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यह समान्तर अनुक्रम है जिसमें अंतर (5) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर से (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / This is an arithmetic sequence with common difference (5). In exams, use first term and difference in (a_n=a+(n-1)d).
पहला पद (7) और अंतर (6) है इसलिए \(a_n=6n+1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (6) so \(a_n=6n+1\). In exams check the first term by putting (n=1).
दिया गया नियम \(a_n=2n^2+n+2\) रखने पर \(a_1=5\), \(a_2=12\), \(a_3=23\) और \(a_4=38\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(2n^2+n+2\) है। विकल्प \(7n-2\) पहले दो पद देता है, लेकिन तीसरे पद के लिए 19 देता है, 23 नहीं। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन या चार पदों पर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+n+2\) gives \(5,12,23,38\), respectively. Therefore, \(2n^2+n+2\) is the correct general term. The close distractor \(7n-2\) matches the first two terms but gives 19, not 23, for the third term. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three or four terms.
क्रम \(1,4,9,16,\ldots\) के लिए \(a_n=n^2\) है, इसलिए इसका नियम द्विघात है। प्रथम अंतर 3, 5, 7 और द्वितीय अंतर 2 है। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर द्विघात क्रम पहचानता है। / For \(1,4,9,16,\ldots\), \(a_n=n^2\), so the rule has degree 2. The first differences are 3, 5, 7, giving a constant second difference of 2. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
\(a_n=5-2n\) में लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=-2\) स्थिर है, इसलिए यह अंकगणितीय अनुक्रम है। विकल्प B में पदों का अनुपात स्थिर है, इसलिए वह गुणोत्तर है। परीक्षा में रैखिक रूप \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=5-2n\), the difference \(a_{n+1}-a_n=-2\) is constant, so it is arithmetic. In option B, the ratio of consecutive terms is constant, making it geometric. Exam tip: an AP rule is usually linear in \(n\), of the form \(pn+q\).
\(2n^2+3n\) एक द्विघात नियम है, इसलिए इसके प्रथम अंतर रैखिक और द्वितीय अंतर स्थिर होते हैं। \(5n-1\) के प्रथम अंतर ही स्थिर होते हैं। परीक्षा में द्विघात अनुक्रम पहचानने के लिए स्थिर द्वितीय अंतर देखें। / \(2n^2+3n\) is a quadratic rule, so its first differences are linear and its second differences are constant. For \(5n-1\), the first differences themselves are constant. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
((-1)^n) विषम (n) पर (-1) और सम (n) पर (1) देता है। परीक्षा में वैकल्पिक चिह्न वाले नियम में (n) की सम-विषम स्थिति देखें। / ((-1)^n) gives (-1) for odd (n) and (1) for even (n). In exams, check odd-even positions in alternating rules.
(4n+7=75) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+7=75) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(5n+3=88) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+3=88) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
यह एक समान्तर श्रेणी है क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद के बीच का अंतर 5 है। यहाँ प्रथम पद \(a=-2\), सार्वांतर \(d=5\) और \(n=20\) है। अतः \(a_{20}=a+(n-1)d=-2+(20-1)\times5=-2+95=93\)। इसलिए सही उत्तर 93 है। 98 लेने पर पदों की गिनती या \(n-1\) के स्थान पर गलत मान लेने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: समान्तर श्रेणी में हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र में \(n-1\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression because the difference between consecutive terms is 5. Here, \(a=-2\), \(d=5\), and \(n=20\). Therefore, \(a_{20}=a+(n-1)d=-2+(20-1)\times5=-2+95=93\). Hence, 93 is correct. Getting 98 usually results from miscounting the terms or using an incorrect value in place of \(n-1\). Exam tip: for an arithmetic progression, always use \(a_n=a+(n-1)d\).
इसका नियम \(a_n=8n+1\) है और (8n+1=81) से (n=10) नहीं बल्कि (n=10) मिलता है। परीक्षा में विकल्प चुनने से पहले गणना दोबारा जाँचें। / Its rule is \(a_n=8n+1\) and (8n+1=81) gives (n=10). In exams recheck the calculation before choosing the option.
(n=1) पर (111) और (n=2) पर (102) मिलता है इसलिए \(a_n=120-9n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (111) and at (n=2) it gives (102) so \(a_n=120-9n\). In exams keep the decreasing difference negative.
समान्तर अनुक्रम का सार्वांतर \(d=\frac{a_8-a_3}{8-3}=\frac{39-14}{5}=5\) है। अतः \(a_n=a_3+(n-3)d=14+5(n-3)=5n-1\)। इसलिए सही विकल्प \(5n-1\) है। विकल्प \(4n+2\) में \(a_3=14\) तो मिलता है, पर \(a_8=34\) होगा, 39 नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों से पहले \(d=\frac{a_q-a_p}{q-p}\) ज्ञात करें, फिर किसी एक पद का उपयोग करें। / The common difference is \(d=\frac{a_8-a_3}{8-3}=\frac{39-14}{5}=5\). Hence, \(a_n=a_3+(n-3)d=14+5(n-3)=5n-1\). Therefore, \(5n-1\) is correct. Although \(4n+2\) gives \(a_3=14\), it gives \(a_8=34\), not 39. Exam tip: First find \(d=\frac{a_q-a_p}{q-p}\) from two known terms, then substitute either known term.
दिया है कि \(a_n=(n+2)^2-3\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 46 है। निकटतम विकल्प 44 तब आ सकता है जब वर्ग करने या घटाने में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक, घात और बाकी संक्रियाएँ क्रम से हल करें। / Given \(a_n=(n+2)^2-3\), substitute \(n=5\): \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\). Therefore, 46 is the correct option. The nearby option 44 may result from an error while squaring or subtracting. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate brackets, powers, and the remaining operations in order.
अनुक्रम के पद क्रमशः \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2,\ldots\) हैं। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2\) होगा। \(a_n=n^2+1\) लेने पर पहला पद 2 आएगा, जो दिए गए अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले कुछ पदों को उनके क्रमांक \(n=1,2,3,\ldots\) के साथ लिखकर पैटर्न जाँचें। / The terms are \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2,\ldots\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2\). If \(a_n=n^2+1\), the first term would be 2, which does not match the sequence. Exam tip: write the first few terms alongside \(n=1,2,3,\ldots\) to check the pattern.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(6,13,22,33\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^2+4n+1\) है। निकटतम विकल्प D के पहले दो पद \(6,13\) तो मिलते हैं, लेकिन \(n=3\) पर यह \(20\) देता है, जबकि दिया गया पद \(22\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(6,13,22,33\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^2+4n+1\). The closest distractor, option D, gives the first two terms as \(6,13\), but for \(n=3\) it gives \(20\), not \(22\). Exam tip: test a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
दिया है \(a_n=\frac{n(n+4)}{2}\)। \(a_8\) के लिए \(n=8\) रखने पर \(a_8=\frac{8(8+4)}{2}=\frac{8\times12}{2}=48\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 48 है। 46 या 50 जैसे विकल्प गणना में गलती से मिल सकते हैं, पर \(8+4=12\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का सही मान रखें, फिर चरणों में सरल करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+4)}{2}\). For \(a_8\), substitute \(n=8\): \(a_8=\frac{8(8+4)}{2}=\frac{8\times12}{2}=48\). Hence, 48 is the correct option. Values such as 46 or 50 can result from an arithmetic error, but \(8+4=12\). Exam tip: Substitute the required value of \(n\) first, then simplify step by step.
(\frac{n(n+4)}{2}) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / Using (\frac{n(n+4)}{2}) gives the given terms. In exams check fractional terms using small (n) values.
दिया है कि \(a_n=2^n+1\)। अतः \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+1=64+1=65\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 65 है। 63 प्राप्त होता यदि व्यंजक \(2^n-1\) होता, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के सामान्य पद में पहले दिए गए \(n\) का मान रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=2^n+1\), substitute \(n=6\): \(a_6=2^6+1=64+1=65\). Hence, 65 is the correct option. The value 63 would result from \(2^n-1\), so it is not correct here. Exam tip: In a general term of a sequence, substitute the given value of \(n\) first and then evaluate the exponent.
दिया है कि \(a_n=2^n+3n-2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(28\) चुनना अक्सर जोड़-घटाव में गलती करने से होता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को क्रम से जोड़ें या घटाएँ। / Given \(a_n=2^n+3n-2\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\). Therefore, option B is correct. Choosing \(28\) usually results from an error in addition or subtraction. Exam tip: evaluate the exponent first, then add or subtract the remaining terms in order.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=10\) और सार्वांतर \(d=7-10=-3\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=10+(n-1)(-3)=13-3n\) होगा। विकल्प \(10-3n\) में \(n=1\) रखने पर पहला पद 7 मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) रखने पर पहला पद अवश्य मिलना चाहिए। / This is an arithmetic progression with first term \(a=10\) and common difference \(d=7-10=-3\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d=10+(n-1)(-3)=13-3n\). In \(10-3n\), putting \(n=1\) gives 7 rather than the first term 10, so it is incorrect. Exam tip: verify a general term by substituting \(n=1\); it must give the first term.
(6n-4=62) से (6n=66) और (n=11) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (6n-4=62), (6n=66) and (n=11). For term position, equate \(a_n\) to the given value.
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(n(n+1)\) से क्रमशः \(1\cdot2=2\), \(2\cdot3=6\), \(3\cdot4=12\) और \(4\cdot5=20\) प्राप्त होते हैं। अतः सामान्य पद \(a_n=n(n+1)\) है। \(n^2+1\) का दूसरा पद 5 होगा, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य नियम जाँचने के लिए उसमें \(n=1,2,3\) रखकर शुरुआती पदों से मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(n(n+1)\) gives \(1\cdot2=2\), \(2\cdot3=6\), \(3\cdot4=12\), and \(4\cdot5=20\). Hence, the general term is \(a_n=n(n+1)\). The close distractor \(n^2+1\) gives 5 as its second term, so it does not fit the sequence. Exam tip: test a proposed general rule by substituting \(n=1,2,3\) and matching the initial terms.
\(6n^2-5n+2\) से (3,16,41,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(6n^2-5n+2\) gives (3,16,41,78). In exams identify a quadratic rule by observing second differences.
दिया है कि \(a_n=3n^2-2\)। अतः \(a_4=3(4)^2-2=46\) और \(a_5=3(5)^2-2=73\)। इसलिए \(a_4+a_5=46+73=119\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प 115 तब मिल सकता है जब \(a_5\) की गणना में वर्ग या गुणा में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान रखकर वर्ग निकालें, फिर बाकी संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=3n^2-2\), \(a_4=3(4)^2-2=46\) and \(a_5=3(5)^2-2=73\). Therefore, \(a_4+a_5=46+73=119\), so option C is correct. A value such as 115 can result from an error while squaring or multiplying for \(a_5\). Exam tip: substitute the value of \(n\), evaluate the square first, and then perform the remaining operations.
दिया है \(a_n=3\cdot2^n+n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=3\cdot2^5+5=3\cdot32+5=96+5=101\)। इसलिए सही विकल्प 101 है। 96 केवल \(3\cdot2^5\) का मान है; उसमें अंतिम \(+5\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान पूरे सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot2^n+n\). Substituting \(n=5\), \(a_5=3\cdot2^5+5=3\cdot32+5=96+5=101\). Hence, 101 is the correct option. The value 96 comes from calculating only \(3\cdot2^5\) and incorrectly omitting the final \(+5\). Exam tip: Substitute the term number in every part of the formula before simplifying.
विकल्प B में \(a_n=3n^2+1\) रखने पर \(a_1=3(1)^2+1=4\), \(a_2=3(2)^2+1=13\), \(a_3=28\) और \(a_4=49\) मिलते हैं। इसलिए यही सही सामान्य पद है। उदाहरण के लिए, विकल्प A में \(a_2=11\) आता है, जो अनुक्रम के दूसरे पद 13 से मेल नहीं खाता। परीक्षा में किसी नियम को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For option B, \(a_n=3n^2+1\) gives \(a_1=3(1)^2+1=4\), \(a_2=3(2)^2+1=13\), \(a_3=28\), and \(a_4=49\). Hence, it is the correct general term. For example, option A gives \(a_2=11\), which does not match the second term, 13. Exam tip: test a proposed rule for at least the first two or three terms.
\(3\cdot2^n+n\) से (7,14,27,52) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और अतिरिक्त पद दोनों जाँचें। / \(3\cdot2^n+n\) gives (7,14,27,52). In exams check both the power and extra term in rapid growth.
41 किस पद का मान है, यह जानने के लिए a_n=41 रखें: 2n+5=41। अतः 2n=36 और n=18। इसलिए 41 अनुक्रम का 18वाँ पद है। 17वाँ पद 2(17)+5=39 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए a_n के स्थान पर दिया गया मान रखकर n का मान हल करें। / To find the position whose value is 41, put a_n=41: 2n+5=41. Thus, 2n=36 and n=18. Therefore, 41 is the 18th term of the sequence. The 17th term is 2(17)+5=39, so it is not correct. Exam tip: To find a term’s position from an explicit rule, substitute the given term value for a_n and solve for n.
पहले छह पद (2,13,24,35,46,57) हैं और औसत (29.5) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first six terms are (2,13,24,35,46,57) and the average is (29.5). In exams divide the sum by the number of terms.
नियम \(a_n=11n-9\) है और (11n-9=134) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / The rule is \(a_n=11n-9\) and (11n-9=134) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए
\(10-2n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>5\) मिलता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=6\) है। जाँच करें: \(a_5=10-2(5)=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_6=10-2(6)=-2\) है। परीक्षा टिप: “ऋणात्मक” के लिए पद का मान \(0\) से कम होना चाहिए, \(0\) नहीं। / For the first negative term, we need \(10-2n<0\). This gives \(n>5\), so the smallest integer value is \(n=6\). Checking nearby terms: \(a_5=10-2(5)=0\), which is not negative, whereas \(a_6=10-2(6)=-2\). Exam tip: a negative term must be less than \(0\); zero is neither positive nor negative.
दिया है, \(a_n=n^3+2n^2-n\)। n=4 रखने पर, (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 92 है। 94 तब मिलता यदि अंतिम -4 को घटाने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान सूत्र के प्रत्येक पद में सावधानी से रखिए। / Given \(a_n=n^3+2n^2-n\), substitute n=4: (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92). Therefore, 92 is the correct option. A value such as 94 can result from an error while subtracting the final 4. Exam tip: Substitute the value of n carefully into every term of the rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(n^2+5\) से (6,9,14,21) नहीं बल्कि विकल्प जांच में गलती दिखती है। सही पद (6,11,18,27) के लिए \(n^2+2n+3\) चाहिए। / This option set has a mismatch because \(n^2+5\) gives (6,9,14,21), not the given sequence. The correct rule for (6,11,18,27) is \(n^2+2n+3\).
दिए गए पदों के प्रथम अंतर \(12,37,89\) हैं और द्वितीय अंतर \(25,52\) हैं। तृतीय अंतर \(27\) स्थिर है, इसलिए उपयुक्त नियम घन बहुपद के रूप में लिया जाता है। \(a_n=\frac{9n^3-29n^2+48n-24}{2}\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,14,51,140\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में \(n=3\) पर \(42\) मिलता है, \(51\) नहीं। परीक्षा टिप: घन-आधारित नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन या चार पद रखकर सत्यापित करें। / The first differences are \(12,37,89\), and the second differences are \(25,52\). The third difference is constant at \(27\), so an appropriate rule is a cubic polynomial. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=\frac{9n^3-29n^2+48n-24}{2}\) gives \(2,14,51,140\), respectively. Option B gives \(42\) when \(n=3\), not \(51\). Exam tip: verify a cubic-type rule by substituting at least the first three or four values of \(n\).
\(7n^2+2n-5\) से (4,27,64,115) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(7n^2+2n-5\) gives (4,27,64,115). In exams choose a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है: \(a_n=4^n+2n-5\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3+2(3)-5=64+6-5=65\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 65 है। 63 प्राप्त होना सामान्यतः \(2n\) वाले पद को गलत जोड़ने पर होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान हर पद में रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=4^n+2n-5\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3+2(3)-5=64+6-5=65\). Therefore, 65 is correct. A value such as 63 can result from incorrectly evaluating or adding the \(2n\) term. Exam tip: substitute the term number into every part of the rule before simplifying.
\(4^n+2n-5\) से (1,15,65,259) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियमों में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(4^n+2n-5\) gives (1,15,65,259). In exams also check constant subtraction in power-based rules.
