Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए। / Always check that the rational multiplier is not zero.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) हैं। / Simplify each surd carefully.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), यह अपरिमेय है; पर सही परिमेय विकल्प खोजने के लिए सभी सरल करें: \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\); कोई भी परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), all are irrational.
Step 3
Exam Tip
यहाँ दिए गए विकल्पों में परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए प्रश्न में त्रुटि से बचने के लिए सही चयन नहीं बनता। / This item has no rational option, so it should be treated as an invalid question.
\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और (2) परिमेय है। / \(\sqrt{5}\) is irrational and (2) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / Subtracting a rational number from an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
किसी मूल से पूर्णांक घटाने पर भी मूल की प्रकृति पर ध्यान दें। / When an integer is subtracted from a surd, focus on the nature of the surd.
दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। / Both numbers are individually irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें। / Check whether the product inside the square root becomes a perfect square.
B. यह कभी परिमेय नहीं हो सकता/It can never be rational
Step 1
Concept
(3) एक परिमेय संख्या है। / (3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x+3) परिमेय हो, तो (x=(x+3)-3) भी परिमेय होगा, जो दी गई बात के विरुद्ध है। / If (x+3) were rational, then (x=(x+3)-3) would also be rational, contradicting the given fact.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में विरोध विधि तेज काम करती है। / The contradiction method is useful in such questions.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। / Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं के योग पर सामान्य नियम लगाने से पहले उदाहरण जाँचें। / Before applying a general rule for two irrationals, test possible counterexamples.
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational when that integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{mn}\) परिमेय होने के लिए (mn) का पूर्ण वर्ग होना पर्याप्त है। / Hence (mn) being a perfect square is sufficient for \(\sqrt{mn}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
योग या अंतर की समता से वर्गमूल की प्रकृति तय नहीं होती। / Parity of the sum or difference does not decide the nature of the square root.
