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दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge0\) और \(5-x\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x-2\ge0\) and \(5-x\ge0\). In exams take the intersection of all conditions.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) चाहिए। ध्यान रखें हर में शून्य स्वीकार नहीं होता। / The denominator has a square root, so \(x^2-9>0\) is needed. Remember zero is not allowed in a denominator.
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2,3) हटेंगे। परीक्षा में पहले हर को शून्य के बराबर करें। / The denominator is (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2,3) are excluded. In exams set the denominator equal to zero first.
\(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\)। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)\geq 3\)। \(x=2\) पर \((x-2)^2=0\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का परास उसके शीर्ष के \(y\)-निर्देशांक से शुरू होता है। / Rewrite the function by completing the square: \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(f(x)\geq 3\). At \(x=2\), the squared term is zero, so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence, the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attainable value \(3\). Exam tip: for an upward-opening quadratic, the range begins at the vertex’s \(y\)-coordinate.
क्योंकि \(x^2+4\ge4\), अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है और (0) केवल निकट आता है। परीक्षा में असम्प्राप्त सीमा को बंद न करें। / Because \(x^2+4\ge4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\), and (0) is only approached. In exams do not close an unattained endpoint.
दो बिंदुओं ( -1 ) और (3) से दूरी का योग कम से कम उनके बीच की दूरी (4) होता है। निरपेक्ष मान में दूरी वाला विचार उपयोगी है। / The sum of distances from (-1) and (3) is at least their distance (4). The distance idea is useful for absolute value questions.
\(y=\frac{x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{1+2y}{1-y}\) मिलता है इसलिए \(y\ne1\)। परिसर के लिए (x) को (y) के रूप में लिखना कारगर है। / From \(y=\frac{x-1}{x+2}\), we get \(x=\frac{1+2y}{1-y}\), so \(y\ne1\). Writing (x) in terms of (y) works well for range.
वर्गमूल से \(x\ge-4\) और हर से \(x\ne1\) चाहिए। मिश्रित फलन में सभी प्रतिबंध साथ लागू करें। / The square root gives \(x\ge-4\), and the denominator gives \(x\ne1\). Apply all restrictions together in mixed functions.
लघुगणक के अंदर (7-2x>0) होना चाहिए। \(\log\) में शून्य या ऋणात्मक मान स्वीकार नहीं होता। / The logarithm argument must satisfy (7-2x>0). A logarithm does not accept zero or negative input.
हमें \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) और \(x\ne-3\) चाहिए। संख्या रेखा पर चिन्ह जाँच सबसे सुरक्षित है। / We need \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) and \(x\ne-3\). A sign chart on the number line is the safest method.
\(y=\frac{2x+3}{x-4}\) से \(x=\frac{4y+3}{y-2}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। ऐसे प्रश्न में अनुपलब्ध (y) खोजें। / From \(y=\frac{2x+3}{x-4}\), we get \(x=\frac{4y+3}{y-2}\), so \(y\ne2\). In such questions find the unavailable (y).
\(\sqrt{2x-1}\ge0\) इसलिए \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) और नीचे अनबाउंड है। ऋण चिह्न सीमा की दिशा बदल देता है। / Since \(\sqrt{2x-1}\ge0\), \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) and is unbounded below. The negative sign reverses the direction of the range.
हर शून्य तब होगा जब (|x|-2=0), यानी \(x=\pm2\)। निरपेक्ष मान समीकरण के दोनों हल याद रखें। / The denominator is zero when (|x|-2=0), so \(x=\pm2\). Remember both solutions of an absolute value equation.
क्योंकि \(|x-2|\ge0\), न्यूनतम मान (3) है। ऐसे प्रश्न में निरपेक्ष मान का न्यूनतम (0) रखें। / Because \(|x-2|\ge0\), the minimum value is (3). In such questions keep the minimum of absolute value as (0).
शर्त (9-(x-1)2\ge0) से ((x-1)2\le9) मिलता है। केंद्र (1) और त्रिज्या (3) सोचकर अंतराल लें। / The condition (9-(x-1)2\ge0) gives ((x-1)2\le9). Think of center (1) and radius (3) to get the interval.
हर \(x^2-1=0\) पर शून्य होता है इसलिए \(x=\pm1\) हटेंगे। अंश से प्रांत पर प्रतिबंध नहीं आता। / The denominator becomes zero at \(x^2-1=0\), so \(x=\pm1\) are excluded. The numerator does not restrict the domain.
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge2\) और समानता (x=1) पर मिलती है। एएम-जीएम असमानता यहाँ तेज है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge2\), with equality at (x=1). The AM-GM inequality is quick here.
ऋणात्मक (x) के लिए मान (-2) या उससे कम होते हैं और समानता (x=-1) पर आती है। प्रांत का चिन्ह परिसर बदल देता है। / For negative (x), the values are (-2) or less, with equality at (x=-1). The sign of the domain changes the range.
\(x^2\ge0\) से मान (0) पर मिलता है और \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\) रहता है। सीमा (1) प्राप्त नहीं होती। / Since \(x^2\ge0\), the value (0) is attained, and \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\). The limit (1) is not attained.
वर्गमूल \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) आवश्यक है, इसलिए प्रांत \([0,\infty)\) है। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए 1 परिसर में शामिल है। जैसे-जैसे \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), लेकिन किसी भी सीमित \(x\) के लिए फलन का मान 0 नहीं होता। अतः परिसर \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल और हर के प्रतिबंध अलग-अलग जाँचकर अंत में मानों की सीमा निर्धारित करें। / The square root requires \(x\ge 0\), so the domain is \([0,\infty)\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), but the function never actually equals 0 for any finite \(x\). Hence the range is \((0,1]\). Exam tip: first impose the input restrictions, then check endpoint values and limiting values to determine the range.
(x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) और इसे \(\ge0\) चाहिए। ऊपर खुलने वाले द्विघात में बाहरी अंतराल चुने जाते हैं। / Since (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)), it must be \(\ge0\). For an upward quadratic, the outside intervals are selected.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। यहाँ सिरों \(x=\pm4\) को शामिल नहीं किया जाएगा। / The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. The endpoints \(x=\pm4\) are not included here.
\(\cos x\in[-1,1]\) इसलिए \(2+\cos x\in[1,3]\), अतः \(f(x)\in[1,3]\)। reciprocal लेते समय क्रम उलट सकता है। / Since \(\cos x\in[-1,1]\), \(2+\cos x\in[1,3]\), so \(f(x)\in[1,3]\). The order may reverse when taking reciprocals.
\(\sin x\in[-1,1]\) होने से \(-2\sin x\in[-2,2]\) और कुल परिसर ( [3,7] ) है। गुणा और जोड़ को क्रम से लागू करें। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(-2\sin x\in[-2,2]\), giving total range ([3,7]). Apply multiplication and addition step by step.
A. \( \mathbb{R}\setminus{\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}} \)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है इसलिए \(\cos x\ne0\) होना चाहिए। \(\tan x\) में विषम \(\frac{\pi}{2}\) वाले कोण हटते हैं। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), we need \(\cos x\ne0\). For \(\tan x\), odd multiples around \(\frac{\pi}{2}\) are excluded.
\(\log x\) के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log x\ne0\) चाहिए। इसलिए (x=1) अलग से हटेगा। / For \(\log x\), (x>0), and for the denominator \(\log x\ne0\). Therefore (x=1) must be excluded separately.
वर्गमूल के लिए (\log_3(x-2)\ge0) चाहिए जिससे \(x-2\ge1\) मिलता है। साथ में (x-2>0) पहले से पूरा है। / The square root requires (\log_3(x-2)\ge0), giving \(x-2\ge1\). The condition (x-2>0) is already satisfied.
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge1\) और हर के लिए \(x\ne5\) चाहिए। सिरा (x=1) मान्य है क्योंकि हर शून्य नहीं है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x\ge1\), and for the denominator \(x\ne5\). The endpoint (x=1) is valid because the denominator is not zero.
हर ((x-3)2+1\ge1) है इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{1}=1\) है और (0) प्राप्त नहीं होता। पूर्ण वर्ग से सीमा साफ मिलती है। / The denominator ((x-3)2+1\ge1), so the maximum is \(\frac{1}{1}=1\), and (0) is not attained. Completing the square gives the bounds clearly.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और \(\sqrt{6-x}\) के लिए \(6-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le 6\)। इन दोनों शर्तों का साझा भाग \([0,6]\) है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(x=0\) और \(x=6\) पर एक-एक वर्गमूल का मान शून्य होता है, इसलिए सिरों को शामिल किया जाएगा। / For a square root to be real, its radicand must be non-negative. Thus, \(\sqrt{x}\) requires \(x\ge 0\), while \(\sqrt{6-x}\) requires \(6-x\ge 0\), or \(x\le 6\). The intersection of these conditions is \([0,6]\), so option A is correct. Exam tip: include both endpoints because the square roots are defined when their radicands are zero; hence the open interval \((0,6)\) is incorrect.
सममिति के कारण अधिकतम (x=3) पर है और मान \(2\sqrt{3}\) है। ऐसे रूप में दोनों पद बराबर करने की कोशिश करें। / By symmetry the maximum occurs at (x=3), and the value is \(2\sqrt{3}\). In such forms try making the two terms equal.
इस अंतराल में (|x|) का न्यूनतम (2) और अधिकतम (5) है। ऋणात्मक प्रांत में \(x^2\) घटता दिख सकता है पर मान धनात्मक रहते हैं। / On this interval, the minimum of (|x|) is (2) and the maximum is (5). On a negative domain \(x^2\) may decrease, but values remain positive.
\(y=\frac{x}{x^2+1}\) से \(yx^2-x+y=0\) मिलता है और विविक्तकर \(\ge0\) देने पर \(|y|\le\frac{1}{2}\)। परिसर के लिए विविक्तकर विधि उपयोगी है। / From \(y=\frac{x}{x^2+1}\), we get \(yx^2-x+y=0\), and discriminant \(\ge0\) gives \(|y|\le\frac{1}{2}\). The discriminant method is useful for range.
हर ((x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। इसलिए मान (1) से बड़े और \(\frac{5}{2}\) तक हैं। / The denominator is ((x+1)2+1), and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). Hence values are greater than (1) and up to \(\frac{5}{2}\).
\(|x|+1\ge1\) इसलिए अधिकतम (1) है और (0) प्राप्त नहीं होता। हर के अनंत होने पर भिन्न (0) के पास जाती है। / Since \(|x|+1\ge1\), the maximum is (1), and (0) is not attained. As the denominator grows without bound, the fraction approaches (0).
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge0\) यानी \(|x|\ge3\) चाहिए। निरपेक्ष असमानता में बाहरी भाग चुने जाते हैं। / The square root requires \(|x|-3\ge0\), so \(|x|\ge3\). For this absolute inequality, the outside intervals are selected.
दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के अंतर का मान उनकी दूरी (3) से अधिक नहीं होता। इसलिए परिसर ( [-3,3] ) है। / The difference of distances from two fixed points cannot exceed their distance (3). Therefore the range is ([-3,3]).
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x>2), और \(\sqrt{8-x}\) से \(x\le8\) है। हर के कारण (2) हटेगा पर (8) रहेगा। / Since \(\sqrt{x-2}\) is in the denominator, (x>2), and \(\sqrt{8-x}\) gives \(x\le8\). Because of the denominator (2) is excluded but (8) remains.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\)। चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए इसका न्यूनतम मान \(1\) है और \(f(x)\ge\sqrt{1}=1\)। \(x=-3\) पर यह न्यूनतम मान प्राप्त होता है, जबकि \(x\) के बढ़ने या घटने पर फलन के मान बिना किसी ऊपरी सीमा के बढ़ सकते हैं। अतः परास \([1,\infty)\) है। विकल्प \([0,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन का मान \(0\) कभी नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें। / Rewrite the expression under the square root by completing the square: \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge 0\), the expression has minimum value \(1\), so \(f(x)\ge\sqrt{1}=1\). This minimum is attained at \(x=-3\), and the function has no upper bound as \(x\) moves away from \(-3\). Therefore, the range is \([1,\infty)\). The distractor \([0,�infty)\) is incorrect because the function can never take the value \(0\). Exam tip: complete the square first when finding the range of a square-root function involving a quadratic.
(f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}) है इसलिए न्यूनतम (-1) और ऊपरी सीमा (1) अप्राप्त है। रूप बदलकर परिसर जल्दी मिलता है। / Here (f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}), so the minimum is (-1), and the upper bound (1) is not attained. Rewriting the expression quickly gives the range.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\) और \(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(x\ge 4\) है, अतः प्रांत \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल पहली शर्त को दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(x=4\) को अनावश्यक रूप से शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी मूलांकों की शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For a square root to be real, each radicand must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), and \(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\). The common solution is \(x\ge 4\), so the domain is \([4,\infty)\). Option B considers only the first square root, while option D incorrectly excludes \(x=4\), where both square roots are defined. Exam tip: for multiple square roots, take the intersection of all radicand conditions.
प्रांत \(x\ge4\) है और (x=4) पर मान \(\sqrt{3}\) मिलता है। दोनों पद बढ़ते हैं इसलिए यही न्यूनतम है। / The domain is \(x\ge4\), and at (x=4) the value is \(\sqrt{3}\). Both terms increase, so this is the minimum.
हर ((x+1)2+4) का न्यूनतम (4) है। भिन्न का अधिकतम तब होता है जब धनात्मक हर न्यूनतम हो। / The denominator ((x+1)2+4) has minimum (4). The fraction is maximum when the positive denominator is minimum.
मान लें \(t=x+2\)। तब \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1=t^2+1\), इसलिए \(f=\frac{t}{t^2+1}\)। यदि \(y=\frac{t}{t^2+1}\), तो \(yt^2-t+y=0\) का वास्तविक \(t\) के लिए विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(-\frac12\le y\le\frac12\), और दोनों सीमाएँ \(t=-1,1\) पर प्राप्त होती हैं। इसलिए सही परास \(\left[-\frac12,\frac12\right]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें दोनों endpoints हटा दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे परास प्रश्नों में \(y=f(x)\) रखकर वास्तविक हल के लिए विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / Let \(t=x+2\). Then \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1=t^2+1\), so \(f=\frac{t}{t^2+1}\). If \(y=\frac{t}{t^2+1}\), then \(yt^2-t+y=0\). For real \(t\), its discriminant must satisfy \(1-4y^2\ge 0\), giving \(-\frac12\le y\le\frac12\). Both endpoints are attained at \(t=-1\) and \(t=1\), respectively. Hence the range is \(\left[-\frac12,\frac12\right]\). Option B is incorrect because it excludes both attainable endpoints. Exam tip: For range questions of this type, set \(y=f(x)\) and impose the discriminant condition for real \(x\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2-|x-1|\ge 0\), अर्थात् \(|x-1|\le 2\)। इससे \(-2\le x-1\le 2\), और अतः \(-1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \([-1,3]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान शून्य, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के परिभाषा-क्षेत्र के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(2-|x-1|\ge 0\), which gives \(|x-1|\le 2\). Thus \(-2\le x-1\le 2\), or \(-1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([-1,3]\). Option B is incorrect because the endpoints are included: at both endpoints, the radicand is zero, which is allowed. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
अंदर (2-|x-1|) का अधिकतम (2) और न्यूनतम (0) है। वर्गमूल से परिसर \( [0,\sqrt{2}] \) मिलता है। / The inside expression (2-|x-1|) has maximum (2) and minimum (0). Taking square root gives the range \([0,\sqrt{2}]\).
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x+2|-5>0) चाहिए। अतः (|x+2|>5) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so (|x+2|-5>0) is required. Thus (|x+2|>5) gives the outside open intervals.
\(y=\frac{4x-1}{2x+5}\) से \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। रैखिक भिन्नात्मक फलन में अनुपलब्ध मान अक्सर अग्र गुणांकों का अनुपात होता है। / From \(y=\frac{4x-1}{2x+5}\), we get \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\), so \(y\ne2\). For a linear fractional function, the missing value is often the ratio of leading coefficients.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(7-x)\ge0) से \(x\in[2,7]\) मिलता है और हर से \(x\ne3\) हटेगा। संयुक्त प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लेना जरूरी है। / For the square root, ((x-2)(7-x)\ge0) gives \(x\in[2,7]\), and the denominator removes (x=3). Taking the intersection of all restrictions is essential.
हर (x-2-4x+8=(x-2)2+4) है इसलिए भिन्न का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है और न्यूनतम (0) प्राप्त नहीं होता। इसलिए कुल परिसर ( \(1,\frac{3}{2}] \) है। / The denominator is (x-2-4x+8=(x-2)2+4), so the fraction has maximum \(\frac{1}{2}\) and never attains (0). Hence the total range is (\(1,\frac{3}{2}]\).
