linear inequalities se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
2120 questions tagged with linear inequalities.
How do we write the interval ((1,6]) as an inequality?
A. \(1<x\le 6\)
((1) बताता है कि (1) शामिल नहीं है और (6]) बताता है कि (6) शामिल है। इसलिए \(1<x\le 6\) सही है। / The symbol ((1) shows that (1) is not included and (6]) shows that (6) is included. Therefore \(1<x\le 6\) is correct.
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Which is the solution of \(7-3x\ge 1\)?
A. \(x\le 2\)
\(7-3x\ge 1\) से \(-3x\ge -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 2\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न पलटता है। / From \(7-3x\ge 1\), we get \(-3x\ge -6\), and dividing by (-3) gives \(x\le 2\). The sign reverses when dividing by a negative number.
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If (x) is an integer and \(3\le x<7\), how many values are possible?
B. (4)
संभव पूर्णांक (3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (4) मान हैं। \(\le\) में बायां सिरा शामिल है पर (<) में दायां सिरा शामिल नहीं है। / The possible integers are (3,4,5,6), so there are (4) values. The sign \(\le\) includes the left endpoint but (<) excludes the right endpoint.
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Which value satisfies the inequality (2x-1<7)?
B. (x=4)
(2x-1<7) से (2x<8) और (x<4) मिलता है इसलिए सीमा के पास (x=4) संतुष्ट नहीं करता बल्कि सही जाँच में \(2\cdot4-1=7\) है इसलिए यह सख्त नहीं है। सही विकल्प को जाँचते समय सख्त चिह्न का ध्यान रखें। / From (2x-1<7), we get (2x<8) and (x<4), so (x=4) does not satisfy the strict inequality. Check strict signs carefully while testing options.
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Which is the solution of (6<2x)?
A. (x>3)
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय चिह्न की दिशा अर्थ से जाँचें। / Dividing both sides by (2) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the sign direction.
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What is the correct solution of \(\frac{x}{-4}>1\)?
B. (x<-4)
दोनों ओर (-4) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-4)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-4) reverses the sign, so (x<-4). Negative multiplication changes the direction.
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What is the solution of the inequality \(\frac{x}{3} \le 2\)?
A. \(x \le 6\)
असमानता \(\frac{x}{3} \le 2\) के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(x \le 6\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प C में 3 से भाग देने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides of \(\frac{x}{3} \le 2\) by the positive number 3 gives \(x \le 6\). The inequality sign remains unchanged when multiplying by a positive number, so option A is correct. Option C results from incorrectly dividing 2 by 3. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(x+7>7\)?
A. \(x>0\)
असमानता \(x+7>7\) के दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(x>0\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिह्न गलत दिशा में है। परीक्षा-टिप: समान संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 7 from both sides of \(x+7>7\) gives \(x>0\), so option A is correct. Option B reverses the inequality sign incorrectly. Exam tip: Adding or subtracting the same number on both sides does not reverse the inequality sign.
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If a > b and k > 0, which of the following statements is correct?
A. ak > bk
असमानता a > b के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या k से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती, इसलिए ak > bk सही है। विकल्प B तब होता जब k ऋणात्मक होता। इसी प्रकार किसी संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने या घटाने पर दिशा वही रहती है, इसलिए विकल्प C और D भी गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर दिशा समान रहती है, जबकि ऋणात्मक संख्या से करने पर दिशा उलट जाती है। / Multiplying both sides of a > b by the positive number k does not reverse the inequality, so ak > bk is correct. Option B would be possible only if k were negative. Adding or subtracting the same number preserves the direction, so options C and D are also incorrect. Exam tip: multiplication or division by a positive number keeps the inequality sign unchanged; multiplication or division by a negative number reverses it.
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Which inequality indicates that \(n\) is at most 20?
A. \(n\le 20\)
‘अधिकतम 20’ का अर्थ है कि \(n\) का मान 20 या 20 से कम हो सकता है, इसलिए \(n\le 20\) सही है। \(n<20\) में 20 शामिल नहीं होता, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\ge\) का प्रयोग करें। / ‘At most 20’ means that \(n\) can be 20 or any value less than 20, so \(n\le 20\) is correct. The inequality \(n<20\) excludes 20, making it incorrect even though it is the closest distractor. Exam tip: use \(\le\) for ‘at most’ and \(\ge\) for ‘at least’.
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Which inequality shows that \(x\) is at least \(6\)?
C. \(x\ge 6\)
‘कम से कम 6’ का अर्थ है कि \(x\), 6 के बराबर या 6 से अधिक हो सकता है। इसलिए \(x\ge 6\) सही है। विकल्प B में \(x\le 6\) का अर्थ 6 से कम या बराबर होता है, जो विपरीत दिशा है। परीक्षा में ‘कम से कम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) याद रखें। / ‘At least 6’ means that \(x\) can be equal to 6 or greater than 6. Therefore, \(x\ge 6\) is correct. Option B, \(x\le 6\), means less than or equal to 6, which expresses the opposite direction. In exams, remember \(\ge\) for ‘at least’ and \(\le\) for ‘at most’.
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If \(x\) is an integer and \(-2<x\le 2\), what is the set of possible values of \(x\)?
B. \(x\in\{-1,0,1,2\}\)
असमानता \(-2<x\) का अर्थ है कि \(-2\) शामिल नहीं है, जबकि \(x\le 2\) के कारण \(2\) शामिल है। इसलिए \(-2\) और \(2\) के बीच के पूर्णांक मान \(-1,0,1,2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) में सीमा शामिल नहीं होती, जबकि \(\le\) या \(\ge\) में सीमा शामिल होती है। / The inequality \(-2<x\) excludes \(-2\), while \(x\le 2\) includes \(2\). Therefore, the integer values are \(-1,0,1,2\). Exam tip: a strict sign \(<\) or \(>\) excludes the endpoint, whereas \(\le\) or \(\ge\) includes it. Option A is incorrect because it includes \(-2\).
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If (x) is a natural number and (x<4), what are the possible values?
A. \(x\in{1,2,3}\)
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (4) शामिल नहीं है। इसलिए मान (1,2,3) हैं। / Natural numbers are taken from (1), and (4) is not included. Therefore the values are (1,2,3).
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Which of the following statements correctly describes \(2\le x<5\)?
C. \(x\), 2 के बराबर या उससे बड़ा, लेकिन 5 से छोटा है\(x\) is equal to or greater than 2, but less than 5
संयुक्त असमानता \(2\le x<5\) का अर्थ है \(2\le x\) और \(x<5\)। इसलिए \(x\) का मान 2 हो सकता है, लेकिन 5 नहीं हो सकता; अतः विकल्प C सही है। विकल्प D इस अंतराल के बाहर के मानों को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) का अर्थ सीमा को शामिल करना और \(<\) का अर्थ सीमा को शामिल न करना है। / The compound inequality \(2\le x<5\) means \(2\le x\) and \(x<5\). Thus, \(x\) may be equal to 2, but it cannot be equal to 5, so option C is correct. Option D represents values outside this interval. Exam tip: \(\le\) includes the endpoint, whereas \(<\) excludes it.
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Which of the following represents \(x\le 0\) in interval notation?
C. \((-�infty,0]\)
\(x\le 0\) का अर्थ है कि \(x\), 0 से कम या उसके बराबर है। इसलिए सभी मान 0 के बाईं ओर होंगे और 0 स्वयं भी शामिल होगा, जिसे \(0\] से दर्शाया जाता है। अनंत कोष्ठक में लिखा जाता है, क्योंकि अनंत कोई वास्तविक संख्या नहीं है। अतः सही अंतराल \((-�infty,0]\) है। विकल्प D में 0 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x<0\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) या \(\ge\) होने पर संबंधित सीमा पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ। / The inequality \(x\le 0\) means that \(x\) is less than or equal to 0. Thus, all values lie to the left of 0, and 0 is included, which is shown by the square bracket at 0. Infinity is always written with a parenthesis because it is not a real number. Therefore, the correct interval is \((-�infty,0]\). Option D excludes 0 and represents \(x<0\). Exam tip: Use a square bracket at an endpoint when the inequality includes equality, such as \(\le\) or \(\ge\).
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What is the interval form of the inequality \(x>-4\)?
A. \((-4,\infty)\)
\(x>-4\) का अर्थ है कि \(x\), \(-4\) से बड़ा है। इसलिए \(-4\) शामिल नहीं होगा और सभी मान उसके दाईं ओर होंगे; अतः अंतराल \((-4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को भी शामिल करता है। परीक्षा में याद रखें: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक लगाया जाता है। / The inequality \(x>-4\) means that \(x\) is greater than \(-4\). Thus, \(-4\) is excluded and all values to its right are included, giving the interval \((-4,\infty)\). Option B is incorrect because the square bracket includes \(-4\). Exam tip: use a parenthesis for strict inequalities such as \(>\) or \(<\).
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Which statement is correct for \(x\le -1\)?
B. समाधान (-1) और उससे बाईं ओर हैंSolutions are (-1) and to its left
\(\le\) में सीमा और उससे छोटी संख्याएँ शामिल होती हैं। संख्या रेखा पर छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The sign \(\le\) includes the boundary and smaller numbers. On the number line, smaller numbers are to the left.
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What is the correct solution of \(3-2x\le 9\)?
A. \(x\ge -3\)
\(3-2x\le 9\) से \(-2x\le 6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\ge -3\)। ऋणात्मक भाग दिशा पलटता है। / From \(3-2x\le 9\), we get \(-2x\le 6\), and division by (-2) gives \(x\ge -3\). Negative division reverses the direction.
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Which is the solution of \(4x+2\le 14\)?
A. \(x\le 3\)
पहले (2) घटाएँ फिर (4) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (2), then divide by (4), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
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What is the correct solution of (5-x>2)?
A. (x<3)
(5-x>2) से (-x>-3) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x<3)। (-x) आने पर चिह्न पलटना याद रखें। / From (5-x>2), we get (-x>-3), and dividing by a negative gives (x<3). When (-x) appears, remember to reverse the sign.
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Which of the following is the solution set of the inequality \(x+1\ge 6\)?
A. \(x\ge 5\)
असमानता \(x+1\ge 6\) में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। घटाने या जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न उलट गया है। परीक्षा में याद रखें: चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides of \(x+1\ge 6\) gives \(x\ge 5\). The inequality sign remains unchanged when the same number is added or subtracted from both sides, so option A is correct. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: the sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
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If (x=2), which of the following inequalities is true?
C. x\le 2
दिए गए मान x=2 को जाँचने पर x\le 2 का अर्थ 2\le 2 होता है, जो सत्य है क्योंकि इसमें बराबरी की अनुमति है। विकल्प A, B और D में क्रमशः 2>5, 2<1 और 2\ge4 असत्य हैं। परीक्षा में याद रखें कि \le और \ge में बराबरी शामिल होती है। / Substituting x=2 into the options, x\le 2 becomes 2\le 2, which is true because equality is included. Options A, B and D give the false statements 2>5, 2<1 and 2\ge4, respectively. Exam tip: the symbols \le and \ge include equality.
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C. \(a\ge 18\)
“18 वर्ष से कम नहीं” का अर्थ है “कम से कम 18 वर्ष”, इसलिए आयु 18 के बराबर या उससे अधिक हो सकती है: \(a\ge 18\)। विकल्प B \(a\le 18\) अधिकतम 18 वर्ष का अर्थ देता है, जो प्रश्न के अर्थ के विपरीत है। परीक्षा में “कम से कम” को \(\ge\) और “अधिकतम” को \(\le\) से जोड़कर याद रखें। / “Not less than 18” means “at least 18,” so the age can be 18 or any greater value: \(a\ge 18\). Option B, \(a\le 18\), means the age is at most 18 and reverses the intended condition. In exams, remember that “at least” corresponds to \(\ge\), while “at most” corresponds to \(\le\).
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A. \(p<100\)
‘से कम’ का अर्थ 100 से सख्ती से कम होता है, इसलिए सही असमानता \(p<100\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p\le 100\) में \(p=100\) भी शामिल होता है, जबकि प्रश्न में कीमत 100 रुपये से कम बताई गई है। परीक्षा में ‘से कम’ के लिए \(<\) और ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\le\) याद रखें। / “Less than” means strictly smaller than 100, so the correct inequality is \(p<100\). Option B is incorrect because \(p\le 100\) also includes \(p=100\), which is not allowed here. In exams, remember that “less than” uses \(<\), while “less than or equal to” uses \(\le\).
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A bag weight should not exceed (15) kilograms. If the weight is (w), what is the correct inequality?
B. \(w\le 15\)
से अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (15) है इसलिए \(w\le 15\)। वास्तविक जीवन में अधिकतम शब्द \(\le\) देता है। / Not exceed means at most (15), so \(w\le 15\). In real-life statements, maximum gives \(\le\).
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B. \(s\ge 40\)
“40 या उससे अधिक” का अर्थ है कि अंक 40 भी हो सकते हैं और 40 से अधिक भी, इसलिए सही असमानता \(s\ge 40\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(s>40\) में 40 अंक शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: “या अधिक” के लिए \(\ge\), जबकि “या कम” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “40 or more” means that the score may be exactly 40 or any value greater than 40, so the correct inequality is \(s\ge 40\). Option A is incorrect because \(s>40\) excludes a score of exactly 40. Exam tip: use \(\ge\) for “or more” and \(\le\) for “or less.”
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If \(r\le 9\), which value is definitely possible?
C. (9)
\(r\le 9\) में (9) और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी समाधान होता है। / In \(r\le 9\), (9) and numbers smaller than (9) are included. With equality signs, the boundary value is also a solution.
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Which of the following statements is true?
B. \(3\le 3\)
\(3\le 3\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। ऐसे प्रश्नों में हर विकल्प अलग से जाँचें। / The statement \(3\le 3\) is true because equality is included. Check each option separately in such questions.
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Which value is not included in \(0\le x\le 6\)?
D. (7)
(7) संख्या (6) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) में केवल सीमा तक के मान आते हैं। / The number (7) is greater than (6), so it is not included. The sign \(\le\) includes values only up to the boundary.
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What is the correct inequality form of the interval \([2,\infty)\)?
B. \(x\ge 2\)
अंतराल \([2,\infty)\) में 2 के बाईं ओर वर्ग कोष्ठक है, इसलिए 2 स्वयं अंतराल में शामिल है। दाईं ओर अनंत तक जाने का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 से बड़ा या 2 के बराबर होगा, अर्थात \(x\ge 2\)। परीक्षा-युक्ति: समापन बिंदु शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक और असमानता में \(\ge\) या \(\le\) का प्रयोग करें। / In the interval \([2,\infty)\), the square bracket at 2 shows that 2 is included. Extending to the right toward infinity means that \(x\) is greater than or equal to 2, so \(x\ge 2\). Exam tip: an included endpoint is represented by a square bracket and by \(\ge\) or \(\le\) in inequality form.
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