Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हल उस सामान्य बिंदु के निर्देशांक होते हैं जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं। परीक्षा में बिंदु को हमेशा ( (x,y) ) क्रम में लिखें। / The solution is the coordinates of the common point where both lines meet. In exams, always write the point in ( (x,y) ) order.
(4+y=11) से (y=7), इसलिए बिंदु ( (4,7) ) है। ग्राफ बनाते समय सही क्रम ( (x,y) ) रखें। / From (4+y=11), (y=7), so the point is ( (4,7) ). While drawing a graph, keep the correct ( (x,y) ) order.
(2(1)+y=10) से (y=8) मिलता है। छोटे मान रखकर ग्राफ के बिंदु जल्दी निकाले जा सकते हैं। / From (2(1)+y=10), we get (y=8). Small substituted values help find graph points quickly.
(y)-अवरोध के लिए (x=0), इसलिए (y=15)। (y)-अक्ष पर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, (x=0), so (y=15). On the (y)-axis, the (x)-coordinate is (0).
(x)-अवरोध के लिए (y=0), इसलिए (4x=20) और (x=5)। (x)-अक्ष पर (y=0) होता है। / For the (x)-intercept, (y=0), so (4x=20) and (x=5). On the (x)-axis, (y=0).
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Hence, the lines are parallel and have no solution.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=4) मिलता है। सरल रूप रेखाओं की तुलना में मदद करता है। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=4). The simplified form helps compare lines.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so both are the same line. In this case, there are infinitely many solutions.
प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ही हल होते हैं। इसलिए (x=6) और (y=2) सही है। / The coordinates of the intersection point are the solution. Therefore, (x=6) and (y=2) are correct.
( (2,5) ) रखने पर (2+5=7), इसलिए (x+y=7) सही है। किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसे समीकरण में रखें। / Substituting ( (2,5) ) gives (2+5=7), so (x+y=7) is correct. To check a point, substitute it in the equation.
(x=3) रखने पर (y=3+4=7), इसलिए ( (3,7) ) सही है। रेखा पर बिंदु जाँचने के लिए (x) का मान रखें। / Putting (x=3) gives (y=3+4=7), so ( (3,7) ) is correct. To check a point on a line, substitute the value of (x).
(y=3(2)-1=5), इसलिए बिंदु ( (2,5) ) है। गणना के बाद बिंदु को ( (x,y) ) रूप में लिखें। / (y=3(2)-1=5), so the point is ( (2,5) ). After calculation, write the point as ( (x,y) ).
D. (y)-अक्ष के समांतर रेखा/Line parallel to (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x=7) में (x) स्थिर रहता है और (y) बदल सकता है। इसलिए यह (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In (x=7), (x) is fixed and (y) can vary. Hence, it is a vertical line parallel to the (y)-axis.
A. (x)-अक्ष के समांतर रेखा/Line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=6) में (y) स्थिर है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=6), (y) is fixed and (x) can vary. Hence, it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
पहली रेखा पर (x=9) और दूसरी पर (y=3) है। इसलिए सामान्य बिंदु ( (9,3) ) है। / On the first line (x=9), and on the second line (y=3). Therefore, the common point is ( (9,3) ).
(5x+0=25) से (x=5), इसलिए बिंदु ( (5,0) ) है। यह रेखा का (x)-अवरोध है। / From (5x+0=25), (x=5), so the point is ( (5,0) ). This is the (x)-intercept of the line.
(0+5y=25) से (y=5), इसलिए बिंदु ( (0,5) ) है। यह रेखा का (y)-अवरोध है। / From (0+5y=25), (y=5), so the point is ( (0,5) ). This is the (y)-intercept of the line.
( (4,3) ) रखने पर (4+3(3)=13) और (4+3=7)। दोनों समीकरण संतुष्ट हों तो वही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Substituting ( (4,3) ) gives (4+3(3)=13) and (4+3=7). If both equations are satisfied, that is the intersection point.
( (3,5) ) पर (2(3)+5=11) और (3+5=8)। इसलिए यह दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है। / At ( (3,5) ), (2(3)+5=11) and (3+5=8). Hence, this is the intersection point of both lines.
एक सीधी रेखा को खींचने के लिए (2) सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / Two correct points are sufficient to draw one straight line. A third point may be taken for checking.
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए ऐसे समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं। / Coincident lines have infinitely many common points. Therefore, such a pair of equations has infinitely many solutions.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is called consistent and independent.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+y=9) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+y=9). Therefore, both are the same line.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं पर नियतांक अलग हैं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ हैं। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, they are distinct parallel lines.
(x-2=5) से (x=7), इसलिए बिंदु ( (7,2) ) है। घटाव वाले समीकरण में चिह्न ध्यान से देखें। / From (x-2=5), (x=7), so the point is ( (7,2) ). In subtraction equations, watch the signs carefully.
( (3,5) ) रखने पर (2(3)-5=1)। सही बिंदु वही है जो समीकरण को संतुष्ट करे। / Substituting ( (3,5) ) gives (2(3)-5=1). The correct point is the one that satisfies the equation.
बिंदु ( (0,8) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर स्थित है। अक्षों पर बिंदु पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,8) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying points on axes helps in graph reading.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
(y=0) पर (x=14) और (x=0) पर (y=14)। ये दो अवरोध रेखा खींचने के लिए पर्याप्त हैं। / When (y=0), (x=14), and when (x=0), (y=14). These two intercepts are enough to draw the line.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=4)। सही दो बिंदु मिलें तो रेखा आसानी से बनती है। / When (y=0), (x=8), and when (x=0), (y=4). Once two correct points are found, the line is easy to draw.
दोनों ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं पर अलग-अलग (x) मान रखती हैं। इसलिए वे समांतर हैं और नहीं मिलतीं। / Both are vertical lines but have different (x)-values. Therefore, they are parallel and do not meet.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=12) मिलता है, जो (2x-2y=15) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=12), which differs from (2x-2y=15). Therefore, the lines are parallel.
( (2,2) ) रखने पर (2+2(2)=6) और (2(2)+2=6)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। / Substituting ( (2,2) ) gives (2+2(2)=6) and (2(2)+2=6). This is the common point of both lines.
( (4,2) ) पर (4+3(2)=10) और (2(4)+3(2)=14)। इसलिए यह ग्राफीय हल है। / At ( (4,2) ), (4+3(2)=10) and (2(4)+3(2)=14). Hence, this is the graphical solution.
B. पैमाना इतना स्पष्ट हो कि बिंदु सही अंकित हों/The scale should be clear enough to plot points correctly
Explanation
Simple Explanation
स्पष्ट पैमाना लेने से बिंदु सही जगह लगते हैं। गलत पैमाना प्रतिच्छेद बिंदु पढ़ने में गलती करा सकता है। / A clear scale helps plot points at the correct places. A wrong scale can cause mistakes in reading the intersection point.
B. निर्देशांक उलटे पढ़ना/Reading coordinates in reverse order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु ( (x,y) ) क्रम में पढ़ा जाता है। निर्देशांक उलटे करने से हल गलत हो जाता है। / A point is read in ( (x,y) ) order. Reversing the coordinates makes the solution wrong.
( (0,0) ) रखने पर (0+0=0), इसलिए रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। मूलबिंदु की जाँच आसान होती है। / Substituting ( (0,0) ) gives (0+0=0), so the line passes through the origin. Checking the origin is easy.
( (3,2) ) रखने पर (2(3)-3(2)=0)। विकल्पों में बिंदु जाँचना सबसे तेज तरीका है। / Substituting ( (3,2) ) gives (2(3)-3(2)=0). Checking options by substitution is the fastest method.
C. जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटें/When lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
ठीक एक हल तब मिलता है जब दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं। यही बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल है। / Exactly one solution is obtained when both lines intersect at one point. That point is the common solution of both equations.
C. जब रेखाएँ अलग-अलग समांतर हों/When lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं। इसलिए उनका कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। / Distinct parallel lines never meet. Therefore, they have no common point.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
( (4,4) ) पर (4+2(4)=12) और (4+4=8)। यही दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है। / At ( (4,4) ), (4+2(4)=12) and (4+4=8). This is the intersection point of both lines.
