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How many solutions does the pair (5x+2y=6) and (15x+7y=18) have?
C. अद्वितीय हलUnique solution
यहाँ \(5\times7-15\times2\neq0\) है। इसलिए युग्म का अद्वितीय हल है। / Here \(5\times7-15\times2\neq0\). Therefore, the pair has a unique solution.
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What is the nature of the pair (9x-4y=11) and (18x-8y=21)?
A. कोई हल नहींNo solution
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद का अनुपात समान नहीं है। परीक्षा में इसे समांतर अलग रेखाओं का संकेत मानें। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. In exams, treat this as distinct parallel lines.
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Which statement is correct for (2x+3y=5) and (4x+6y=10)?
D. अनंत हलInfinitely many solutions
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Thus both are the same line and have infinitely many solutions.
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What is the solution status of (4x-7y=5) and (12x-21y=17)?
C. कोई हल नहींNo solution
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है पर स्थिर अनुपात \(\frac{5}{17}\) है। अतः कोई हल नहीं मिलेगा। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\) but the constant ratio is \(\frac{5}{17}\). Therefore, there is no solution.
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What is the correct conclusion for the lines (7x+3y=10) and (14x+6y=19)?
B. कोई हल नहींNo solution
गुणांकों के अनुपात समान हैं पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and have no solution.
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What type of solution is given by the lines (2x-5y=1) and (6x-15y=3)?
C. अनंत हलInfinitely many solutions
तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं। / All three ratios are equal, so the lines are coincident. Coincident lines give infinitely many solutions.
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When will (11x+2y=3) and (22x+ny=8) have a unique solution?
A. \(n\neq4\)
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) चाहिए। अतः \(n\neq4\) परीक्षा में सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) is required. Hence \(n\neq4\) is the correct exam condition.
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For the pair (3x+4y=t) and (12x+16y=20) to have no solution, what condition is required on (t)?
D. \(t\neq5\)
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), इसलिए \(t\neq5\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), so \(t\neq5\).
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For infinitely many solutions of (6x-8y=16) and (sx-12y=24), what is (s)?
C. (s=9)
अनंत हलों के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\) से (s=9) है। / For infinitely many solutions, all ratios must be equal. From \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\), (s=9).
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Which condition gives a unique solution for (ax+7y=13) and (5x+by=9)?
C. \(ab\neq35\)
अद्वितीय हल के लिए सारणिक (D=ab-35) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(ab\neq35\) सही है। / For a unique solution, determinant (D=ab-35) must be non-zero. So \(ab\neq35\) is correct.
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What is the value of (r) for infinitely many solutions of (4x+(r-2)y=14) and (10x+15y=35)?
B. (r=8)
अनंत हलों में \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\) होता है। इससे (r=8) प्राप्त होता है। / In infinitely many solutions, \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\). This gives (r=8).
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If (9x-3y=6) and ((q+3)x-qy=10) have no solution, what is (q)?
A. \(q=\frac{3}{2}\)
समांतर अलग रेखाओं के लिए गुणांक अनुपात समान और स्थिर अनुपात अलग होता है। हल करने पर \(q=\frac{3}{2}\) मिलता है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and constant ratio is different. Solving gives \(q=\frac{3}{2}\).
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When will the pair ((p+2)x+5y=11) and (6x+10y=13) have a unique solution?
D. \(p\neq1\)
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq1\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\). Hence \(p\neq1\) is correct.
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For infinitely many solutions of ((m-1)x+6y=10) and (3x+9y=15), what is the value of (m)?
C. (m=3)
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होते हैं। यहाँ \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\) से (m=3) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios are equal. From \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\), (m=3).
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What is the condition for no solution for the pair (2x+ky=8) and (5x+10y=12)?
B. (k=4)
कोई हल नहीं के लिए गुणांकों के अनुपात समान और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। (k=4) पर यही स्थिति बनती है। / For no solution, coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. At (k=4), this condition holds.
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When will the pair (kx+3y=7) and (4x+6y=9) have a unique solution?
C. \(k\neq2\)
अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। यहाँ \(k\neq2\) परीक्षा में सीधे अनुपात से जाँचें। / For a unique solution, coefficient ratios must not be equal. Here \(k\neq2\); check ratios directly in exams.
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If (g(x)=3x-2-x), what is the value of (g(1))?
B. (2)
(g(1)=3(1)2-1=2) है। प्रत्येक (x) की जगह (1) रखकर सरल करें। / (g(1)=3(1)2-1=2). Substitute (1) for each (x) and simplify.
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What is the degree of the polynomial \(7x^3-4x+9\)?
C. (3)
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद की घात (3) है। हमेशा चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The highest power is (3), so the degree is (3). Always check the highest power of the variable.
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A. दोनों \(0\) होंगेBoth are \(0\)
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
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B. (-4,0), (1,0), (8,0)
किसी शून्यक r का ग्राफ़ पर x-अक्ष पर छेदन बिंदु (r,0) होता है क्योंकि उस बिंदु पर y=0 होता है। दिए गए शून्यक −4, 1 और 8 के लिए सही बिंदु (-4,0), (1,0), (8,0) हैं इसलिए विकल्प B σωिçत है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसने (0,−4) आदि दिए हैं — वे y-अक्ष के बिंदु हैं (x=0) न कि x-अक्ष के। विकल्प C और D क्रमशः जोड़े मिले-जुले या संकेत उल्टे हैं और वे शून्यक के अर्थ का उल्लंघन करते हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक में लिखें और y को शून्य रखें — यानी (r,0)। / A zero r corresponds to the x-axis intersection point (r,0) because at a zero the y-value is 0. For the zeros −4, 1 and 8 the correct points are (-4,0), (1,0), (8,0), so option B is correct. Option A lists (0,−4) etc., which are y-axis points (x=0), not x-axis intersections. Option C mixes coordinates incorrectly and option D flips signs, so both are incorrect. Exam tip: always place the zero as the x-coordinate and set y=0 to form (r,0).
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C. 5
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
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If a graph has x-axis intersections at (3,0) and (12,0), what is the average of those zeros (roots)?
C. 7.5
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
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In which situation will x=0 not be a zero of the polynomial?
B. आलेख (0,5) से गुजरता हैThe graph passes through (0,5)
यदि आलेख (0,5) से गुजरता है तो उस बिंदु पर y का मान 5 है, यानी \(p(0)=5\). चूँकि शून्यक का अर्थ होता है कि उस x-मूल्य के लिए y=0 हो, यहाँ \(y\neq0\) है इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। नज़दीकी विकर्शक गलत क्यों है: आलेख का (0,0) से गुजरना या \(p(0)=0\) लिखना स्पष्ट रूप से यह दर्शाते हैं कि \(p(0)=0\), अतः वहां \(x=0\) शून्यक होगा। परीक्षा-सूत्र: y-अक्ष पर बिंदु (0,k) में k=0 तब ही हो तो x=0 शून्यक है — अन्यथा नहीं। / If the graph passes through (0,5) then the y-value at x=0 is 5, i.e. \(p(0)=5\). A zero at x=0 requires the value to be 0, so here \(x=0\) is not a zero because \(y\neq0\). Why the nearest distractor is wrong: passing through (0,0) or stating \(p(0)=0\) explicitly means \(p(0)=0\), so in those cases x=0 would be a zero. Exam tip: check the y-value at x=0 — if it is 0 then x=0 is a root, otherwise it is not.
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B. (−3, 0), (8, 0)
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
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B. 4
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
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If a graph passes through the points (1,0), (4,0) and (0,6), what are the zeroes of the polynomial?
A. (1) और (4)(1) and (4)
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
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In which situation will 3 be a zero of the polynomial?
A. आलेख (3,0) से गुजरेThe graph passes through (3,0)
यदि 3 बहुपद p(x) का शून्यक है तो p(3)=0 होगा। ग्राफ y=p(x) पर x=3 पर y का मान 0 होना चाहिए, यथा बिंदु (3,0) ग्राफ पर स्थित होगा। विकल्प B और C में y ≠ 0 है और इसलिए शून्यक नहीं बनाते; विकल्प D में y=0 सही है पर x = -3 है न कि 3। परीक्षा टिप: किसी संख्या a का शून्यक होने का मतलब है ग्राफ का x-अक्ष के साथ अंतरछेद (a,0) होना। / If 3 is a zero of the polynomial p(x), then p(3)=0. Geometrically the graph y = p(x) must pass through the x-intercept (3,0). Options B and C fail because their y-coordinate is not zero; option D has y=0 but x = -3, not 3. Exam tip: a number a is a zero iff the curve meets the x-axis at (a,0).
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The graph intersects the x-axis at (-1,0) and (1,0). What is the sum of these zeros?
A. 0
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
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Which point directly indicates a zero of a polynomial?
A. (9,0)
किसी बहुपद f(x) का शून्यक a वह मान है जहाँ f(a)=0। ग्राफ़ के संदर्भ में यह x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में दिखता है क्योंकि y‑निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए (9,0) दिखाता है कि x=9 पर बहुपद का मान शून्य है। विकल्प (0,9), (9,9) और (0,-9) में y‑निर्देशांक शून्य नहीं है इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते। परीक्षा सुझाव: शून्यक खोजने के लिए हमेशा ऐसे बिंदु चुनें जिनका y‑coördinate 0 हो। / A zero a of a polynomial f(x) satisfies f(a)=0. On the graph this corresponds to an x‑intercept at the point (a,0), i.e. the y‑coordinate is zero. Thus (9,0) indicates the polynomial is zero at x=9. The other choices have y≠0, so they cannot represent zeros. Exam tip: look for points on the x‑axis (y=0) to identify zeros quickly.
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If \(p(2)=3\) then the point \((2,3)\) lies on the graph. Is \(2\) a zero (root) of the polynomial?
A. नहींNo
शून्यक की परिभाषा के अनुसार किसी संख्या \(a\) के लिए \(a\) शून्यक तभी होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(2)=3\) है जो शून्य नहीं है, अतः \(2\) शून्यक नहीं है। ज्यामितीय रूप से शून्यक वह x‑समानांतर बिंदु होता है जहाँ आलेख x‑अक्ष (y=0) को छूता है; बिंदु \((2,3)\) x‑अक्ष के ऊपर है। नजदीकी विचलन "निर्धारित नहीं किया जा सकता" गलत है क्योंकि \(p(2)\) का मान दिया हुआ है; "केवल द्विघात में हाँ" गलत है क्योंकि डिग्री का कोई संबंध नहीं है — शर्त हमेशा \(p(a)=0\) है। टिप: किसी बिंदु के लिए y‑निर्देशांक को देखें — शून्य होने पर ही x मान शून्यक होता है। / By definition a number \(a\) is a zero (root) of a polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a root. Geometrically roots are x‑intercepts where the graph meets the x‑axis (y=0); the point \((2,3)\) lies above the x‑axis. The distractor "Cannot be determined" is wrong because the value \(p(2)\) is explicitly given; "Only for quadratics" is also incorrect since degree does not change the condition \(p(a)=0\). Exam tip: always check whether the y‑value equals 0 to decide if an x‑value is a root.
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