The factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is rational, it will be non-terminating recurring. चरण 1: \(90=2\times3^2\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) बचा है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव होगा।
The denominator contains only (3), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The fraction is rational, so its non-terminating decimal will recur. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: भिन्न परिमेय है, इसलिए असमाप्त दशमलव आवर्ती होगा।
B. यह असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(54=2\times3^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (3), so the decimal will not terminate and will recur because it is rational.
Step 3
Exam Tip
Any power of (3) in the denominator prevents termination. चरण 1: \(54=2\times3^3\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: (3) की कोई भी घात समाप्ति रोकती है।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
Such denominators in rational fractions give recurring decimals. चरण 1: \(33=3\times11\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न में ऐसे भाजक आवर्ती दशमलव देते हैं।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
Do not call a rational number non-terminating non-recurring. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। चरण 3: परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion. चरण 1: आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। चरण 2: ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें।
The denominator contains (3) and (11), so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: \(66=2\times3\times11\) है। चरण 2: भाजक में (3) और (11) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय संख्या में असमाप्त दशमलव होने पर वह आवर्ती ही होता है।
The factor (3) is present, so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
A denominator having (3) along with (5) does not give a terminating decimal. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: (3) का गुणनखंड मौजूद है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: (5) के साथ (3) होने पर समाप्त दशमलव नहीं मिलता।
The factor (11) prevents termination, and since the number is rational, the decimal recurs.
Step 3
Exam Tip
Any factor other than (2) and (5) stops termination. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: भाजक में (11) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) से अलग गुणनखंड समाप्ति रोकता है।
B. यह असमाप्त आवर्ती है/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(12=2^2\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (3), so the decimal does not terminate, but because it is rational, it recurs.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational fraction is not non-recurring. चरण 1: \(12=2^2\times3\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, लेकिन परिमेय होने के कारण आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न का असमाप्त दशमलव अनावर्ती नहीं होता।
The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator in lowest form, not the sign. चरण 1: ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। चरण 2: \(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें।
A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat. चरण 1: \(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। चरण 3: परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है।
Dividing (4) by (9) gives the digit (4) repeatedly.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, \(\frac{4}{9}=0.\overline{4}\).
Step 3
Exam Tip
Put the repeating digit under the bar. चरण 1: (4) को (9) से भाग देने पर अंक (4) बार-बार आता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{4}{9}=0.\overline{4}\) है। चरण 3: दोहरने वाले अंक को बार के अंदर लिखना न भूलें।
The denominator contains (7), not (2) or (5), so the decimal does not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since the fraction is rational, the non-terminating decimal is recurring. चरण 1: \(343=7^3\) है। चरण 2: भाजक में (7) है, जो (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: भिन्न परिमेय है, इसलिए असमाप्त दशमलव आवर्ती होगा।
For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
The remaining factors in lowest form decide the result. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं।
The fraction is in lowest form and the denominator is (7).
Step 2
Why this answer is correct
Since (7) is neither (2) nor (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Examples like \(\frac{1}{7}\) make the rule easy to remember. चरण 1: भिन्न सरल रूप में है और भाजक (7) है। चरण 2: (7) न तो (2) है और न (5), इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: \(\frac{1}{7}\) जैसे उदाहरण नियम को जल्दी समझाते हैं।
A decimal with a fixed repeating block is called a recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
Every recurring decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
A fixed repeat is a strong sign of rationality. चरण 1: निश्चित आवृत्ति वाला दशमलव आवर्ती दशमलव कहलाता है। चरण 2: हर आवर्ती दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होता है। चरण 3: स्थायी दोहराव परिमेयता का मजबूत संकेत है।
Multiplying by (2) gives \(\frac{2}{11}=0.\overline{18}\).
Step 3
Exam Tip
Put the complete repeating block under the bar. चरण 1: \(\frac{1}{11}=0.\overline{09}\) होता है। चरण 2: इसे (2) से गुणा करने पर \(\frac{2}{11}=0.\overline{18}\) मिलता है। चरण 3: दोहरने वाले पूरे खंड को बार के अंदर रखें।
\(455=5\times7\times13\), and the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (7) and (13), so the decimal does not terminate, but it repeats.
Step 3
Exam Tip
A denominator with factors other than (2) and (5) gives a recurring decimal. चरण 1: \(455=5\times7\times13\) है और भिन्न सरल रूप में है। चरण 2: भाजक में (7) और (13) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, पर आवर्ती होगा। चरण 3: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो तो उत्तर आवर्ती होता है।
The fraction is in lowest form and the denominator is (7).
Step 2
Why this answer is correct
Since the denominator has a factor other than (2) or (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{22}{7}\) is rational, so its non-terminating decimal must repeat. चरण 1: भिन्न सरल रूप में है और भाजक (7) है। चरण 2: भाजक में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: \(\frac{22}{7}\) परिमेय है, इसलिए उसका असमाप्त दशमलव आवर्ती ही होगा।
The factor (3) makes the decimal non-terminating, and since the number is rational, it is recurring.
Step 3
Exam Tip
Be alert when a factor other than (2) or (5) appears. चरण 1: \(15=3\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और भिन्न परिमेय है, इसलिए आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) से अलग गुणनखंड देखते ही सावधान हो जाएं।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
In \(0.123123123\ldots\), the block (123) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check repetition. चरण 1: \(0.123123123\ldots\) में (123) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: केवल असांत देखकर अपरिमेय न मानें; आवर्तन जरूर जाँचें।
Identifying the repeating block in a decimal is important. चरण 1: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 2: \(0.818181\ldots\) में (81) बार-बार दोहरता है। चरण 3: दशमलव में दोहरने वाला समूह पहचानना जरूरी है।
Identifying the repeating block in a decimal is important. चरण 1: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 2: \(0.272727\ldots\) में (27) बार-बार दोहरता है। चरण 3: दशमलव में दोहरने वाला समूह पहचानना जरूरी है।
Identifying the repeating block is the key in decimal questions. चरण 1: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 2: \(0.141414\ldots\) में (14) बार-बार दोहरता है। चरण 3: दोहरते समूह को पहचानना दशमलव वाले प्रश्नों की कुंजी है।
Its decimal form is \(0.8333\ldots\), which is recurring.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers have decimal expansions that are either terminating or recurring. चरण 1: \(\frac{5}{6}\) परिमेय संख्या है। चरण 2: इसका दशमलव \(0.8333\ldots\) के रूप में आवर्ती होता है। चरण 3: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है।
Do not call a repeating decimal irrational. चरण 1: \(0.3333\ldots\) में (3) बार-बार दोहराता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है। चरण 3: बार-बार दोहरने वाला दशमलव देखकर उसे अपरिमेय न मानें।
