Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समान्तर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है। नियम \(a_{n+1}=a_n+7\) हर चरण में ठीक 7 जोड़ता है, इसलिए सार्वांतर 7 है। \(a_n+n\) में अंतर \(n\) के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}-a_n\) निकालकर जाँचें कि वह नियतांक है या नहीं। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. The rule \(a_{n+1}=a_n+7\) adds exactly 7 at every step, so its common difference is 7. In \(a_n+n\), the difference changes with \(n\). Exam tip: compute \(a_{n+1}-a_n\); it must be a constant for an AP.
पद (2,5,12,29,70) हैं इसलिए \(a_5=70\) है। दो-पद नियम में दोनों पिछले पदों का उपयोग करें। / The terms are (2,5,12,29,70), so \(a_5=70\). Exam tip: use both previous terms in a two-term rule.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगले पद के लिए वर्तमान n का मान लें। a_2=2(2)+3(1)-1=6, a_3=2(6)+3(2)-1=17 और a_4=2(17)+3(3)-1=42। अतः सही उत्तर 42 है। 39 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 2a_3 का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: a_2, a_3 और a_4 निकालते समय n=1, 2, 3 क्रमशः लिखें। / Use the current value of n at each step of the recursive rule. a_2=2(2)+3(1)-1=6, a_3=2(6)+3(2)-1=17, and a_4=2(17)+3(3)-1=42. Therefore, 42 is correct. A value such as 39 can result from an error while calculating 2a_3 in the final step. Exam tip: explicitly write n=1, 2, and 3 while finding a_2, a_3, and a_4 respectively.
पद (1,4,8,16,29) हैं इसलिए \(a_5=29\) है। पिछले दो पदों के साथ वर्तमान (n) जोड़ें। / The terms are (1,4,8,16,29), so \(a_5=29\). Exam tip: add the current (n) with the previous two terms.
(53-9=44) और \(44\div4=11\) चरण हैं इसलिए पद संख्या (12) है। चरणों में (1) जोड़कर पद संख्या मिलती है। / (53-9=44), and \(44\div4=11\) steps, so the term number is (12). Exam tip: add (1) to the number of steps.
पुनरावर्ती नियम से \(a_2=2(3)+5=11\), \(a_3=2(11)+5=27\) और \(a_4=2(27)+5=59\) मिलता है। अतः \(a_4-a_2=59-11=48\) है, इसलिए विकल्प C सही है। \(45\) जैसे विकल्प मध्यवर्ती पदों या घटाव में गलती से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: आवश्यक पदों को क्रम से लिखें और फिर दिए गए पदों का अंतर निकालें। / Using the recursive rule, \(a_2=2(3)+5=11\), \(a_3=2(11)+5=27\), and \(a_4=2(27)+5=59\). Therefore, \(a_4-a_2=59-11=48\), so option C is correct. A value such as \(45\) can result from an error in finding an intermediate term or subtracting. Exam tip: write the required terms in order before taking their difference.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद, उससे पहले के दो पदों का योग लेकर उसमें 5 जोड़ने से मिलता है। इसलिए \(a_3=6+2+5=13\), \(a_4=13+6+5=24\), और \(a_5=24+13+5=42\)। अतः सही उत्तर 42 है। 46 तब मिलता यदि पिछले पदों का योग या स्थिरांक गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते समय पिछले ठीक दो पदों और +5 को अवश्य शामिल करें। / The recursive rule says that each new term is the sum of the previous two terms plus 5. Thus, \(a_3=6+2+5=13\), \(a_4=13+6+5=24\), and \(a_5=24+13+5=42\). Therefore, 42 is correct. A value such as 46 results from using the preceding terms or the added constant incorrectly. Exam tip: at every step, include exactly the previous two terms and the +5.
नियम \(a_{n+1}=-2a_n\) में 2 परिमाण को दोगुना करता है और ऋण चिह्न संकेत बदल देता है। \(2a_n\) में संकेत नहीं बदलता। परीक्षा में गुणक का चिह्न और परिमाण अलग-अलग जाँचें। / In \(a_{n+1}=-2a_n\), the factor 2 doubles the magnitude and the minus sign reverses the sign. \(2a_n\) does not reverse it. Exam tip: check a multiplier’s sign and magnitude separately.
पुनरावृत्ति नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर: \(a_2=1+3^1+1=5\), \(a_3=5+3^2+2=16\), और \(a_4=16+3^3+3=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। 49 तब मिलता यदि अंतिम जोड़ में \(3^3+3\) के स्थान पर कोई अतिरिक्त मान जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम को n=1 से n=3 तक लगातार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: \(a_2=1+3^1+1=5\), \(a_3=5+3^2+2=16\), and \(a_4=16+3^3+3=46\). Hence, 46 is correct. The value 49 would result from incorrectly adding an extra amount in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), use the recurrence consecutively from n=1 through n=3.
\(a_3=2\times3+3\times2=12\) और \(a_4=2\times12+3\times3=33\) है। गुणांकों को सही पदों पर लगाएँ। / \(a_3=2\times3+3\times2=12\) and \(a_4=2\times12+3\times3=33\). Exam tip: apply coefficients to the correct terms.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a₂=a₁²−1=3²−1=8 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a₃=a₂²−2=8²−2=64−2=62 होगा। इसलिए सही विकल्प 62 है। 64 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें 2 घटाना भूल जाते हैं। परीक्षा टिप: हर अगला पद निकालते समय n का मान पद के सूचकांक से एक कम लें। / Using the recursive rule with n=1, a₂=a₁²−1=3²−1=8. Then, with n=2, a₃=a₂²−2=8²−2=64−2=62. Therefore, 62 is the correct answer. 64 is a close distractor because it results from forgetting to subtract 2. Exam tip: while finding the next term, use n equal to one less than that term’s index.
विकल्प C में \(a_n\) ज्ञात करने के लिए \(a_{n-1}\) तथा \(n\), दोनों प्रयुक्त हैं; जैसे \(a_3=a_2+3\)। A और B केवल पिछले पद पर निर्भर हैं। परीक्षा में \(n\) की उपस्थिति जाँचें। / In C, \(a_n\) uses both \(a_{n-1}\) and \(n\); for example, \(a_3=a_2+3\). A and B use only the preceding term. Exam tip: check whether \(n\) appears in the recurrence.
पद (8,12,14,15) हैं इसलिए \(a_4=15\) है। \(a_1\) स्थिर रहता है और पिछले पद का आधा लिया जाता है। / The terms are (8,12,14,15), so \(a_4=15\). Exam tip: \(a_1\) stays fixed and half of the previous term is used.
\(a_3=2\times5+2+3=15\) और \(a_4=2\times15+5+4=39\) है। दो-पद नियम में वर्तमान (n) भी जोड़ें। / \(a_3=2\times5+2+3=15\) and \(a_4=2\times15+5+4=39\). Exam tip: add the current (n) also in a two-term rule.
