अंतराल \((- infty,5)\) में 5 के पास गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 अंतराल में शामिल नहीं है। यह 5 से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, अर्थात \(x<5\)। परीक्षा-युक्ति: गोल कोष्ठक endpoint को बाहर रखते हैं, जबकि वर्ग कोष्ठक उसे शामिल करते हैं; \(- infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है। / In the interval \((- infty,5)\), the round parenthesis at 5 means that 5 is not included. It represents all real numbers less than 5, so the inequality is \(x<5\). Exam tip: round brackets exclude an endpoint, while square brackets include it; \(- infty\) is always written with a round bracket.
B. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-2) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में (-2) शामिल है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर हैं। बंद बिंदु बराबरी को दिखाता है। / The sign \(\ge\) includes (-2), and greater numbers are to the right. A closed circle shows equality.
अस्मिकता \(2x+1>9\) को हल करने पर \(2x>8\), अर्थात् \(x>4\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) इसे संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि \(x=4\) सीमा मान है और इससे \(2x+1=9\) मिलता है, इसलिए सख्त असमिकता में यह सही नहीं है। परीक्षा में \(>\) और \(\geq\) के अंतर पर ध्यान दें। / Solving \(2x+1>9\) gives \(2x>8\), so \(x>4\). Therefore, \(x=5\) satisfies the inequality. Note that \(x=4\) gives \(2x+1=9\), so it is not valid for the strict inequality \(>\). In an exam, carefully distinguish between \(>\) and \(\geq\).
असमानता \(3x\le 12\) में \(x=4\) रखने पर \(3\times4=12\), इसलिए \(12\le12\) सत्य है। जबकि \(x=5\) रखने पर \(15\le12\) असत्य होता है। परीक्षा में किसी विकल्प को जाँचने के लिए उसका मान सीधे असमानता में रखकर तुलना करें। / Substituting \(x=4\) gives \(3\times4=12\), so \(12\le12\) is true. In contrast, \(x=5\) gives \(15\le12\), which is false. In an exam, test each option by substituting its value directly into the inequality.
दोनों ओर (-2) से भाग देने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-4)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलना न भूलें। / Dividing by (-2) reverses the sign, so (x>-4). Do not forget sign reversal in negative division.
असमानता 2x > 10 के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर x > 5 प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर के गुणांक से भाग दें और उसके चिह्न पर ध्यान दें। / Dividing both sides of 2x > 10 by the positive number 2 gives x > 5. The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: divide by the coefficient of the variable and check its sign.
असमानता \(x-3\le 7\) के दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(x\le 10\) प्राप्त होता है। जोड़ने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C में चिह्न की दिशा गलत है, जबकि विकल्प D में \(x=10\) को बिना कारण बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding 3 to both sides of \(x-3\le 7\) gives \(x\le 10\). The inequality sign does not change when the same number is added to both sides. Option C reverses the direction incorrectly, while option D wrongly excludes \(x=10\). Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता x + 4 < 9 में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर x < 5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत हो गई है; 4 घटाने से दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें कि असमानता की दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। / Subtracting 4 from both sides of x + 4 < 9 gives x < 5, so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; subtracting 4 does not change its direction. Exam tip: the direction of an inequality changes only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। यह बहुत सामान्य गलती है। / When multiplying by a negative number, the inequality sign reverses. This is a very common mistake.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में चिह्न पलटता है। / Multiplying by a positive number does not reverse the sign. The sign reverses only with negative multiplication or division.
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। जोड़ या घटाव में चिह्न वैसा ही रहता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality direction. In addition or subtraction the sign stays the same.
“12 से अधिक नहीं” का अर्थ है कि p का मान 12 से कम या 12 के बराबर हो सकता है। इसलिए असमिका \(p\le 12\) होगी। विकल्प D \(p<12\) गलत है, क्योंकि उसमें p = 12 की सम्भावना शामिल नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: “not more than” और “at most” का अनुवाद \(\le\) में करें। / “Not more than 12” means that p may be less than or equal to 12, so the correct inequality is \(p\le 12\). Option D, \(p<12\), is incorrect because it excludes the value p = 12. Exam tip: translate “not more than” and “at most” as \(\le\).
‘से अधिक’ का अर्थ ‘से बड़ा’ होता है, इसलिए y का मान 10 से बड़ा होगा और असमानता y > 10 लिखी जाएगी। विकल्प A में y को 10 से छोटा, विकल्प C में बराबर और विकल्प D में 10 से छोटा या बराबर बताया गया है। परीक्षा-युक्ति: ‘more than’ या ‘greater than’ दिखे तो सामान्यतः > चिह्न लगाएँ। / “More than” means “greater than,” so the value of y must be greater than 10, giving y > 10. Option A represents y less than 10, option C represents equality, and option D represents y less than or equal to 10. Exam tip: translate “more than” or “greater than” as the symbol >.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(2\le 2\) सत्य है। परीक्षा में \(\le\) और (<) को अलग रखें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(2\le 2\) is true. In exams distinguish \(\le\) from (<).
\(x=3\) रखने पर \(3<4\) सत्य प्राप्त होता है, इसलिए 3 इस असमिकता का समाधान है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि \(4<4\) असत्य है; असमिकता में '<' का अर्थ 4 से strictly छोटा है। परीक्षा में किसी विकल्प को जाँचने के लिए उसका मान सीधे असमिकता में रखकर तुलना करें। / Substituting \(x=3\) gives \(3<4\), which is true, so 3 is a solution. The closest distractor, 4, is not valid because \(4<4\) is false; the symbol '<' means strictly less than 4. In an exam, test each option by substituting its value into the inequality.
(2x+3<9) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक है। रैखिक असमानता में \(x^2\) या (xy) नहीं होता। / In (2x+3<9), the variable has power (1), so it is linear. A linear inequality does not contain \(x^2\) or (xy).
B. \(x\), 7 से बड़ा या उसके बराबर है/\(x\) is greater than or equal to 7
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) का अर्थ ‘बड़ा या बराबर’ होता है। इसलिए \(x\ge 7\) में \(x=7\) और 7 से बड़ी सभी संख्याएँ शामिल हैं। विकल्प A गलत है, क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) को ‘greater than or equal to’ और \(\le\) को ‘less than or equal to’ पढ़ें। / The symbol \(\ge\) means ‘greater than or equal to’. Therefore, \(x\ge 7\) includes \(x=7\) as well as every number greater than 7. Option A is incorrect because it excludes \(x=7\). Exam tip: read \(\ge\) as ‘greater than or equal to’ and \(\le\) as ‘less than or equal to’.
असमानता 8a<b9 का अर्थ है कि a का मान b से कम है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में बराबरी 8a=b9 और विकल्प C में बड़ी संख्या 8a>b9 दर्शाई गई है। परीक्षा में < चिह्न का खुला भाग बड़ी संख्या की ओर होता है। / The inequality 8a<b9 means that the value of a is less than the value of b, so option A is correct. Option B represents equality 8a=b9, while option C represents a greater-than relation 8a>b9. In an exam, remember that the open side of < faces the larger value.
A. एक अर्ध-समतल, जिसकी सीमा एक सीधी रेखा होती है/A half-plane bounded by a straight line
Explanation
Simple Explanation
दो चरों वाली रैखिक असमता, जैसे \(ax+by<c\), के सभी हल एक सीधी रेखा \(ax+by=c\) के एक ओर स्थित होते हैं। इसलिए उसका आलेख एक अर्ध-समतल होता है। \(\leq\) या \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है, जबकि \(<\) या \(>\) में शामिल नहीं होती। केवल सीधी रेखा रैखिक समीकरण का आलेख होती है, असमता का नहीं। परीक्षा टिप: किसी परीक्षण बिंदु, जैसे \((0,0)\), से सही पक्ष चुनें। / The solutions of a linear inequality in two variables, such as \(ax+by<c\), lie on one side of the line \(ax+by=c\). Hence, its graph represents a half-plane. The boundary line is included for \(\leq\) or \(\geq\), but excluded for \(<\) or \(>\). A straight line alone represents a linear equation, not a linear inequality. Exam tip: Use a test point such as \((0,0)\) to identify the correct side of the boundary line.
असमानता \(2x-3<7\) से \(2x<10\), अर्थात् \(x<5\), मिलता है। इसलिए \(U\) में \(A=\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। \(A'\), अर्थात् \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक, वे सदस्य होंगे जो \(A\) में नहीं हैं; अतः \(A'=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। विकल्प C में 4 भी शामिल है, जबकि \(4<5\) होने के कारण 4, \(A\) का सदस्य है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले असमानता हल करें और फिर केवल सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर बचे हुए सदस्यों को चुनें। / Solving \(2x-3<7\) gives \(2x<10\), hence \(x<5\). Therefore, within \(U\), \(A=\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The complement \(A'\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), so \(A'=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Option C incorrectly includes 4, but \(4<5\), so 4 belongs to \(A\). Exam tip: solve the inequality first, then select the remaining elements only from the universal set.
