linear inequalities se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
2115 questions tagged with linear inequalities.
B. \(x\le 10\)
\(120-8x\ge 40\) से \(-8x\ge -80\), इसलिए \(x\le 10\)। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / \(120-8x\ge 40\) gives \(-8x\ge -80\), so \(x\le 10\). Dividing by a negative reverses the sign.
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A person's age-related condition is \(4x+3\le 35\). What can be the maximum value of (x)?
A. (8)
\(4x\le 32\) से \(x\le 8\), इसलिए अधिकतम मान (8) है। परीक्षा में अधिकतम मान के लिए ऊपरी सीमा देखें। / \(4x\le 32\) gives \(x\le 8\), so the maximum value is (8). For maximum value, check the upper bound.
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Solve the inequality \(\frac{5x-2}{3}-\frac{2x+1}{6}\ge \frac{x}{2}\).
D. \(x\ge 1\)
हर (6) से गुणा करने पर (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), इसलिए \(x\ge 1\)। परीक्षा में घटाए गए अंश पर कोष्ठक जरूर लगाएं। / Multiplying by (6) gives (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), so \(x\ge 1\). Put brackets around the subtracted numerator.
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Find the solution set of \(3-\frac{2x+1}{4}>\frac{1}{2}\).
C. \(x<\frac{9}{2}\)
हर (4) से गुणा करने पर (12-(2x+1)>2), इसलिए \(x<\frac{9}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक चर गुणांक पर चिन्ह पलटना याद रखें। / Multiplying by (4) gives (12-(2x+1)>2), so \(x<\frac{9}{2}\). Remember sign reversal with a negative variable coefficient.
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What is the solution of \(8-\frac{x-3}{2}\le 1\)?
B. \(x\ge 17\)
हर (2) से गुणा करने पर (16-(x-3)\le 2), इसलिए \(x\ge 17\)। परीक्षा में घटाव के बाद कोष्ठक खोलते समय चिन्ह बदलें। / Multiplying by (2) gives (16-(x-3)\le 2), so \(x\ge 17\). Change signs properly when opening brackets after subtraction.
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Solve the inequality \(-\frac{2x-1}{5}\ge 3\).
A. \(x\le -7\)
हर (5) से गुणा करने पर (-(2x-1)\ge 15), इसलिए \(x\le -7\)। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पूरे अंश पर लागू करें। / Multiplying by (5) gives (-(2x-1)\ge 15), so \(x\le -7\). Apply the negative sign to the whole numerator.
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Choose the solution set of \(\frac{x+9}{-3}<2\).
D. \(x>-15\)
दिया है \(\frac{x+9}{-3}<2\)। दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या से गुणा करने के कारण असमीका का चिह्न पलट जाएगा: \(x+9>-6\)। अतः \(x>-15\)। विकल्प B में \(x=-15\) भी शामिल है, पर मूल असमीका में strict चिह्न \(<\) होने के कारण \(-15\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / Given \(\frac{x+9}{-3}<2\), multiply both sides by \(-3\). Since the multiplier is negative, the inequality sign reverses: \(x+9>-6\). Therefore, \(x>-15\). Option B incorrectly includes \(x=-15\), which is not allowed because the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of \(\frac{2x-7}{3}\le \frac{4-x}{6}\)?
C. \(x\le \frac{18}{5}\)
हर (6) से गुणा करने पर \(4x-14\le 4-x\), इसलिए \(x\le \frac{18}{5}\)। परीक्षा में दोनों पक्षों के चर पदों को सावधानी से मिलाएं। / Multiplying by (6) gives \(4x-14\le 4-x\), so \(x\le \frac{18}{5}\). Combine variable terms from both sides carefully.
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Solve the inequality \(\frac{3x}{2}-\frac{5}{3}>\frac{1}{6}\).
B. \(x>\frac{11}{9}\)
हर (6) से गुणा करने पर (9x-10>1), इसलिए \(x>\frac{11}{9}\)। परीक्षा में सभी भिन्नों का एक साथ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiplying by (6) gives (9x-10>1), so \(x>\frac{11}{9}\). Take the LCM of all fractions together.
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Find the solution set of \(\frac{x}{4}+\frac{x}{6}\le 5\).
A. \(x\le 12\)
हर (12) से गुणा करने पर \(3x+2x\le 60\), इसलिए \(x\le 12\)। परीक्षा में समान चर पदों को जोड़कर सरल करें। / Multiplying by (12) gives \(3x+2x\le 60\), so \(x\le 12\). Add like variable terms to simplify.
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If (x) is an integer, how many solutions does \(-5<3x+1\le 10\) have?
D. 5
असमानता के सभी भागों से 1 घटाने पर \,\(-6<3x\le 9\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \,\(-2<x\le 3\) प्राप्त होता है। इस अंतराल में पूर्णांक \(-1,0,1,2,3\) हैं, अर्थात कुल 5 समाधान हैं। विकल्प 4 में \(x=3\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में दोनों सीमाओं पर < और \(\le\) के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Subtracting 1 from all three parts gives \(-6<3x\le 9\). Dividing by 3 gives \(-2<x\le 3\). The integers in this range are \(-1,0,1,2,3\), so there are 5 solutions. Option 4 misses \(x=3\), which is included because the upper inequality is \(\le\). Exam tip: In a compound inequality, check strict and inclusive endpoints separately.
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Which of the following values does not satisfy the inequality \(2x-3\le 5\)?
C. \(x=5\)
असमीका \(2x-3\le 5\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(2x\le 8\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\le 4\) प्राप्त होता है। अतः \(x=5\), 4 से बड़ा है और असमीका को संतुष्ट नहीं करता। \(x=4\) निकटतम विकल्प है, लेकिन यह सीमा मान होने के कारण असमीका को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\le\) में बराबर वाला सीमा मान भी समाधान होता है। / Adding 3 to both sides of \(2x-3\le 5\) gives \(2x\le 8\). Dividing by 2 gives \(x\le 4\). Therefore, \(x=5\) is greater than 4 and does not satisfy the inequality. The closest option, \(x=4\), does satisfy it because the equality case is included. Exam tip: In an inequality containing \(\le\), the boundary value is also a solution.
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What is the interval form of \(\frac{5-2x}{7}<-1\)?
B. \(( 6, \infty )\)
7 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता: \(5-2x<-7\)। अतः \(-2x<-12\)। अब \(-2\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>6\)। इसलिए अंतराल रूप \((6,\infty)\) है। विकल्प C में 6 शामिल है, लेकिन मूल असमीका सख्त है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमीका का चिह्न अवश्य पलटें। / Since 7 is positive, multiplying both sides by 7 does not change the inequality sign: \(5-2x<-7\). Thus, \(-2x<-12\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality, giving \(x>6\). Hence, the interval is \((6,\infty)\). Option C incorrectly includes 6, whereas the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
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Write the inequality \(\frac{3x+7}{2}\ge -4\) in interval form.
A. \([-5,\infty\))
\(3x+7\ge -8\) से \(x\ge -5\), इसलिए अंतराल \([-5,\infty\)) है। परीक्षा में \(\ge\) के लिए बंद सिरा लगाएं। / \(3x+7\ge -8\) gives \(x\ge -5\), so the interval is \([-5,\infty\)). Use a closed endpoint for \(\ge\).
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If \(-3x+5\ge -7\) and (x+2>0), find the common solution set.
D. \(-2<x\le 4\)
पहली असमीका से \(x\le 4\) और दूसरी से (x>-2) मिलता है। संयुक्त समाधान \(-2<x\le 4\) है। / The first inequality gives \(x\le 4\), and the second gives (x>-2). The common solution is \(-2<x\le 4\).
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If (4x-1>7) and \(2x+3\le 17\), what is the common solution set?
C. \(2<x\le 7\)
पहली असमीका से (x>2) और दूसरी से \(x\le 7\) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद \(2<x\le 7\) है। / The first inequality gives (x>2), and the second gives \(x\le 7\). Their intersection is \(2<x\le 7\).
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What is the solution set of \(3x-4\le 3x+1\)?
B. \(x\in \mathbb{R}\)
दोनों पक्षों से (3x) हटाने पर \(-4\le 1\) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसी असमीका का समाधान सभी वास्तविक संख्याएं होता है। / Subtracting (3x) from both sides gives \(-4\le 1\), which is always true. Such an inequality has all real numbers as solution.
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What is the solution set of the inequality (2x+5>2x+9)?
A. \(\varnothing\)
दोनों पक्षों से (2x) हटाने पर (5>9) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में ऐसी स्थिति में कोई समाधान नहीं होता। / Subtracting (2x) from both sides gives (5>9), which is false. In such a case, there is no solution.
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Choose the solution set of \(\frac{5x+4}{8}<\frac{x-2}{2}+3\).
D. (x<12)
हर (8) से गुणा करने पर (5x+4<4x-8+24), इसलिए (x<12)। परीक्षा में हर हटाने के बाद स्थिर पदों को सही मिलाएं। / Multiplying by (8) gives (5x+4<4x-8+24), so (x<12). Combine constants correctly after clearing denominators.
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What is the solution of \(\frac{3-2x}{4}+\frac{x-6}{3}>0\)?
C. \(x<-\frac{15}{2}\)
हर (12) से गुणा करने पर (9-6x+4x-24>0), इसलिए \(x<-\frac{15}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक मिलने पर चिन्ह पलटें। / Multiplying by (12) gives (9-6x+4x-24>0), so \(x<-\frac{15}{2}\). Reverse the sign when a negative coefficient remains.
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Solve the inequality \(\frac{2x-3}{5}-\frac{x+1}{2}\le -1\).
B. \(x\ge -1\)
हर (10) से गुणा करने पर \(4x-6-5x-5\le -10\), इसलिए \(x\ge -1\)। परीक्षा में घटाव वाले भिन्न के दोनों पदों के चिन्ह बदलें। / Multiplying by (10) gives \(4x-6-5x-5\le -10\), so \(x\ge -1\). Change signs of both terms after a subtracted fraction.
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Find the solution set of \(\frac{x+2}{3}+\frac{x-5}{4}\ge 1\).
A. \(x\ge \frac{19}{7}\)
हर (12) से गुणा करने पर \(4x+8+3x-15\ge 12\), इसलिए \(x\ge \frac{19}{7}\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / Multiplying by (12) gives \(4x+8+3x-15\ge 12\), so \(x\ge \frac{19}{7}\). Use the LCM to clear denominators.
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D. (x<12)
(500-25x>200) से (-25x>-300), इसलिए (x<12)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / (500-25x>200) gives (-25x>-300), so (x<12). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
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C. \(x\ge 14\)
(2((x-2)+8)\ge 40) से \(2x+12\ge 40\), इसलिए \(x\ge 14\)। परीक्षा में कम से कम का अर्थ \(\ge\) होता है। / (2((x-2)+8)\ge 40) gives \(2x+12\ge 40\), so \(x\ge 14\). At least means \(\ge\) in exams.
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B. \(x\le 14\)
“अधिकतम 250 रुपये” का अर्थ है \(15x+40\le250\)। दोनों पक्षों से 40 घटाने पर \(15x\le210\) मिलता है। 15 धनात्मक है, इसलिए 15 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le14\) प्राप्त होता है। \(x<14\) गलत है क्योंकि \(x=14\) पर कुल खर्च ठीक 250 रुपये है, जो अनुमत है। परीक्षा टिप: ‘अधिकतम’ को हमेशा \(\le\) से दर्शाएँ। / “At most 250 rupees” means \(15x+40\le250\). Subtracting 40 from both sides gives \(15x\le210\). Since 15 is positive, dividing by 15 does not reverse the inequality sign, so \(x\le14\). The option \(x<14\) is incorrect because \(x=14\) gives a total cost of exactly 250 rupees, which is allowed. Exam tip: translate “at most” as \(\le\).
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Twice a number (x) increased by (7) is greater than (23). What is the solution for (x)?
A. \(x>8\)
कथन के अनुसार असमीका \(2x+7>23\) होगी। दोनों पक्षों से \(7\) घटाने पर \(2x>16\) मिलता है। अब \(2\) से भाग देने पर \(x>8\) प्राप्त होता है। \(x\geq 8\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=8\) रखने पर परिणाम \(23\) आता है, जो \(23\) से अधिक नहीं है। परीक्षा टिप: “से अधिक” के लिए सदैव \(>\) का प्रयोग करें। / The statement translates to \(2x+7>23\). Subtracting \(7\) from both sides gives \(2x>16\). Dividing by \(2\) gives \(x>8\). The option \(x\geq 8\) is incorrect because at \(x=8\), the result is \(23\), not greater than \(23\). Exam tip: the phrase “greater than” always uses \(>\), not \(\geq\).
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How many natural number solutions does \(3x-2\le 16\) have?
D. (6)
\(3x\le 18\) से \(x\le 6\), इसलिए प्राकृतिक समाधान (1) से (6) तक हैं। परीक्षा में प्राकृतिक संख्याओं की गिनती (1) से करें। / \(3x\le 18\) gives \(x\le 6\), so natural solutions are from (1) to (6). Count natural numbers from (1) in exams.
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How many integer solutions does \(-3\le x<4\) have?
C. (7)
पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं, इसलिए कुल (7) समाधान हैं। परीक्षा में बंद सिरा शामिल करें और खुला सिरा छोड़ें। / The integers are (-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (7) solutions. Include closed endpoints and exclude open endpoints.
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What is the least integer (x) satisfying (-4x+6<-10)?
B. (5)
(-4x<-16) से (x>4), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (5) है। परीक्षा में सख्त असमीका में सीमा को शामिल न करें। / (-4x<-16) gives (x>4), so the least integer is (5). Do not include the boundary in a strict inequality.
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What is the greatest integer (x) satisfying (5x+4<31)?
A. (5)
(5x<27) से \(x<\frac{27}{5}\), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (5) है। परीक्षा में सीमा के पास वाले पूर्णांक जांचें।
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