Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमाओं को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमाओं को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरों का अंतर बनाता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This creates the endpoint difference on the number line.
B. \(x=-4\) समाधान में नहीं है/\(x=-4\) is not in the solution
Explanation
Simple Explanation
\(-4\) पर खुला बिंदु यह दर्शाता है कि सीमा-बिंदु समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है, जबकि \(3\) पर बंद बिंदु \(3\) के शामिल होने को दर्शाता है। अतः \(x=-4\) इस अंतराल में समाधान नहीं है। परीक्षा-युक्ति: खुला वृत्त असमानता में < या > को, और बंद वृत्त ≤ या ≥ को दर्शाता है। / The open point at \(-4\) shows that this boundary value is excluded from the solution set, while the closed point at \(3\) shows that \(3\) is included. Therefore, \(x=-4\) is not a solution in this interval. Exam tip: an open circle represents < or >, whereas a closed circle represents ≤ or ≥.
(12) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (11) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर न मानें। / (12) is not included, so the greatest integer before it is (11). Do not take the open right endpoint as the answer.
(-9) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-8) होगा। खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-9) is not included, so the first integer after it is (-8). Do not count an open endpoint as a member.
\(x\ge -3\) में (-3) समाधान का भाग है। शामिल सीमा पर भरा वृत्त बनाया जाता है। / In \(x\ge -3\), (-3) is part of the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
\(\le\) सीमा \(\frac{5}{6}\) को शामिल करता है और बाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) सही है। / \(\le\) includes the boundary \(\frac{5}{6}\) and takes numbers to the left. Therefore (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) is correct.
A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (-14)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-14) पर भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
अस strict असमिकाएँ x<6 और x>6 मिलकर उन सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाती हैं जो 6 के बराबर नहीं हैं। इसलिए 6 पर खुला बिंदु होगा और 6 के बाएँ तथा दाएँ दोनों ओर रेखा होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 6 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: < और > के लिए खुले सिरे तथा ≤ और ≥ के लिए बंद सिरे प्रयोग करें। / The strict inequalities x<6 and x>6 together include every real number except 6. Therefore, the number line has an open point at 6 and is shaded on both sides. Option B is incorrect because it includes 6. Exam tip: use open endpoints for < and >, and closed endpoints for ≤ and ≥.
खाली वृत्त (1) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (8) को शामिल करता है। इसलिए ((1,8]) सही है। / The open circle excludes (1), and the closed circle includes (8). Therefore ((1,8]) is correct.
B. \(x\le -6\) या \(x\ge 10\)/\(x\le -6\) or \(x\ge 10\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \(x\le -6\) और दूसरा भाग \(x\ge 10\) देता है। \(\cup\) दोनों भागों का मिलन दिखाता है। / The first part gives \(x\le -6\) and the second gives \(x\ge 10\). The symbol \(\cup\) shows the union of both parts.
A. (-22) पर भरा वृत्त और बाईं ओर तीर/Closed circle at (-22) and arrow left
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -22\) में (-22) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त बाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\le -22\), (-22) is included and smaller numbers are taken. So a closed circle with a left arrow is used.
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों ओर बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
(x>-10) में (-10) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-9) ही (-10) से बड़ा है। / In (x>-10), numbers greater than (-10) are included. Among the options, only (-9) is greater than (-10).
B. \(\frac{2}{3}\) बंद और \(\frac{8}{3}\) खुला होगा/\(\frac{2}{3}\) closed and \(\frac{8}{3}\) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{2}{3}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(\frac{8}{3}\) को बाहर रखता है। इसलिए पहला सिरा बंद और दूसरा खुला होगा। / The square bracket includes \(\frac{2}{3}\), and the parenthesis excludes \(\frac{8}{3}\). So the first endpoint is closed and the second is open.
कठोर \(>\) में \(\frac{7}{3}\) शामिल नहीं होता। इसलिए सीमा पर खाली वृत्त बनेगा। / The strict sign \(>\) does not include \(\frac{7}{3}\). Therefore an open circle is drawn at the boundary.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है और दाईं ओर की संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए \([4,\infty\)) सही है। / In \(x\ge 4\), (4) is included and numbers to the right are taken. Hence \([4,\infty\)) is correct.
असमानता \(-1\le x<13\) में \(-1\) के साथ \(\le\) है, इसलिए \(-1\) शामिल है। लेकिन \(13\) के साथ \(<\) है, इसलिए \(x=13\) स्वीकार नहीं है। अतः शामिल न होने वाला अंतिम बिंदु \(13\) है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) होने पर संख्या रेखा पर भरा हुआ बिंदु और \(<\) या \(>\) होने पर खुला बिंदु बनता है। / In \(-1\le x<13\), the symbol \(\le\) includes \(-1\). However, the strict symbol \(<\) excludes \(13\), so \(x=13\) is not allowed. Therefore, \(13\) is the endpoint that is not included. Exam tip: Use a closed dot for \(\le\) or \(\ge\), and an open dot for \(<\) or \(>\) on a number line.
\(x<-\frac{9}{4}\) में सीमा शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। इसलिए (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) सही है। / In \(x<-\frac{9}{4}\), the boundary is excluded and smaller numbers are included. Hence (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) is correct.
पूरी संख्या रेखा का छायांकित होना दर्शाता है कि हर वास्तविक संख्या समाधान है। इसलिए सही संकेत \(x\in \mathbb{R}\) है। \(x>0\) और \(x<0\) केवल संख्या रेखा के एक-एक भाग को दर्शाते हैं, जबकि \(x=0\) केवल एक बिंदु को दर्शाता है। परीक्षा टिप: पूरी संख्या रेखा छायांकित हो तो समाधान समुच्चय \(\mathbb{R}\) लिखें। / When the entire number line is shaded, every real number is included in the solution set. Hence, the correct notation is \(x\in \mathbb{R}\). The inequalities \(x>0\) and \(x<0\) represent only one side of the number line, while \(x=0\) represents just one point. Exam tip: A fully shaded number line corresponds to the solution set \(\mathbb{R}\).
कोई संख्या (8) से बड़ी और (8) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / No number can be greater than (8) and less than (8) at the same time. Hence it is the empty set.
कोई छायांकन नहीं होने का अर्थ है कोई भी संख्या समाधान में नहीं है। इसलिए यह रिक्त समुच्चय दर्शाता है। / No shading means no number is in the solution. Therefore it represents the empty set.
\(10>x\) का अर्थ है कि \(x\), 10 से छोटा है। चर को बाईं ओर लिखने पर असमानता \(x<10\) बनती है। \(x\le 10\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में 10 के बराबर होने की स्थिति शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता के दोनों पक्षों को केवल स्थान बदलकर लिखने पर चिह्न की दिशा भी बदल जाती है। / \(10>x\) means that \(x\) is less than 10. Writing the variable on the left gives \(x<10\). \(x\le 10\) is incorrect because equality at 10 is not included in the original inequality. Exam tip: when the two sides of an inequality are interchanged, reverse the inequality sign.
दो अलग हिस्सों को \(\cup\) से जोड़ा जाता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए गोल कोष्ठक लगेंगे। / Two separate parts are joined by \(\cup\). Both endpoints are excluded so parentheses are used.
पहला भाग (5) सहित बाईं ओर है और दूसरा भाग (5) के बाद दाईं ओर है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा देते हैं। / The first part is the left side including (5), and the second part is the right side after (5). Together they give the whole number line.
\([-\frac{3}{2},2\)) में \(-\frac{3}{2}\) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-\frac{3}{2}\) सही सदस्य है। / In \([-\frac{3}{2},2\)), \(-\frac{3}{2}\) is included but (2) is not. Therefore \(-\frac{3}{2}\) is a correct member.
चूँकि \(-6\) शामिल नहीं है, इसलिए उसके लिए खुला कोष्ठक \((\) लगाया जाता है। \(4\) शामिल है, इसलिए उसके लिए बंद कोष्ठक \(]\) लगाया जाता है। अतः अंतराल \((-6,4]\) है। \([-6,4)\) में \(-6\) शामिल होता है और \(4\) शामिल नहीं होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: शामिल बिंदु के लिए वर्ग कोष्ठक और शामिल न होने वाले बिंदु के लिए गोल कोष्ठक याद रखें। / Since \(-6\) is not included, an open bracket \((\) is used at \(-6\). Since \(4\) is included, a closed bracket \(]\) is used at \(4\). Therefore, the interval is \((-6,4]\). In \([-6,4)\), \(-6\) is included and \(4\) is excluded, so it is not correct. Exam tip: use a square bracket for an included endpoint and a round bracket for an excluded endpoint.
B. पूरी रेखा छायांकित और (7) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 7\) में (7) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए मान पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 7\), all real numbers except (7) are included. The excluded value is shown by an open circle.
B. (-9) बंद और (-2) खुला/(-9) closed and (-2) open
Explanation
Simple Explanation
(-9) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है और (-2) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है। यही सिरों को तय करता है। / (-9) has a square bracket so it is included and (-2) has a parenthesis so it is excluded. This decides the endpoints.
B. (-16) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (-16) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-16\)) में (-16) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,-16\)), (-16) is not included and smaller numbers are taken. So an open circle and left ray are drawn.
एक भरा बिंदु केवल उसी मान को समाधान में शामिल दिखाता है। इसलिए समाधान (x=-4) है। / One closed point shows that only that value is included in the solution. Hence the solution is (x=-4).
