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हर महीने जुड़ने वाले कर्मचारियों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(3, 5, 7, \ldots\)। यहाँ \(a=3\), \(d=2\) और \(n=12\) हैं। अतः \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(3)+(12-1)\times2]=6(28)=168\)। इसलिए सही उत्तर 168 है। 170 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब पदों या अंतर की गणना में गलती हो। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The monthly numbers of new employees form an arithmetic progression: \(3, 5, 7, \ldots\). Here, \(a=3\), \(d=2\), and \(n=12\). Therefore, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(3)+(12-1)\times2]=6(28)=168\). Hence, 168 is the correct answer. A value such as 170 can result from an error in counting the terms or using the common difference. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then apply the formula for \(S_n\).
डिब्बों की संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=16\), सार्वांतर \(d=4\) और पदों की संख्या \(n=9\) है।
\(S_9=\frac{9}{2}[2(16)+(9-1)(4)]\)
\(=\frac{9}{2}[32+32]=\frac{9}{2}\times64=288\)।
अतः 9 शेल्फों पर कुल 288 डिब्बे होंगे। केवल \(16+8\times4=48\) करने पर नौवें शेल्फ के डिब्बे मिलते हैं, कुल नहीं। परीक्षा टिप: ‘कुल’ शब्द होने पर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, \(a_n\) का नहीं। / The numbers of boxes form an arithmetic progression with first term \(a=16\), common difference \(d=4\), and number of terms \(n=9\).
\(S_9=\frac{9}{2}[2(16)+(9-1)(4)]\)
\(=\frac{9}{2}[32+32]=\frac{9}{2}\times64=288\).
Therefore, the total number of boxes on 9 shelves is 288. Computing only \(16+8\times4=48\) gives the number on the ninth shelf, not the total. Exam tip: when the question asks for a total, use \(S_n\), not \(a_n\).
दूरियाँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: \(5,10,15,\ldots\), जहाँ \(a=5\), \(d=5\) और \(n=8\) हैं। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(5)+(8-1)5]=4(45)=180\) m। इसलिए सही उत्तर 180 m है। 170 m लेने पर आठवीं दूरी को सही प्रकार से शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले पद, अंतर और पदों की संख्या पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The gaps form an AP: \(5,10,15,\ldots\), where \(a=5\), \(d=5\), and \(n=8\). Therefore, \(S_8=\frac{8}{2}[2(5)+(8-1)5]=4(45)=180\) m. Hence, 180 m is correct. Choosing 170 m results from not including the eighth gap correctly. Exam tip: In AP word problems, identify the first term, common difference, and number of terms before applying \(S_n\).
दैनिक अभ्यास समय एक समानांतर श्रेणी बनाता है: 30, 40, 50, 60, 70। इसलिए कुल समय \(30+40+50+60+70=250\) मिनट है। विकल्प 225 मिनट तब मिलता यदि औसत समय 45 मिनट मान लिया जाए, लेकिन 5 पदों का सही औसत तीसरा पद, अर्थात 50 मिनट है। परीक्षा टिप: AP के विषम संख्या वाले पदों का योग = पदों की संख्या × मध्य पद। / The daily practice times form an AP: 30, 40, 50, 60, 70. Hence, the total is \(30+40+50+60+70=250\) minutes. The value 225 would result from incorrectly taking the average as 45 minutes; for five terms, the correct average is the middle term, 50 minutes. Exam tip: For an odd number of AP terms, sum = number of terms × middle term.
सितारों की संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ पहला पद 9 और सार्वांतर 3 है। 10वाँ पद \(a_{10}=a+(10-1)d=9+9\times3=36\) होगा। इसलिए सही उत्तर 36 है। 39 अगली पंक्ति, अर्थात 11वाँ पद, होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The numbers of stars form an arithmetic progression with first term 9 and common difference 3. The 10th term is \(a_{10}=a+(10-1)d=9+9\times3=36\). Therefore, the correct answer is 36. The value 39 would be the 11th term, not the 10th term. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the \(n\)th term of an AP.
विद्यार्थियों की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: 30, 35, 40, 45, 50, 55। यहाँ प्रथम पद \(a=30\), अंतर \(d=5\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(30)+(6-1)5]=3(85)=255\)। इसलिए सही उत्तर 255 है। 260 अंतिम कक्षा के विद्यार्थी जोड़ने में गलती होने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें। / The numbers of students form an AP: 30, 35, 40, 45, 50, 55. Here, \(a=30\), \(d=5\), and \(n=6\). Therefore, \(S_6=\frac{6}{2}[2(30)+(6-1)5]=3(85)=255\). Hence, 255 is the correct answer. 260 can result from incorrectly adding the final class size. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP sum formula.
यह उत्पादन समान्तर श्रेणी (AP) बनाता है, जहाँ पहला पद 200 और सार्वांतर 25 है। पाँचवें दिन का उत्पादन: \(a_5=a+(5-1)d=200+4\times25=300\) होगा। 325 पाने के लिए पाँच बार 25 जोड़ना पड़ेगा, जबकि पहले दिन के बाद केवल 4 दिन बीतते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The daily production forms an AP with first term 200 and common difference 25. The production on the fifth day is \(a_5=a+(5-1)d=200+4\times25=300\). Adding 25 five times gives 325, but only four increases occur after the first day. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for the \(n\)th term of an AP.
A. समान्तर श्रेणी (AP)/Arithmetic progression (AP)
Explanation
Simple Explanation
यह समान्तर श्रेणी है, क्योंकि हर अगली पंक्ति में सीटों की संख्या एक निश्चित अंतर 3 से बढ़ती है। जैसे 14−11=3। GP में पद एक निश्चित संख्या से गुणा होते हैं। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / This is an AP because the number of seats increases by the same fixed difference, 3, in every row; for example, 14−11=3. In a GP, consecutive terms have a constant ratio instead. Exam tip: subtract adjacent terms to identify an AP.
पानी की मात्रा एक घटती हुई समान्तर श्रेणी (AP) बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=1000\) और सार्वांतर \(d=-50\) है। आठवें दिन की मात्रा \(a_8=a+(8-1)d=1000+7(-50)=650\) लीटर होगी। \(600\) लीटर लेने पर कमी को 8 बार घटा दिया जाता है, जबकि पहले दिन की मात्रा पहले से ही दी हुई है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में हमेशा \(a+(n-1)d\) लगाएँ। / The water amounts form a decreasing arithmetic progression, with first term \(a=1000\) and common difference \(d=-50\). On the eighth day, \(a_8=a+(8-1)d=1000+7(-50)=650\) litres. Choosing \(600\) litres would subtract 50 eight times, but the given amount is already for day 1. Exam tip: use \(a+(n-1)d\) for the \(n\)th term.
हर घंटे ठीक की गई घड़ियों की संख्या समान्तर श्रेणी \(6,8,10,\ldots\) बनाती है, जहाँ \(a=6\), \(d=2\) और \(n=8\) हैं। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)(2)]=4(12+14)=104\)। इसलिए सही उत्तर \(104\) है। केवल आठवें घंटे का काम निकालना कुल काम नहीं बताता। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में कुल संख्या के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, \(a_n\) का नहीं। / The numbers of watches repaired each hour form the AP \(6,8,10,\ldots\), where \(a=6\), \(d=2\), and \(n=8\). Therefore, \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)(2)]=4(12+14)=104\). Hence, the correct answer is \(104\). Finding only the work done in the eighth hour would not give the total work. Exam tip: In AP word problems, use \(S_n\) for a total, not \(a_n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=2\) जीबी और सार्वांतर \(d=1\) जीबी है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{14}=2+(14-1)\times1=15\) जीबी। विकल्प A में 14 जीबी लेने पर प्रथम दिन की 2 जीबी मात्रा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में हमेशा \(n-1\) बार सार्वांतर जोड़ा जाता है। / This is an arithmetic progression with first term \(a=2\) GB and common difference \(d=1\) GB. The nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{14}=2+(14-1)\times1=15\) GB. Option A incorrectly ignores that the increase is added 13 times after the first day. Exam tip: For the nth term of an AP, use \(n-1\) common differences.
परतों में फूलों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(5,10,15,\ldots\)। यहाँ \(a=5\), \(d=5\) और \(n=10\) हैं। इसलिए \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(5)+(10-1)5]=5(55)=275\)। अतः 10 परतों में कुल 275 फूल होंगे। 250 केवल एक गलत योग से आ सकता है; AP के प्रश्नों में पदों की संख्या \(n\) अवश्य जाँचें। / The numbers of flowers in the layers form an AP: \(5,10,15,\ldots\). Here, \(a=5\), \(d=5\), and \(n=10\). Thus, \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(5)+(10-1)5]=5(55)=275\). Therefore, there are 275 flowers in 10 layers. The value 250 can result from an incorrect sum; in AP questions, always check the number of terms \(n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=100\), सार्वांतर \(d=20\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। अतः \(S_7=\frac{7}{2}[2(100)+(7-1)(20)]=\frac{7}{2}(320)=1120\) रुपये। इसलिए सही उत्तर 1120 है। 1100 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब वृद्धि या दिनों की संख्या का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट लिखें, फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily donations form an arithmetic progression with first term \(a=100\), common difference \(d=20\), and \(n=7\) terms. Therefore, \(S_7=\frac{7}{2}[2(100)+(7-1)(20)]=\frac{7}{2}(320)=1120\) rupees. Hence, 1120 is correct. An option such as 1100 may result from using the increase or the number of days incorrectly. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
प्रतिदिन लगाई गई ईंटों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=50\) और सार्वांतर \(d=10\) है। छठा पद \(a_6=a+(6-1)d=50+5\times10=100\) होगा। इसलिए सही उत्तर 100 है। 90 ईंटें पाँचवें दिन की संख्या होती है। परीक्षा टिप: AP के \(n\)वें पद के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / The number of bricks laid each day forms an arithmetic progression with first term \(a=50\) and common difference \(d=10\). The sixth term is \(a_6=a+(6-1)d=50+5\times10=100\). Therefore, the correct answer is 100. Note that 90 is the number of bricks laid on the fifth day. Exam tip: Use \(a_n=a+(n-1)d\) for the nth term of an AP.
कतारों की क्षमताएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: \(20,24,28,\ldots\), जहाँ \(a=20\), \(d=4\) और \(n=7\) हैं। अतः \(S_7=\frac{7}{2}[2(20)+(7-1)4]=\frac{7}{2}(64)=224\)। इसलिए कुल क्षमता 224 गाड़ियाँ है। 232 जैसी संख्या अंतिम पद को गलत लेने से आ सकती है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर योग का सूत्र लगाएँ। / The row capacities form an AP: \(20,24,28,\ldots\), where \(a=20\), \(d=4\), and \(n=7\). Thus, \(S_7=\frac{7}{2}[2(20)+(7-1)4]=\frac{7}{2}(64)=224\). Therefore, the total capacity is 224 cars. A value such as 232 can result from using an incorrect last term. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
प्रतिदिन सीखे गए शब्द एक समान्तर श्रेणी बनाते हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_9=\frac{9}{2}[2(7)+(9-1)\times3]=\frac{9}{2}(38)=171\)। इसलिए 9 दिनों में कुल 171 शब्द सीखे जाएंगे। 180 केवल तब मिलता यदि पदों या सार्वांतर की गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: कुल योग पूछे जाने पर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल नौवाँ पद नहीं। / The numbers of words learned each day form an AP with first term \(a=7\), common difference \(d=3\), and \(n=9\) terms. Therefore, \(S_9=\frac{9}{2}[2(7)+(9-1)\times3]=\frac{9}{2}(38)=171\). Hence, the child learns 171 words in 9 days. A value such as 180 results from an incorrect count of terms or common difference. Exam tip: when the total is asked, use the sum formula \(S_n\), not just the nth-term formula.
सीटों की संख्या एक समान्तर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=2\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=18+(12-1)\times2=18+22=40\)। इसलिए 12वीं पंक्ति में 40 सीटें होंगी। 42 प्राप्त करना \(12\) के स्थान पर गलती से \(12\times2\) जोड़ने से होता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में हमेशा \((n-1)\) का प्रयोग करें। / The seat numbers form an arithmetic progression with first term \(a=18\) and common difference \(d=2\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_{12}=18+(12-1)\times2=18+22=40\). Therefore, the 12th row has 40 seats. The answer 42 results from incorrectly adding \(12\times2\) instead of \(11\times2\). Exam tip: always use \((n-1)\) in the formula for the \(n\)th term.
साप्ताहिक बिक्री एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=40\) kg और सार्वांतर \(d=10\) kg है। पाँचवें सप्ताह की बिक्री \(a_5=a+(5-1)d=40+4\times10=80\) kg होगी। \(90\) kg लेने पर पाँच बार वृद्धि जोड़ दी जाती है, जबकि पहले सप्ताह के बाद केवल चार वृद्धि होती हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / The weekly sales form an arithmetic progression with first term \(a=40\) kg and common difference \(d=10\) kg. Therefore, the fifth-week sale is \(a_5=a+(5-1)d=40+4\times10=80\) kg. Choosing \(90\) kg incorrectly adds the increase five times; there are only four increases after the first week. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for the \(n\)th term.
प्रतिदिन रखी गई किताबों की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: 25, 30, 35, \ldots यहाँ प्रथम पद \(a=25\), सार्वांतर \(d=5\) और दिनों की संख्या \(n=8\) है। इसलिए \(S_8=\frac{8}{2}[2(25)+(8-1)5]=4(50+35)=340\)। अतः 8 दिनों में कुल 340 किताबें रखी जाएंगी। 350 अंतिम दिन की संख्या जोड़ने जैसी गलती से आ सकता है, पर कुल के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाना होता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें। / The numbers of books arranged each day form an AP: 25, 30, 35, \ldots Here, the first term is \(a=25\), the common difference is \(d=5\), and the number of days is \(n=8\). Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(25)+(8-1)5]=4(50+35)=340\). Therefore, 340 books are arranged in 8 days. A value such as 350 may result from incorrectly adding the last-day count; for a total, use the \(S_n\) formula. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) first.
तीलियों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्वांतर \(d=4\) है। \(11\)वाँ पद \(a_{11}=a+(11-1)d=3+10\times4=43\) होगा। विकल्प 41 तब मिलता है जब पदों की संख्या या वृद्धि की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / The matchstick counts form an arithmetic progression with first term \(a=3\) and common difference \(d=4\). The 11th term is \(a_{11}=a+(11-1)d=3+10\times4=43\). Option 41 can result from incorrectly counting the number of increases. Exam tip: always use \(a_n=a+(n-1)d\) for the nth term.
हर मिनट भरी जाने वाली पानी की मात्रा एक समान्तर श्रेणी बनाती है। यहाँ प्रथम पद \(a=8\) और सार्वांतर \(d=2\) है। इसलिए 10वाँ पद \(a_{10}=a+(10-1)d=8+9\times2=26\) होगा। अतः 10वें मिनट में \(26\ \text{L}\) पानी भरा जाएगा। \(24\ \text{L}\) लेने पर केवल 8वें मिनट की मात्रा मिलती है। परीक्षा टिप: किसी AP का \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) लगाएँ। / The amount filled each minute forms an arithmetic progression. Here, the first term is \(a=8\) and the common difference is \(d=2\). Thus, \(a_{10}=a+(10-1)d=8+9\times2=26\). Therefore, \(26\ \text{L}\) of water is filled in the 10th minute. \(24\ \text{L}\) would be the amount filled in the 8th minute, not the 10th. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the \(n\)th term of an AP.
प्रतिदिन बिकी कॉपियों की संख्या समान्तर श्रेणी है: \(12,16,20,24,28,32\)। यहाँ \(a=12\), \(d=4\) और \(n=6\) है। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(12)+(6-1)4]=3(44)=132\)। इसलिए सही उत्तर 132 है। विकल्प 128 अंतिम पद को शामिल किए बिना या योग में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily notebook sales form the AP \(12,16,20,24,28,32\). Here, \(a=12\), \(d=4\), and \(n=6\). Thus, \(S_6=\frac{6}{2}[2(12)+(6-1)4]=3(44)=132\). Therefore, the correct answer is 132. Option 128 may result from omitting the last term or making an addition error. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then apply the formula for \(S_n\).
दौड़ के समय 15, 20, 25, ... एक समान्तर श्रेणी (AP) बनाते हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=15\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=15+(7-1)\times5=45\) मिनट। 50 मिनट लेने पर सात के बजाय आठवें दिन का समय मिलेगा। परीक्षा टिप: AP के \(n\)वें पद में हमेशा \(n-1\) बार सार्वांतर जोड़ा जाता है। / The running times 15, 20, 25, ... form an arithmetic progression (AP), with first term \(a=15\) and common difference \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=15+(7-1)\times5=45\) minutes. Choosing 50 minutes would give the time for the eighth day, not the seventh. Exam tip: in the \(n\)th-term formula of an AP, add the common difference \(n-1\) times.
हर स्टॉप पर चढ़ने वाले यात्रियों की संख्या एक समानांतर श्रेणी है: \(4, 7, 10, \ldots\)। यहाँ \(a=4\), \(d=3\) और \(n=9\) हैं। इसलिए \(S_9=\frac{9}{2}[2(4)+(9-1)(3)]=\frac{9}{2}(32)=144\)। अतः सही उत्तर 144 है। 136 केवल तब मिल सकता है जब पदों या अंतर की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में कुल संख्या पूछी हो तो \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(n\)वाँ पद नहीं। / The numbers of passengers boarding at successive stops form an AP: \(4, 7, 10, \ldots\). Here, \(a=4\), \(d=3\), and \(n=9\). Thus, \(S_9=\frac{9}{2}[2(4)+(9-1)(3)]=\frac{9}{2}(32)=144\). Therefore, the correct answer is 144. A value such as 136 results from an incorrect count of terms or common difference. Exam tip: when a word problem asks for the total, use \(S_n\), not just the \(n\)th-term formula.
ईंटों की संख्या एक घटती समान्तर श्रेणी है: \(30, 28, 26, \ldots\)। यहाँ \(a=30\), \(d=-2\) और \(n=10\) हैं। दसवीं पंक्ति में ईंटें \(a_{10}=30+9(-2)=12\) होंगी। अतः \(S_{10}=\frac{10}{2}(30+12)=210\)। इसलिए सही उत्तर 210 है। 220 तब आता यदि अंतिम पद 14 मान लिया जाए, जो केवल 9वीं पंक्ति का पद है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद ज्ञात करके \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) का उपयोग करें। / The numbers of bricks form a decreasing AP: \(30, 28, 26, \ldots\). Here, \(a=30\), \(d=-2\), and \(n=10\). The 10th row has \(a_{10}=30+9(-2)=12\) bricks. Therefore, \(S_{10}=\frac{10}{2}(30+12)=210\). Hence, 210 is correct. The value 220 would result from incorrectly taking 14 as the last term; 14 is the 9th term. Exam tip: find the first and last terms, then use \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\).
पढ़े गए पृष्ठों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=5\) और सार्वांतर \(d=2\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=5+(12-1)\times2=5+22=27\)। इसलिए 12वें दिन विद्यार्थी 27 पेज पढ़ेगा। 25 पेज लेने पर वृद्धि केवल 10 दिनों की मानी जाएगी, जबकि 12वें पद तक 11 बार वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में हमेशा \((n-1)\) बार सार्वांतर जोड़ें। / The numbers of pages form an arithmetic progression with first term \(a=5\) and common difference \(d=2\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{12}=5+(12-1)\times2=5+22=27\). Hence, the student reads 27 pages on the 12th day. Choosing 25 would count only 10 increases, but there are 11 increases from the first term to the 12th term. Exam tip: use \((n-1)\), not \(n\), when finding the \(n\)th term of an AP.
पौधों की संख्याएँ समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)3]=4(12+21)=132\)। इसलिए 8 कतारों में कुल 132 पौधे लगेंगे। 120 केवल अंतिम, यानी 8वीं कतार तक की संख्या को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: कुल पदों का योग पूछे जाने पर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(a_n\) का नहीं। / The numbers of plants form an AP with first term \(a=6\), common difference \(d=3\), and \(n=8\) terms. \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)3]=4(12+21)=132\). Therefore, 132 plants are planted in 8 rows. A value such as 120 may result from an incorrect addition up to the eighth row. Exam tip: when the total of all terms is asked, use the sum formula \(S_n\), not only the nth-term formula \(a_n\).
दिया है \(a_6=22\), अतः \(a_{14}=3(22)+4=70\)। AP में \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\), इसलिए \(70-22=8d\), अर्थात \(d=6\)। अब \(a_{22}=a_6+(22-6)d=22+16\times6=118\)। इसलिए सही उत्तर \(118\) है। \(114\) लेने पर पदों के बीच का अंतर सही रूप से लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: दो ज्ञात पदों के अंतर के लिए \(a_m-a_n=(m-n)d\) का प्रयोग करें। / Given \(a_6=22\), we get \(a_{14}=3(22)+4=70\). In an AP, \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\). Hence, \(70-22=8d\), so \(d=6\). Now \(a_{22}=a_6+(22-6)d=22+16\times6=118\). Therefore, the correct answer is \(118\). The option \(114\) results from not applying the correct difference in term numbers. Exam tip: use \(a_m-a_n=(m-n)d\) when two terms of an AP are known.
