को मिलाकर देखें। / It is ((n+3)(n+2)=72), so \(9\cdot8=72\) gives (n=6). Match consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{14!}{12!\cdot2!}-\frac{13!}{11!\cdot2!} \)?
A. (13)
पहला मान (91) और दूसरा (78) है, इसलिए अंतर (13) है। समान प्रकार के पदों को अलग-अलग निकालें। / The first value is (91) and the second is (78), so the difference is (13). Evaluate similar terms separately.
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What is the value of \( \frac{9!}{6!\cdot3!}\cdot\frac{3!}{2!} \)?
C. (252)
पहला भाग (84) है और दूसरा भाग (3), इसलिए गुणनफल (252) है। कटौती से पहले संरचना को ध्यान से देखें। / The first part is (84) and the second part is (3), so the product is (252). Observe the structure carefully before canceling.
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What is ( \frac{(2n)!}{(2n-2)!} ) equal to?
B. (2n(2n-1))
((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!), इसलिए उत्तर (2n(2n-1)) है। सूचक में भी वही फैक्टोरियल नियम लगाएं। / ((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!), so the answer is (2n(2n-1)). Apply the same factorial rule to indexed terms.
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If ( \frac{(2n)!}{(2n-2)!}=132 ), what is the value of (n)?
B. (6)
(2n(2n-1)=132) और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=6) है। पहले ((2n)) को एक संख्या की तरह मानें। / (2n(2n-1)=132) and \(12\cdot11=132\), so (n=6). Treat ((2n)) as one number first.
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What is the value of \( \frac{10!}{7!}-\frac{9!}{6!} \)?
B. (288)
पहला मान \(10\cdot9\cdot8=720\) और दूसरा \(9\cdot8\cdot7=504\), अंतर (216) नहीं बल्कि (216) होगा; सही गणना से (720-504=216) है। / The first value is \(10\cdot9\cdot8=720\) and the second is \(9\cdot8\cdot7=504\), so (720-504=216). Check subtraction carefully after expansion.
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What is the value of \( \frac{5!+4!+3!}{3!} \)?
C. (25)
\(5!=20\cdot3!\), \(4!=4\cdot3!\) और \(3!=1\cdot3!\), इसलिए कुल (25) है। हर पद को समान फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / \(5!=20\cdot3!\), \(4!=4\cdot3!\), and \(3!=1\cdot3!\), so the total is (25). Write every term in the same factorial form.
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If ( \frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=49 ), what is the value of (n)?
C. (7)
पिछले रूप से अभिव्यक्ति \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=49\) और (n=7)। पहले बीजीय रूप सरल करें। / From the simplified form, the expression is \(n^2\), so \(n^2=49\) and (n=7). Simplify the algebraic form first.
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What is the value of \( \frac{16!}{14!\cdot2!} \div \frac{15!}{13!\cdot2!} \)?
A. \( \frac{8}{7} \)
पहला मान (120) और दूसरा (105), इसलिए अनुपात \( \frac{8}{7} \) है। भाग को अनुपात की तरह हल करें। / The first value is (120) and the second is (105), so the ratio is \( \frac{8}{7} \). Solve division as a ratio.
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What is the value of \( \frac{7!}{4!}+\frac{6!}{3!} \)?
B. (780)
पहला मान (210) और दूसरा (120), इसलिए योग (330) है; दिए विकल्पों में सही मान (330) नहीं है। ऐसी स्थिति में प्रश्न या विकल्प त्रुटिपूर्ण होंगे। / The first value is (210) and the second is (120), so the sum is (330); the correct value is not in the options. In such a case, the question or options are incorrect.
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What is the value of \( \frac{11!}{8!}-\frac{10!}{7!} \)?
C. (360)
\(11\cdot10\cdot9=990\) और \(10\cdot9\cdot8=720\), इसलिए अंतर (270) है। लगातार तीन गुणकों का विस्तार करें। / \(11\cdot10\cdot9=990\) and \(10\cdot9\cdot8=720\), so the difference is (270). Expand three consecutive factors.
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If ( \frac{(n+5)!}{(n+3)!}=132 ), what is the value of (n)?
B. (7)
((n+5)(n+4)=132) और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=7) है। लगातार गुणकों से (n) निकालें। / ((n+5)(n+4)=132) and \(12\cdot11=132\), so (n=7). Find (n) from consecutive factors.
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What is the difference between \( \frac{20!}{18!\cdot2!} \) and \( \frac{19!}{17!\cdot2!} \)?
B. (19)
मान (190) और (171) हैं, इसलिए अंतर (19) है। निकट पदों में अंतर अक्सर जल्दी निकलता है। / The values are (190) and (171), so the difference is (19). For nearby terms, the difference often comes quickly.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!} \)?
A. (495)
\( \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495 \) है। बड़े गुणनफल को चरणों में छोटा करें। / \( \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495 \). Reduce the large product step by step.
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What is the value of \( \frac{9!}{4!\cdot5!}+\frac{9!}{3!\cdot6!} \)?
A. (168)
दोनों पद क्रमशः (126) और (84) हैं, इसलिए योग (210) है; सही विकल्प (210) होना चाहिए। विकल्प मिलान करते समय गणना जरूर जांचें। / The two terms are (126) and (84), so the sum is (210); the correct option should be (210). Always verify the option after calculation.
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What is ( \frac{(n+2)!}{(n-1)!} ) equal to?
A. (n(n+1)(n+2))
((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!), इसलिए तीन गुणक बचते हैं। हर तक विस्तार करना न भूलें। / ((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!), so three factors remain. Do not forget to expand down to the denominator.
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What is the value of \( \frac{8!}{5!} \div 3! \)?
C. (56)
\( \frac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6=336 \) और \(336\div6=56\)। भाग के क्रम को न बदलें। / \( \frac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6=336 \) and \(336\div6=56\). Do not change the order of division.
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What is the simplified value of \( \frac{6!}{3!} \times \frac{4!}{5!} \)?
A. (24)
\( \frac{6!}{3!}=120 \) और \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \), इसलिए मान (24) है। उलटे फैक्टोरियल अनुपात में सावधानी रखें। / \( \frac{6!}{3!}=120 \) and \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \), so the value is (24). Be careful with reversed factorial ratios.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!}{(n-2)!} )?
A. ( (n+1)n(n-1) )
((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!), इसलिए तीन गुणक शेष हैं। घटते क्रम में विस्तार करें। / ((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!), so three factors remain. Expand in descending order.
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If ( \frac{(n+1)!}{(n-2)!}=504 ), what is the value of (n)?
B. (8)
((n+1)n(n-1)=504) और \(9\cdot8\cdot7=504\), इसलिए (n=8) है। मध्य संख्या (n) को पहचानें। / ((n+1)n(n-1)=504) and \(9\cdot8\cdot7=504\), so (n=8). Identify the middle number as (n).
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What is the sum of \( \frac{10!}{4!\cdot6!} \) and \( \frac{10!}{3!\cdot7!} \)?
B. (330)
दोनों पद (210) और (120) हैं, इसलिए योग (330) है। हर पद को अलग संयोजन रूप में पहचानें। / The two terms are (210) and (120), so the sum is (330). Identify each term separately in combination form.
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What is the value of \( \frac{18!}{16!\cdot2!} \times \frac{2}{17} \)?
A. (18)
पहला भाग (153) है और \(153\cdot\frac{2}{17}=18\)। पहले बड़ी भिन्न को सरल करें। / The first part is (153), and \(153\cdot\frac{2}{17}=18\). Simplify the larger fraction first.
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What is the simplified value of \( \frac{13!}{10!} \div \frac{12!}{10!} \)?
D. (13)
सामान्य (10!) कटने पर अनुपात \( \frac{13!}{12!}=13 \) मिलता है। भाग में दूसरी भिन्न को उलटकर भी जांच सकते हैं। / After canceling common (10!), the ratio becomes \( \frac{13!}{12!}=13 \). You can also check by inverting the second fraction.
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If ( \frac{(n+4)!}{(n+1)!}=990 ), what is the value of (n)?
C. (8)
((n+4)(n+3)(n+2)=990) और \(12\cdot11\cdot10=1320\) नहीं; \(11\cdot10\cdot9=990\), इसलिए (n=7) है। / ((n+4)(n+3)(n+2)=990), and \(11\cdot10\cdot9=990\), so (n=7). Match the three consecutive factors carefully.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!}-3\cdot\frac{11!}{8!} \)?
A. (132)
पहला भाग (1320) और दूसरा \(3\cdot990=2970\) नहीं; सही दूसरा \(3\cdot990\) है, अतः मान ऋणात्मक होगा और विकल्प त्रुटिपूर्ण हैं। / The first part is (1320), and the second is \(3\cdot990=2970\), so the value is negative and the options are incorrect. Always check signs and multipliers.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!} \div \frac{5!}{2!} \)?
A. (91)
\( \frac{15!}{12!}=15\cdot14\cdot13 \) और \( \frac{5!}{2!}=60 \), इसलिए मान (45.5) नहीं बल्कि (45.5) है; विकल्प त्रुटिपूर्ण हैं। / \( \frac{15!}{12!}=15\cdot14\cdot13 \) and \( \frac{5!}{2!}=60 \), so the value is (45.5); the options are incorrect. Do not force-fit an answer.
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What is the value of \( \frac{7!}{2!\cdot5!}+\frac{8!}{2!\cdot6!} \)?
B. (49)
पहला पद (21) और दूसरा (28), इसलिए योग (49) है। छोटे संयोजन मानों को तेज़ी से पहचानें। / The first term is (21) and the second is (28), so the sum is (49). Recognize small combination values quickly.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!} )?
D. (3(n+1)(n+2))
पहला पद ((n+3)(n+2)(n+1)) और दूसरा (n(n+1)(n+2)) है, इसलिए अंतर (3(n+1)(n+2)) है। समान गुणकों को बाहर निकालें। / The first term is ((n+3)(n+2)(n+1)) and the second is (n(n+1)(n+2)), so the difference is (3(n+1)(n+2)). Take common factors out.
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If ( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=216 ), what is the value of (n)?
A. (6)
सरल रूप (3(n+1)(n+2)) है, इसलिए ((n+1)(n+2)=72) और (n=7) होगा; सही विकल्प (7) है। पहले रूप निकालकर विकल्प मिलाएं। / The simplified form is (3(n+1)(n+2)), so ((n+1)(n+2)=72) and (n=7); the correct option is (7). First simplify and then match options.
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What is the value of \( \frac{11!+10!}{9!} \)?
C. (120)
\(11!=11\cdot10\cdot9!\) और \(10!=10\cdot9!\), इसलिए मान (120) है। जोड़ में सामान्य फैक्टोरियल निकालना तेज तरीका है। / \(11!=11\cdot10\cdot9!\) and \(10!=10\cdot9!\), so the value is (120). Taking the common factorial in addition is a quick method.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{n!}-\frac{(n+1)!}{(n-1)!} )?
A. (2(n+1))
पहला पद ((n+2)(n+1)) और दूसरा (n(n+1)) है, इसलिए अंतर (2(n+1)) है। समान गुणक बाहर निकालें। / The first term is ((n+2)(n+1)) and the second is (n(n+1)), so the difference is (2(n+1)). Take the common factor out.
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If ( \frac{(n+2)!}{n!}-\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=18 ), what is the value of (n)?
B. (8)
सरल रूप (2(n+1)) है, इसलिए (2(n+1)=18) और (n=8)। पहले अभिव्यक्ति को सरल करें। / The simplified form is (2(n+1)), so (2(n+1)=18) and (n=8). Simplify the expression first.
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What is the value of \( \frac{14!}{11!\cdot3!}\cdot\frac{3}{13} \)?
A. (28)
पहला भाग (364) है और \(364\cdot\frac{3}{13}=84\) नहीं, सही कटौती से \( \frac{14\cdot13\cdot12}{6}\cdot\frac{3}{13}=84 \) मिलता है। गणना में हर कटौती को साफ लिखें। / The first part is (364), and \(364\cdot\frac{3}{13}=84\). Write each cancellation clearly during calculation.
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What is the simplified value of \( \frac{9!\cdot4!}{7!\cdot6!} \)?
B. \( \frac{12}{5} \)
\( \frac{9!}{7!}=72 \) और \( \frac{4!}{6!}=\frac{1}{30} \), इसलिए मान \( \frac{12}{5} \) है। बड़े गुणन को छोटे अनुपातों में तोड़ें। / \( \frac{9!}{7!}=72 \) and \( \frac{4!}{6!}=\frac{1}{30} \), so the value is \( \frac{12}{5} \). Break large products into smaller ratios.
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What is ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!} ) equal to?
B. ( (2n+1)(2n) )
((2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!), इसलिए उत्तर ((2n+1)(2n)) है। सूचक वाले फैक्टोरियल में भी क्रम न छोड़ें। / ((2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!), so the answer is ((2n+1)(2n)). Do not skip the order in indexed factorials.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=210 ), what is the value of (n)?
B. (7)
((2n+1)(2n)=210) और \(15\cdot14=210\), इसलिए (2n=14) और (n=7)। पहले लगातार गुणकों को पहचानें। / ((2n+1)(2n)=210) and \(15\cdot14=210\), so (2n=14) and (n=7). Identify the consecutive factors first.
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What is the value of \( \frac{12!}{9!} \)?
C. (1320)
(12!) को \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) लिखने पर मान (1320) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (12!) as \(12\cdot11\cdot10\cdot9!\) gives (1320). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the simplified value of \( \frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
B. (120)
(10!) को \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) लिखकर (3!) से भाग देने पर (120) मिलता है। समान फैक्टोरियल पहले काटें। / Writing (10!) as \(10\cdot9\cdot8\cdot7!\) and dividing by (3!) gives (120). Cancel common factorials first.
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Find the value of \( \frac{8!-7!}{6!} \).
D. (49)
(8!-7!=7!(8-1)) और \( \frac{7!}{6!}=7 \), इसलिए मान (49) है। घटाव में सामान्य फैक्टर निकालें। / (8!-7!=7!(8-1)) and \( \frac{7!}{6!}=7 \), so the value is (49). Take the common factor in subtraction.
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If ( \frac{(n+2)!}{n!}=90 ), what is the value of (n)?
A. (8)
यह ((n+2)(n+1)=90) देता है और \(10\cdot9=90\), इसलिए (n=8)। लगातार गुणकों को पहचानना तेज तरीका है। / It gives ((n+2)(n+1)=90), and \(10\cdot9=90\), so (n=8). Recognizing consecutive factors is a quick method.
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If ( \frac{n!}{(n-3)!}=336 ), what is the positive value of (n)?
C. (8)
यह (n(n-1)(n-2)=336) है और \(8\cdot7\cdot6=336\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=336), and \(8\cdot7\cdot6=336\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!+(n+1)!}{n!} )?
B. ( (n+1)(n+3) )
दोनों पदों में ((n+1)!) सामान्य है, इसलिए सरल रूप ((n+1)(n+3)) है। पहले सामान्य फैक्टोरियल बाहर निकालें। / ((n+1)!) is common in both terms, so the simplified form is ((n+1)(n+3)). Take the common factorial out first.
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If ( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!}=49 ), what will be the value of (n)?
D. (5)
अभिव्यक्ति ((n+2)2) बनती है, इसलिए ((n+2)2=49) और (n=5)। पहले घटाव को सरल करें। / The expression becomes ((n+2)2), so ((n+2)2=49) and (n=5). Simplify the subtraction first.
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What is the simplified value of \( \frac{14!}{11!}\div\frac{7!}{4!} \)?
A. \( \frac{52}{5} \)
मान \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात अलग-अलग फैलाएं। / The value is \( \frac{14\cdot13\cdot12}{7\cdot6\cdot5}=\frac{52}{5} \). In division, expand both factorial ratios separately.
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What is the value of \( \frac{9!}{6!\cdot2!} \)?
C. (252)
(9!) को \(9\cdot8\cdot7\cdot6!\) लिखें और (2!) से भाग दें। इससे मान (252) आता है। / Write (9!) as \(9\cdot8\cdot7\cdot6!\) and divide by (2!). This gives (252).
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What is ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!} ) equal to?
B. ( (2n+2)(2n+1) )
((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), इसलिए उत्तर ((2n+2)(2n+1)) है। सूचक वाले फैक्टोरियल में क्रम न छोड़ें। / ((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!), so the answer is ((2n+2)(2n+1)). Do not skip the order in indexed factorials.
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If ( \frac{(2n+2)!}{(2n)!}=132 ), what is the value of (n)?
D. (5)
यह ((2n+2)(2n+1)=132) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=5)। पहले लगातार गुणकों को मिलाएं। / It gives ((2n+2)(2n+1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (n=5). Match the consecutive factors first.
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What is the simplified form of ( \frac{m!}{(m-2)!(m-1)} )?
A. (m)
(m!=m(m-1)(m-2)!), इसलिए काटने पर (m) बचता है। फैक्टोरियल को ठीक उसी सीमा तक फैलाएं। / (m!=m(m-1)(m-2)!), so (m) remains after cancellation. Expand the factorial exactly up to the needed limit.
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If ( \frac{n!}{(n-2)!}=9n ), what is the positive value of (n)?
B. (10)
बायां पक्ष (n(n-1)) है, इसलिए (n(n-1)=9n)। (n>0) होने से (n-1=9) और (n=10)। / The left side is (n(n-1)), so (n(n-1)=9n). Since (n>0), (n-1=9) and (n=10).
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What is the value of \( \frac{11!}{8!\cdot3!}\div\frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
C. \( \frac{11}{8} \)
पहला पद (165) और दूसरा (120) है, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{8} \) है। भाग को भिन्न के अनुपात की तरह लें। / The first term is (165) and the second is (120), so the ratio is \( \frac{11}{8} \). Treat division as a ratio of fractions.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}-\frac{11!}{7!\cdot4!} \)?
A. (165)
दोनों पद क्रमशः (495) और (330) हैं, इसलिए अंतर (165) है। पहले हर पद को अलग सरल करें। / The two terms are (495) and (330), so the difference is (165). Simplify each term separately first.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!+n!}{n!} )?
D. (n+2)
((n+1)!=(n+1)n!) है, इसलिए योग ((n+2)n!) बनता है। भाग देने पर (n+2) मिलता है। / ((n+1)!=(n+1)n!), so the sum becomes ((n+2)n!). Dividing gives (n+2).
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If ( \frac{(n+1)!+n!}{n!}=13 ), what is the value of (n)?
C. (11)
सरल रूप (n+2) है, इसलिए (n+2=13) और (n=11)। पहले अभिव्यक्ति को छोटा करें। / The simplified form is (n+2), so (n+2=13) and (n=11). Reduce the expression first.
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What is the value of \( \frac{15!}{13!}-\frac{14!}{12!} \)?
B. (28)
पहला मान \(15\cdot14=210\) और दूसरा \(14\cdot13=182\) है। अंतर (28) है। / The first value is \(15\cdot14=210\) and the second is \(14\cdot13=182\). The difference is (28).
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What is the value of \( \frac{6!}{3!}+\frac{5!}{2!} \)?
D. (180)
दोनों पद (120) और (60) हैं, इसलिए योग (180) है। मिश्रित योग में हर पद अलग हल करें। / The two terms are (120) and (60), so the sum is (180). In a mixed sum, solve each term separately.
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If ( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}+\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=200 ), what is the value of (n)?
C. (7)
अभिव्यक्ति (2(n+3)2) बनती है, इसलिए (2(n+3)2=200)। इससे (n+3=10) और (n=7)। / The expression becomes (2(n+3)2), so (2(n+3)2=200). Thus (n+3=10) and (n=7).
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What is the simplified form of ( \frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{n+3} )?
D. ( (n+2)(n+1) )
ऊपर का अनुपात ((n+3)(n+2)(n+1)) है। (n+3) से भाग देने पर ((n+2)(n+1)) बचता है। / The upper ratio is ((n+3)(n+2)(n+1)). Dividing by (n+3) leaves ((n+2)(n+1)).
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What is the value of \( \frac{13!}{10!\cdot3!}-\frac{12!}{9!\cdot3!} \)?
B. (66)
पहला पद (286) और दूसरा (220) है, इसलिए अंतर (66) है। ऐसे प्रश्नों में हर पद का मान लिखकर घटाएं। / The first term is (286) and the second is (220), so the difference is (66). In such questions, write each term value and subtract.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (72)?
A. (6)
\(72=2^3\cdot3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(72=2^3\cdot3^2\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
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How many zeros will be at the end of (18!)?
D. (3)
अंतिम शून्यों की संख्या (5) के गुणकों से मिलती है और (18!) में (5,10,15) हैं। इसलिए कुल (3) शून्य होंगे। / The number of ending zeros comes from multiples of (5), and (18!) has (5,10,15). Therefore, there are (3) zeros.
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What is the highest power of (2) that divides (10!)?
C. (8)
घात \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=8 \). For prime exponents, add the quotients.
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What will be the highest power of (5) in (25!)?
B. (6)
घात \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{25}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{25}\right\rfloor=6 \). Do not forget higher multiples such as (25).
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!} )?
C. \( \frac{n}{n+1} \)
( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) और ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), इसलिए उत्तर \( \frac{n}{n+1} \) है। अनुपात को दो छोटे भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-1)!}=n ) and ( \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} ), so the answer is \( \frac{n}{n+1} \). Break the ratio into two smaller parts.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{5}{6} ), what is the value of (n)?
A. (5)
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है, इसलिए \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \)। इससे (n=5) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \), so \( \frac{n}{n+1}=\frac{5}{6} \). This gives (n=5).
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{(n-2)!\cdot n(n-1)} )?
B. ( (n+2)(n+1) )
ऊपर ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!) बनता है। हर से काटने पर ((n+2)(n+1)) बचता है। / The numerator becomes ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!). After cancellation with the denominator, ((n+2)(n+1)) remains.
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If ( \frac{(n+2)!}{(n-2)!}=1680 ), what is the value of (n)?
D. (6)
यह ((n+2)(n+1)n(n-1)=1680) है। \(8\cdot7\cdot6\cdot5=1680\), इसलिए (n=6)। / It is ((n+2)(n+1)n(n-1)=1680). Since \(8\cdot7\cdot6\cdot5=1680\), (n=6).
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What is the value of \( \frac{16!}{14!\cdot2!}+\frac{15!}{13!\cdot2!} \)?
C. (225)
पहला पद (120) और दूसरा (105) है, इसलिए योग (225) है। जोड़ने से पहले दोनों भाग अलग निकालें। / The first term is (120) and the second is (105), so the sum is (225). Find both parts separately before adding.
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What is the simplified value of \( \frac{18!}{15!}\div\frac{6!}{3!} \)?
B. \( \frac{204}{5} \)
मान \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \) है। भाग में दोनों पक्षों को समान लंबाई के गुणनफल में बदलें। / The value is \( \frac{18\cdot17\cdot16}{6\cdot5\cdot4}=\frac{204}{5} \). In division, convert both sides into products of equal length.
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What is ( \frac{(3n)!}{(3n-2)!} ) equal to?
A. (3n(3n-1))
((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), इसलिए उत्तर (3n(3n-1)) है। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n)!=(3n)(3n-1)(3n-2)!), so the answer is (3n(3n-1)). Handle the indexed term as one unit.
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If ( \frac{(3n)!}{(3n-2)!}=132 ), what is the value of (n)?
D. (4)
यह (3n(3n-1)=132) है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (3n=12)। अतः (n=4)। / It is (3n(3n-1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (3n=12). Hence (n=4).
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Which is the correct expansion of ( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} )?
C. ( (2n)(2n-1)(2n-2) )
((2n)!) को ((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!) तक फैलाते हैं। इसलिए तीन गुणक शेष रहते हैं। / We expand ((2n)!) up to ((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!). Therefore, three factors remain.
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If ( \frac{(2n)!}{(2n-3)!}=720 ), what is the value of (n)?
A. (5)
यह ((2n)(2n-1)(2n-2)=720) है। \(10\cdot9\cdot8=720\), इसलिए (2n=10) और (n=5)। / It is ((2n)(2n-1)(2n-2)=720). Since \(10\cdot9\cdot8=720\), (2n=10) and (n=5).
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By how much is \( \frac{9!}{7!} \) greater than \( \frac{8!}{6!} \)?
B. (16)
पहला मान (72) और दूसरा (56) है। अंतर (16) है। / The first value is (72) and the second is (56). The difference is (16).
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What is the simplified value of \( \frac{4!\cdot8!}{5!\cdot7!} \)?
D. \( \frac{8}{5} \)
\( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) और \( \frac{8!}{7!}=8 \), इसलिए मान \( \frac{8}{5} \) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \) and \( \frac{8!}{7!}=8 \), so the value is \( \frac{8}{5} \). Cancel separate ratios in multiplication.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!} )?
C. (2n)
पहला पद (n(n+1)) और दूसरा (n(n-1)) है। अंतर (2n) है। / The first term is (n(n+1)) and the second is (n(n-1)). The difference is (2n).
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If ( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}-\frac{n!}{(n-2)!}=18 ), what is the value of (n)?
B. (9)
सरल रूप (2n) है, इसलिए (2n=18)। अतः (n=9)। / The simplified form is (2n), so (2n=18). Hence (n=9).
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What is the simplified form of ( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!} )?
A. (3n(n+1))
पद (n(n+1)(n+2)) और (n(n+1)(n-1)) बनते हैं। अंतर (3n(n+1)) है। / The terms become (n(n+1)(n+2)) and (n(n+1)(n-1)). The difference is (3n(n+1)).
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If ( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=216 ), what is the value of (n)?
D. (8)
सरल रूप (3n(n+1)) है, इसलिए (n(n+1)=72)। \(8\cdot9=72\), इसलिए (n=8)। / The simplified form is (3n(n+1)), so (n(n+1)=72). Since \(8\cdot9=72\), (n=8).
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How many consecutive factors remain in the expansion of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
B. (4)
विस्तार ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)) है, इसलिए (4) गुणक बचते हैं। फैक्टोरियल अंतर से गुणकों की संख्या मिलती है। / The expansion is ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)), so (4) factors remain. The factorial gap gives the number of factors.
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When (n=3), what is the value of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
C. (1680)
(n=3) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \)। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=3) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
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What is the value of \( \frac{20!}{18!\cdot2!}-\frac{19!}{18!} \)?
A. (171)
पहला पद (190) और दूसरा (19) है। अंतर (171) है। / The first term is (190) and the second is (19). The difference is (171).
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What is the simplified value of \( \frac{11!}{5!\cdot6!}\div\frac{10!}{5!\cdot5!} \)?
D. \( \frac{11}{6} \)
दोनों पद (462) और (252) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{11}{6} \) है। बड़े मानों को काटकर सरल अनुपात बनाएं। / The two terms are (462) and (252), so the ratio is \( \frac{11}{6} \). Reduce large values to a simple ratio.
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If ( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}=182 ), what is the value of (n)?
B. (10)
यह ((n+4)(n+3)=182) है और \(14\cdot13=182\)। इसलिए (n+4=14) और (n=10)। / It is ((n+4)(n+3)=182), and \(14\cdot13=182\). Therefore, (n+4=14) and (n=10).
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What is the value of \( \frac{16!}{13!} \)?
C. (3360)
(16!) को \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) लिखने पर मान (3360) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (16!) as \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) gives (3360). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
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What is the simplified value of \( \frac{13!}{10!\cdot3!} \)?
B. (286)
\( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \) है। हर में आए छोटे फैक्टोरियल को सही मान से बदलें। / \( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \). Replace the small factorial in the denominator correctly.
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Find the value of \( \frac{12!-11!}{10!} \).
A. (121)
(12!-11!=11!(12-1)) और \( \frac{11!}{10!}=11 \), इसलिए मान (121) है। घटाव में सामान्य फैक्टर जरूर निकालें। / (12!-11!=11!(12-1)) and \( \frac{11!}{10!}=11 \), so the value is (121). Always take a common factor in subtraction.
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If ( \frac{(n+2)!}{n!}=132 ), what is the value of (n)?
C. (10)
यह ((n+2)(n+1)=132) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=10) है। लगातार गुणकों को पहचानें। / It gives ((n+2)(n+1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (n=10). Recognize consecutive factors.
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If ( \frac{n!}{(n-3)!}=504 ), what is the positive value of (n)?
C. (9)
यह (n(n-1)(n-2)=504) है और \(9\cdot8\cdot7=504\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=504), and \(9\cdot8\cdot7=504\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
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Which is the correct expansion of ( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} )?
A. ( (n+3)(n+2) )
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। नीचे वाले फैक्टोरियल तक ही विस्तार करें। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so two factors remain. Expand only up to the denominator factorial.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!} )?
B. (n(n+2))
((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), इसलिए उत्तर (n(n+2)) है। पहले (n!) को सामान्य फैक्टर बनाएं। / ((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), so the answer is (n(n+2)). First take (n!) as the common factor.
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If ( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 ), what will be the value of (n)?
C. (7)
सरल रूप (n(n+2)) है, इसलिए (n(n+2)=63)। \(7\cdot9=63\), इसलिए (n=7)। / The simplified form is (n(n+2)), so (n(n+2)=63). Since \(7\cdot9=63\), (n=7).
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If ( \frac{(n+2)!-(n+1)!}{n!}=100 ), what is the value of (n)?
C. (9)
अभिव्यक्ति ((n+1)2) बनती है, इसलिए (n+1=10)। अतः (n=9)। / The expression becomes ((n+1)2), so (n+1=10). Hence (n=9).
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What is the simplified value of \( \frac{9!\cdot5!}{7!\cdot6!} \)?
A. (12)
\( \frac{9!}{7!}=72 \) और \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), इसलिए मान (12) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{9!}{7!}=72 \) and \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), so the value is (12). Cancel separate ratios in multiplication.
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What is the value of \( \frac{7!}{4!}\div\frac{6!}{3!} \)?
B. \( \frac{7}{4} \)
पहला अनुपात (210) और दूसरा (120) है, इसलिए भाग \( \frac{7}{4} \) है। भाग को अनुपात की तरह हल करें। / The first ratio is (210) and the second is (120), so the quotient is \( \frac{7}{4} \). Solve division as a ratio.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!\cdot3!}\times\frac{2}{13} \)?
A. (35)
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{2}{13}=70\) नहीं; सही विकल्पों में मान नहीं है। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{2}{13}=70\); the correct value is not among the options.
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What is the value of \( \frac{15!}{12!\cdot3!}\times\frac{3}{13} \)?
A. (105)
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{3}{13}=105\) है। कठिन गुणन में पहले कटौती करें। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{3}{13}=105\). In hard multiplication, cancel first.
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What is the value of \( \frac{14!}{12!\cdot2!}+\frac{13!}{11!\cdot2!} \)?
B. (169)
दोनों पद क्रमशः (91) और (78) हैं, इसलिए योग (169) है। जोड़ने से पहले हर पद अलग निकालें। / The two terms are (91) and (78), so the sum is (169). Find each term separately before adding.
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What is the value of \( \frac{18!}{16!\cdot2!}-\frac{17!}{15!\cdot2!} \)?
C. (17)
पहला पद (153) और दूसरा (136) है, इसलिए अंतर (17) है। निकट फैक्टोरियल पदों का अंतर सावधानी से घटाएं। / The first term is (153) and the second is (136), so the difference is (17). Subtract nearby factorial terms carefully.
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What is the value of \( \frac{10!}{6!\cdot4!}+\frac{10!}{7!\cdot3!} \)?
D. (330)
दोनों पद (210) और (120) हैं, इसलिए योग (330) है। संयोजन जैसे रूपों में छोटे हर को सही रखें। / The two terms are (210) and (120), so the sum is (330). In combination-like forms, keep the small denominator correct.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=306 ), what is the value of (n)?
B. (8)
यह ((2n+1)(2n)=306) है और \(17\cdot16=272\) नहीं; सही समीकरण के लिए कोई पूर्णांक (n) नहीं मिलेगा। / It is ((2n+1)(2n)=306), and no integer (n) satisfies it. Check whether the matched consecutive factors fit the form.
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If ( \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}=272 ), what is the value of (n)?
C. (8)
यह ((2n+1)(2n)=272) है और \(17\cdot16=272\), इसलिए (2n=16) और (n=8)। पहले लगातार गुणकों को पहचानें। / It is ((2n+1)(2n)=272), and \(17\cdot16=272\), so (2n=16) and (n=8). Identify the consecutive factors first.
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What is ( \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!} ) equal to?
A. ( (3n+1)(3n) )
((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), so two factors remain. Handle the indexed term as one unit.
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If ( \frac{(3n+1)!}{(3n-1)!}=156 ), what is the value of (n)?
B. (4)
यह ((3n+1)(3n)=156) है और \(13\cdot12=156\), इसलिए (3n=12) और (n=4)। रूप पहचानकर मान रखें। / It is ((3n+1)(3n)=156), and \(13\cdot12=156\), so (3n=12) and (n=4). Identify the form and substitute.
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-2)!(n+2)!} )?
B. ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} )
( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) और ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), इसलिए उत्तर मिलता है। अनुपात को दो भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) and ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), so the answer follows. Break the ratio into two parts.
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If ( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=270 ), what is the value of (n)?
B. (8)
सरल रूप (3(n+2)(n+1)) है, इसलिए ((n+2)(n+1)=90)। \(10\cdot9=90\), अतः (n=8)। / The simplified form is (3(n+2)(n+1)), so ((n+2)(n+1)=90). Since \(10\cdot9=90\), (n=8).
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How many zeros will be at the end of (20!)?
B. (4)
अंतिम शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \) है। शून्य गिनने में (5) के गुणकों को गिनें। / The number of ending zeros is \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \). To count zeros, count multiples of (5).
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What is the highest power of (5) in (30!)?
B. (7)
घात \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \). Do not forget higher multiples such as (25).
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What is the highest power of (3) that divides (15!)?
B. (6)
घात \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ते हैं। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \). For a prime exponent, add the quotients.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (180)?
B. (6)
\(180=2^2\cdot3^2\cdot5\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
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What is the value of \( \frac{21!}{19!\cdot2!}-\frac{20!}{18!\cdot2!} \)?
B. (20)
पहला पद (210) और दूसरा (190) है, इसलिए अंतर (20) है। पास-पास वाले पदों में घटाव सावधानी से करें। / The first term is (210) and the second is (190), so the difference is (20). Subtract nearby terms carefully.
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What is the simplified value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}\div\frac{11!}{7!\cdot4!} \)?
A. \( \frac{3}{2} \)
दोनों पद (495) और (330) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{3}{2} \) है। बड़े मानों को सरल अनुपात में बदलें। / The two terms are (495) and (330), so the ratio is \( \frac{3}{2} \). Convert large values into a simple ratio.
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What is the value of \( \frac{8!}{5!}+\frac{7!}{4!} \)?
B. (546)
पहला पद \(8\cdot7\cdot6=336\) और दूसरा \(7\cdot6\cdot5=210\) है। योग (546) है। / The first term is \(8\cdot7\cdot6=336\) and the second is \(7\cdot6\cdot5=210\). The sum is (546).
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What is the value of \( \frac{9!}{4!\cdot5!}-\frac{8!}{4!\cdot4!} \)?
B. (56)
पहला पद (126) और दूसरा (70) है, इसलिए अंतर (56) है। हर पद को अलग सरल करें। / The first term is (126) and the second is (70), so the difference is (56). Simplify each term separately.
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If ( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}=1320 ), what is the value of (n)?
C. (8)
यह ((n+5)(n+4)(n+3)=1320) है और \(13\cdot12\cdot11=1716\) नहीं; \(12\cdot11\cdot10=1320\), इसलिए (n=7)। / It is ((n+5)(n+4)(n+3)=1320). Since \(12\cdot11\cdot10=1320\), (n=7).
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If ( \frac{(n+2)!}{(n-1)!}-\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=330 ), what is the value of (n)?
C. (10)
सरल रूप (3n(n+1)) है, इसलिए (n(n+1)=110)। \(10\cdot11=110\), इसलिए (n=10)। / The simplified form is (3n(n+1)), so (n(n+1)=110). Since \(10\cdot11=110\), (n=10).
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What is the value of \( \frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19} \)?
B. (18)
पहला भाग (171) है और \(171\cdot\frac{2}{19}=18\)। गुणन से पहले (19) से कटौती करें। / The first part is (171), and \(171\cdot\frac{2}{19}=18\). Cancel by (19) before multiplying.
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What is the value of \( \frac{6!+5!+4!}{4!} \)?
A. (35)
\(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\) और \(4!=1\cdot4!\), इसलिए कुल (36) नहीं बल्कि (36) है। / \(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\), and \(4!=1\cdot4!\), so the total is (36).
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By how much is \( \frac{10!}{8!} \) greater than \( \frac{9!}{7!} \)?
D. (18)
पहला मान (90) और दूसरा (72) है। अंतर (18) है। / The first value is (90) and the second is (72). The difference is (18).
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Which factor will not appear in the expansion of ( \frac{(n+4)!}{n!} )?
D. (n)
विस्तार ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)) है, इसलिए (n) शामिल नहीं है। हर वाले (n!) तक कटौती हो जाती है। / The expansion is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)), so (n) is not included. Cancellation stops at the denominator (n!).
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When (n=4), what is the value of ( \frac{(n+4)!}{n!} )?
A. (1680)
(n=4) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \) मिलता है। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=4) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
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What is the value of \( \frac{14!}{10!\cdot4!}-\frac{13!}{10!\cdot3!} \)?
B. (715)
पहला पद (1001) और दूसरा (286) है, इसलिए अंतर (715) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / The first term is (1001) and the second is (286), so the difference is (715). In such questions, calculate both terms separately and subtract.
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What is the simplified form of ( \frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+3)!}{(n-1)!}} )?
D. \( \frac{n+4}{n} \)
ऊपर और नीचे के समान गुणक कटने पर \( \frac{n+4}{n} \) बचता है। बड़े अनुपात को पहले गुणनफल में बदलें। / After canceling the common factors in numerator and denominator, \( \frac{n+4}{n} \) remains. First convert large ratios into products.
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What is the highest power of (2) that divides (14!)?
C. (11)
घात \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \) है। अभाज्य घात निकालते समय सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \). Add all quotients while finding a prime exponent.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (1008)?
B. (7)
\(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\) है और (7!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंडों की जरूरत पूरी करें। / \(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\), and (7!) contains all these factors. For divisibility, satisfy all prime factor requirements.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+4)!+(n+3)!}{(n+2)!} )?
A. ( (n+3)(n+5) )
((n+3)!) सामान्य लेने पर ऊपर ((n+3)!(n+5)) बनता है। भाग देने पर ((n+3)(n+5)) मिलता है। / Taking ((n+3)!) common gives ((n+3)!(n+5)) in the numerator. Dividing gives ((n+3)(n+5)).
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If ( \frac{(n+4)!+(n+3)!}{(n+2)!}=120 ), what is the value of (n)?
B. (7)
सरल रूप ((n+3)(n+5)) है, इसलिए ((n+3)(n+5)=120)। \(10\cdot12=120\), इसलिए (n=7)। / The simplified form is ((n+3)(n+5)), so ((n+3)(n+5)=120). Since \(10\cdot12=120\), (n=7).
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What is the value of \( \frac{12!}{9!}-2\cdot\frac{11!}{8!} \)?
D. (660)
पहला पद (1320) और दूसरा \(2\cdot330=660\) है, इसलिए अंतर (660) है। गुणांक वाले पद में पहले गुणा पूरा करें। / The first term is (1320) and the second is \(2\cdot330=660\), so the difference is (660). Complete the multiplication in the coefficient term first.
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