Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद को 2 से गुणा करके उसी चरण का \(n^2\) जोड़ते हैं। \(a_2=2(5)+1^2=11\), \(a_3=2(11)+2^2=26\), और \(a_4=2(26)+3^2=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 59 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(3^2\) सही ढंग से न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में \(n=1,2,3\) क्रमशः लगाएँ। / In the recursive rule, double the current term and then add the square of the step number. \(a_2=2(5)+1^2=11\), \(a_3=2(11)+2^2=26\), and \(a_4=2(26)+3^2=61\). Therefore, 61 is correct. A value such as 59 results from not adding \(3^2\) correctly in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=100-(2\times1^2+1)=97\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=97-(2\times2^2+2)=97-10=87\) होगा। इसलिए सही उत्तर 87 है। 89 तब मिलता यदि दूसरे चरण में घटाई जाने वाली मात्रा गलत निकाली जाती। परीक्षा टिप: पुनरावृत्ति संबंध में प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का नया मान रखें। / For \(n=1\), \(a_2=100-(2\times1^2+1)=97\). Then, for \(n=2\), \(a_3=97-(2\times2^2+2)=97-10=87\). Therefore, the correct answer is 87. The value 89 would result from calculating the amount subtracted in the second step incorrectly. Exam tip: in a recursive rule, substitute the new value of \(n\) for each successive term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके ठीक पहले के दो पदों से बनता है। अतः \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), और \(a_5=2\times39+16=94\)। इसलिए सही उत्तर 94 है। 96 एक संभावित गणना-त्रुटि हो सकती है, क्योंकि \(a_5\) निकालते समय \(a_4\) और \(a_3\) दोनों का उपयोग करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते ही उसे क्रम में लिखें, ताकि पिछले दो पद सही चुने जाएँ। / In this recursive rule, each new term is formed using the two immediately preceding terms. Thus, \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), and \(a_5=2\times39+16=94\). Therefore, 94 is correct. A value such as 96 can result from an arithmetic error; both \(a_4\) and \(a_3\) must be used to find \(a_5\). Exam tip: write each term in order before applying the recurrence again.
\(a_3=2\times7+2=16\) और \(a_4=2\times16+7=39\) है। दो-पद नियम में क्रमांक साथ लिखें। / \(a_3=2\times7+2=16\) and \(a_4=2\times16+7=39\). Exam tip: write positions while using a two-term rule.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें। a_2=12-4=8, a_3=8+7=15 और a_4=15-10=5। अतः सही उत्तर 5 है। 7 वह मान है जो तीसरे पद के परिवर्तन को ठीक से लागू न करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में पहले (-1)^n का चिह्न निर्धारित करें, फिर अगला पद निकालें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=12-4=8, a_3=8+7=15, and a_4=15-10=5. Therefore, the correct answer is 5. The value 7 may result from not applying the third-step change correctly. Exam tip: determine the sign of (-1)^n first at every step, then calculate the next term.
पुनरावर्ती नियम में पहले क्रमशः अगले पद निकालते हैं। जब \(n=1\), तब \(a_2=6+1(1+4)+2=13\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=13+2(2+4)+2=13+12+2=27\)। अतः सही उत्तर \(27\) है। \(25\) निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, यदि दूसरे चरण में \(2(2+4)\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए नियम में \(n\) का अगला पूर्णांक मान रखें। / Use the recursive rule successively to find the next terms. For \(n=1\), \(a_2=6+1(1+4)+2=13\). Then, for \(n=2\), \(a_3=13+2(2+4)+2=13+12+2=27\). Therefore, the correct answer is \(27\). The nearby distractor \(25\) can result from incorrectly evaluating \(2(2+4)\) in the second step. Exam tip: substitute the next integer value of \(n\) each time you calculate a new term.
पुनरावृत्ति नियम में हर बार पिछले पद के लिए उचित n का मान लेना होता है। a_2=2(4)+4(1)-1=11, a_3=2(11)+4(2)-1=29 और a_4=2(29)+4(3)-1=69। अतः सही उत्तर 69 है। 71 तब मिल सकता है जब 4n-1 वाले भाग में n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / Apply the recursive rule successively with the appropriate value of n. We get a_2=2(4)+4(1)-1=11, a_3=2(11)+4(2)-1=29, and a_4=2(29)+4(3)-1=69. Therefore, the correct answer is 69. A value such as 71 can result from using an incorrect value of n in the term 4n-1. Exam tip: to find a_4, apply the rule in order for n=1, 2, and 3.
A. \(a_1=2\) और \(a_{n+1}=a_n+3\), जहाँ \(n\geq1\)/\(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+3\), where \(n\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में प्रारम्भिक पद \(a_1=2\) और अगला पद पाने का नियम दोनों दिए हैं, इसलिए अनुक्रम अद्वितीय है। जैसे \(a_2=2+3=5\)। परीक्षा में जाँचें कि प्रारम्भिक पद अवश्य दिया हो। / Option A gives both an initial term, \(a_1=2\), and a rule for obtaining each next term, so it determines one unique sequence. For example, \(a_2=2+3=5\). Exam tip: a recursive definition needs a starting value.
पुनरावृत्ति संबंध में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=\frac{96}{2}+1^2+1=48+2=50\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{50}{2}+2^2+2=25+6=31\) होगा। इसलिए सही उत्तर 31 है। विकल्प 30 तब आ सकता है जब दूसरे चरण में \(2^2+2\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः \(n=1\) और \(n=2\) पर लागू करें। / Apply the recursive rule first with \(n=1\): \(a_2=\frac{96}{2}+1^2+1=48+2=50\). Next, use \(n=2\): \(a_3=\frac{50}{2}+2^2+2=25+6=31\). Hence, 31 is correct. Option 30 may result from adding \(2^2+2\) incorrectly in the second step. Exam tip: To find \(a_3\), apply the rule successively for \(n=1\) and \(n=2\).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) निकालते हैं: \(a_2=\frac{24}{3}+1^2=8+1=9\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{9}{3}+2^2=3+4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। विकल्प 9, \(a_2\) का मान है, \(a_3\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) ज्ञात करते समय \(n\) का अगला उपयुक्त मान क्रम से रखें। / Use the recursive rule step by step. For \(n=1\), \(a_2=\frac{24}{3}+1^2=8+1=9\). Then, for \(n=2\), \(a_3=\frac{9}{3}+2^2=3+4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 9 is the value of \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: substitute successive values of \(n\) in order when applying a recursive rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले a_2 निकालते हैं: a_2=10+2(10)+12=31। फिर n=2 रखने पर a_3=31+2(10)+22=31+20+4=55। इसलिए सही उत्तर 55 है। 56 तब आ सकता है जब 22 को गलत रूप से 5 माना जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगला पद निकालते समय n का सही मान रखें, जबकि a_1=10 स्थिर रहता है। / Use the recursive rule step by step. First, a_2=10+2(10)+12=31. Then, with n=2, a_3=31+2(10)+22=31+20+4=55. Hence, the correct answer is 55. The value 56 may result from incorrectly evaluating 22 as 5. Exam tip: substitute the correct value of n at each step, while a_1=10 remains fixed.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए पिछले दो पदों के साथ उस पद का 3n जोड़ना है। अतः a_3=6+2+3(3)=17, a_4=17+6+3(4)=35, और a_5=35+17+3(5)=67। इसलिए सही उत्तर 67 है। 62 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब 3(5)=15 जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: a_5 निकालने से पहले क्रम से a_3 और a_4 अवश्य ज्ञात करें। / The recursive rule requires adding the previous two terms and 3n for the current index. Thus, a_3=6+2+3(3)=17, a_4=17+6+3(4)=35, and a_5=35+17+3(5)=67. Therefore, 67 is correct. An answer such as 62 can result from an error while adding 3(5)=15. Exam tip: find a_3 and a_4 in order before calculating a_5.
(74-11=63) और \(63\div7=9\) चरण हैं इसलिए पद संख्या (10) है। चरणों में (1) जोड़कर पद संख्या मिलती है। / (74-11=63), and \(63\div7=9\) steps, so the term number is (10). Exam tip: add (1) to the number of steps.
दिया है कि \(a_1=4\)। अतः \(a_2=2(4)+7=15\), \(a_3=2(15)+7=37\) और \(a_4=2(37)+7=81\)। इसलिए \(a_4-a_2=81-15=66\)। अतः सही उत्तर 66 है। 62 जैसे विकल्प में पदों की गणना या घटाव में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में आवश्यक पदों को क्रम से लिखकर फिर अंतर निकालें। / Given \(a_1=4\), we get \(a_2=2(4)+7=15\), \(a_3=2(15)+7=37\), and \(a_4=2(37)+7=81\). Therefore, \(a_4-a_2=81-15=66\). Hence, 66 is the correct answer. A value such as 62 results from an error while generating the terms or subtracting them. Exam tip: In a recursive sequence, calculate the required terms in order before finding their difference.
दिया है कि a_1=4। पुनरावर्ती नियम से a_2=2(4)+7=15 तथा a_3=2(15)+7=37। इसलिए a_3-a_2=37-15=22। विकल्प 20 तब मिलता यदि पदों की गणना या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम वाले प्रश्नों में आवश्यक पदों को क्रम से निकालकर ही अंतर ज्ञात करें। / Given a_1=4, the recursive rule gives a_2=2(4)+7=15 and a_3=2(15)+7=37. Therefore, a_3-a_2=37-15=22. The value 20 would result from an error while calculating the terms or subtracting them. Exam tip: in recursive-sequence questions, calculate the required terms in order before finding their difference.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के योग में 6 जोड़कर मिलता है। इसलिए, \(a_3=8+4+6=18\) और \(a_4=18+8+6=32\)। अतः सही उत्तर 32 है। 26 केवल \(a_2+a_3\) है; इसमें नियम के अनुसार 6 जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने से पहले \(a_3\) अवश्य ज्ञात करें और स्थिरांक को हर चरण में जोड़ें। / The recursive rule forms each new term by adding the previous two terms and 6. Thus, \(a_3=8+4+6=18\), and \(a_4=18+8+6=32\). Therefore, the correct answer is 32. The value 26 is only \(a_2+a_3\); it misses the required addition of 6. Exam tip: find \(a_3\) before calculating \(a_4\), and include the constant at every step.
समान्तर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। \(a_{n+1}-a_n=4\) होने से प्रत्येक नया पद 4 बढ़ता है। विकल्प C में अंतर \(4n\) है, जो बदलता रहता है। परीक्षा टिप: अंतर को \(a_{n+1}-a_n\) से जाँचें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. Here, \(a_{n+1}-a_n=4\), so every term increases by 4. In option C, the difference is \(4n\), which changes. Exam tip: test an AP rule using \(a_{n+1}-a_n\).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर प्राप्त होता है: a_2=5+(8×1-3)=10, a_3=10+(8×2-3)=23 और a_4=23+(8×3-3)=44। अतः सही उत्तर 44 है। 41 तब मिलता यदि किसी चरण में वृद्धि का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को n=1 से n=3 तक क्रमशः लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=5+(8×1-3)=10, a_3=10+(8×2-3)=23, and a_4=23+(8×3-3)=44. Therefore, the correct answer is 44. A value such as 41 results from using an incorrect increment at one of the steps. Exam tip: to find a_4, apply the rule step by step from n=1 to n=3.
नियम \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों पर निर्भर है, इसलिए \(a_1\) और \(a_2\) दोनों चाहिए। परीक्षा टिप: जितने पिछले पद हों, उतने प्रारंभिक पद आवश्यक होते हैं। / In \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), every new term depends on the two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. Exam tip: count the previous terms used to identify the required initial terms.
पद (7,9,15,27,47) हैं इसलिए (47) पाँचवाँ पद है। बदलते जोड़ लिखकर पद संख्या जाँचें। / The terms are (7,9,15,27,47), so (47) is the fifth term. Exam tip: write changing additions to check the position.
पद (150,148,142,130,110) हैं इसलिए (110) पाँचवाँ पद है। घटते हुए पदों को क्रमांक सहित लिखें। / The terms are (150,148,142,130,110), so (110) is the fifth term. Exam tip: write decreasing terms with positions.
नियम \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\) में पिछले दो पद \(a_{n-1}\) और \(a_{n-2}\) चाहिए, इसलिए \(a_1\) तथा \(a_2\) दोनों देने होंगे। A और B में केवल एक पिछला पद लगता है। परीक्षा टिप: नियम में जितने पिछले पद हों, उतने प्रारम्भिक पद गिनें। / The rule \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\) depends on the two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. A and B are first-order rules and need only one initial term. Exam tip: count the previous terms used in the rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले पद से क्रमशः अगले पद निकालते हैं। जब \(n=1\), तब \(a_2=a_1+a_1+1^2=6+6+1=13\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2^2=13+6+4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। यहाँ \(a_1\) का मान हर चरण में 6 ही रहता है; इसे \(a_2\) से बदलना गलत होगा। परीक्षा टिप: \(a_3\) पाने के लिए नियम में पहले \(n=1\), फिर \(n=2\) रखें। / Use the recursive rule step by step. For \(n=1\), \(a_2=a_1+a_1+1^2=6+6+1=13\). Then, for \(n=2\), \(a_3=a_2+a_1+2^2=13+6+4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value of \(a_1\) remains 6 in every step; replacing it with \(a_2\) would be incorrect. Exam tip: To find \(a_3\), apply the rule first with \(n=1\) and then with \(n=2\).
