Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Step 1
Concept
Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित / Toward origin with boundary. Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है।
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग/Dashed line and side opposite origin
Step 1
Concept
Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग / Dashed line and side opposite origin. Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
Step 3
Exam Tip
( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती।
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Step 1
Concept
The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित / Unbounded part above the line with boundary. The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए।
The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,0)), ((5,0)), ((3,2)). The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
Step 3
Exam Tip
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए।
B. पहली टूटी और दूसरी ठोस/First dashed and second solid
Step 1
Concept
The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पहली टूटी और दूसरी ठोस / First dashed and second solid. The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
Step 3
Exam Tip
(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए।
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Step 1
Concept
Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है / It is in the solution region and on the first boundary. Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
Step 3
Exam Tip
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो।
A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित/\(y\geq 4x-8\), with boundary
Step 1
Concept
When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित / \(y\geq 4x-8\), with boundary. When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें।
The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(2x+y\leq 10\). The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
Step 3
Exam Tip
अक्षों की दिशा से \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) और रेखा के नीचे से \(2x+y\leq 10\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें।
The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कोई समान हल नहीं / No common solution. The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
Step 3
Exam Tip
एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें।
The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
Step 3
Exam Tip
कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें।
The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित लेकिन बंद नहीं / Bounded but not closed. The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 3
Exam Tip
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है।
From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रिक्त क्षेत्र / Empty region. From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
Step 3
Exam Tip
पहली दो शर्तों से \(x+y\leq 5\) अधिकतम हो सकता है इसलिए \(x+y\geq 10\) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें।
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Step 1
Concept
Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित / Side containing origin with boundary. Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है।
The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x+y>5). The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें।
The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((0,0)), ((3,0)), ((2,2)), ((0,3)). The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें।
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Step 1
Concept
Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है / Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside. Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
Step 3
Exam Tip
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें।
Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (y<2x+1). Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
Step 3
Exam Tip
नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें।
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Step 1
Concept
The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता / Unbounded region not containing the origin. The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है।
The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((0,0)), ((0,4)), ((2,2)). The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें।
B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है/Because equality occurs in (x+2y<7)
Step 1
Concept
At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है / Because equality occurs in (x+2y<7). At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) पर (x+2y=7) है लेकिन (x+2y<7) में सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में बराबरी वाले बिंदु हटा दें।
The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x+2y\geq 4\). The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
Step 3
Exam Tip
रेखा (x+2y=4) है और मूल बिंदु \(0\geq 4\) को असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) ही लें।
The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{16}{3}\). The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमा रेखाएँ (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)) पर मिलती हैं और वहाँ \(x+y=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है।
B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\)/Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\)
Step 1
Concept
Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\) / Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\). Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों के लिए \(x+1\leq -x+5\) होना चाहिए जिससे \(x\leq 2\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर और नीचे की रेखाओं की तुलना करें।
The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(2x-5y\geq 10\). The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु \(2x-5y\leq 10\) को सत्य करता है इसलिए विपरीत पक्ष \(2x-5y\geq 10\) होगा। परीक्षा सुझाव: ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल रखें।
C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\))
Step 1
Concept
The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-y\geq 0\) से \(y\leq x\) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है।
Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+2y<8). Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) रखने पर (1+2=3<8) और टूटी सीमा के कारण (<) लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: परीक्षण बिंदु और सीमा का प्रकार दोनों देखें।
Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पूरी रेखा (x+2y=4) / The whole line (x+2y=4). Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
Step 3
Exam Tip
दोनों असमानताएँ साथ में (x+2y=4) को ही संभव बनाती हैं। परीक्षा सुझाव: विपरीत दिशाओं वाली समान सीमा कभी-कभी रेखा बनाती है।
The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\frac{49}{2}\). The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((1,2)), ((1,9)), ((8,2)) हैं और लंबाई (7), (7) है। परीक्षा सुझाव: स्थानांतरित अक्षीय सीमाओं में आधार और ऊँचाई ध्यान से लें।
C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा/\(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary
Step 1
Concept
Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा / \(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary. Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
(-3y<6-2x) में ऋण से भाग देने पर \(y>\frac{2}{3}x-2\) होता है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में टूटी सीमा रखें।
At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)). At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
Step 3
Exam Tip
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ।
The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कोई सामान्य क्षेत्र नहीं / No common region. The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
Step 3
Exam Tip
दूसरी असमानता (x+y>4) है जो \(x+y\leq 3\) से मेल नहीं खाती। परीक्षा सुझाव: समान गुणज वाली रेखाओं को पहले सरल करें।
From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमित और बंद / Bounded and closed. From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-1\leq 3\) से \(x\leq 4\) मिलता है और सभी सीमाएँ शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: छिपी हुई ऊपरी सीमा तुलना से मिलती है।
The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((16,0)). The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
Step 3
Exam Tip
अक्षीय कटान ((16,0)) और ((0,4)) हैं, जिनमें मूल बिंदु से दूरी (16) और (4) है। परीक्षा सुझाव: दूरी तुलना में वर्गों का उपयोग भी कर सकते हैं।
The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((2,2)). The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमा रेखाएँ ((2,2)) पर मिलती हैं और वही बाहरी असीमित क्षेत्र का निकटतम कोना है। परीक्षा सुझाव: दो \(\geq\) क्षेत्रों में प्रतिच्छेद बिंदु अक्सर महत्वपूर्ण होता है।
C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर/\(y\leq x-2\), with boundary and away from origin
Step 1
Concept
The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर / \(y\leq x-2\), with boundary and away from origin. The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
Step 3
Exam Tip
\(x-y\geq 2\) से \(y\leq x-2\) मिलता है और ((0,0)) इसे असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: (y) के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें।
The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (32). The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((-1,-2)), ((-1,6)), ((7,-2)) हैं और लंबवत भुजाएँ (8), (8) हैं। परीक्षा सुझाव: ऋणात्मक सीमाओं में कटान सावधानी से निकालें।
B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है/The second inequality includes the boundary line (x+2y=6)
Step 1
Concept
Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है / The second inequality includes the boundary line (x+2y=6). Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
Step 3
Exam Tip
दोनों का पक्ष समान है लेकिन \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ में ठोस और टूटी रेखा का अंतर अंक दिलाता है।
Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (33). Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
Step 3
Exam Tip
(x=0) से (8) तक (y) के संभव मान गिनने पर कुल (33) बिंदु मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक (x) के लिए अधिकतम (y) लिखें।
Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((2,1)). Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण हल करने पर (x=2), (y=1) मिलता है। परीक्षा सुझाव: सामान्य क्षेत्र बनाने से पहले सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद निकालें।
Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)), ((4,2)), ((4,4)). Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
Step 3
Exam Tip
वर्ग \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\) में \(x+y\geq 6\) ऊपर-दाईं त्रिभुज छोड़ता है। परीक्षा सुझाव: पहले बड़ा क्षेत्र बनाकर फिर कटान करें।
The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (27). The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
Step 3
Exam Tip
कटान ((9,0)) और ((0,6)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\) है। परीक्षा सुझाव: कटान गलत होने पर पूरा ग्राफ गलत हो सकता है।
For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. पूरी समतल सतह / Whole plane. For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
Step 3
Exam Tip
हर बिंदु के लिए (x-2y) या तो (4) से कम-बराबर होगा या (4) से बड़ा होगा। परीक्षा सुझाव: या वाले प्रश्न में क्षेत्रों का संघ सोचें।
From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((0,0)), ((6,0)), ((2,4)). From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
Step 3
Exam Tip
(y=0) से ((0,0)), ((6,0)) और (2x=-x+6) से ((2,4)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: अक्ष और तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें।
Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमित समलंब चतुर्भुज / Bounded trapezium. Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
Step 3
Exam Tip
दो समानांतर रेखाओं और अक्षों के बीच प्रथम चतुर्थांश में सीमित चतुर्भुज बनता है। परीक्षा सुझाव: समानांतर रेखाओं के बीच के क्षेत्र को अक्षों से काटकर देखें।
D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित/\(y\leq 2x+3\), with boundary
Step 1
Concept
Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित / \(y\leq 2x+3\), with boundary. Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
Step 3
Exam Tip
ऋण से भाग देने पर \(y\leq 2x+3\) मिलता है और \(\geq\) के कारण सीमा शामिल है। परीक्षा सुझाव: असमानता पलटने के बाद सीमा का प्रकार अलग से जाँचें।
The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(x+y\leq 5\). The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
Step 3
Exam Tip
दिया गया त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के नीचे है। परीक्षा सुझाव: शीर्षों से पहले अक्षीय शर्तें पहचानें।
Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x+y<4), (x-y>1). Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
Step 3
Exam Tip
दोनों असमानताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमा रेखाएँ हटाई जाती हैं। परीक्षा सुझाव: हर असमानता का सीमा-प्रकार अलग-अलग तय करें।
