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पद (1,4,6,14,26,54) हैं इसलिए \(a_6=54\) है। दो-पद नियम में \(a_{n-2}\) को (2) से गुणा करें। / The terms are (1,4,6,14,26,54), so \(a_6=54\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (2) in the two-term rule.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें। a_2=6+(-1)1(2)=4, a_3=4+(-1)2(4)=8 और a_4=8+(-1)3(6)=2। अतः सही उत्तर 2 है। 4 केवल दूसरा पद है, इसलिए यह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का मान अलग लिखें, क्योंकि (-1)^n का चिह्न विषम n पर ऋणात्मक और सम n पर धनात्मक होता है। / Substitute n=1, 2, and 3 successively in the recursive rule. a_2=6+(-1)1(2)=4, a_3=4+(-1)2(4)=8, and a_4=8+(-1)3(6)=2. Therefore, the correct answer is 2. Although 4 is a close distractor, it is only the second term. Exam tip: write the value of n at every step, since (-1)^n is negative for odd n and positive for even n.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखने पर: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16 और a_4=16+3(4)+2=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 28 तब मिलता है जब अंतिम चरण में 2 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए a_1 से शुरू करके तीन बार नियम लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16, and a_4=16+3(4)+2=30. Therefore, the correct answer is 30. The value 28 results if the final +2 is omitted. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद और उसके क्रमांक से निकाला जाता है। \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), और \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। 49 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(2n+1\) वाले भाग में \(n\) का गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय वर्तमान चरण का \(n\) लिखकर गणना करें। / In a recursive rule, each next term is found using the previous term and its index. \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), and \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\). Therefore, the correct answer is 53. A value such as 49 can result from using an incorrect value of \(n\) in the term \(2n+1\). Exam tip: write the current value of \(n\) at every step while applying a recursive formula.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=5+2(5)+12=16 प्राप्त होता है। फिर n=2 रखने पर a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 29 निकट का विकल्प है, लेकिन उसमें 22=4 को सही ढंग से जोड़ने पर प्राप्त होने वाली राशि से 1 कम है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय n का वर्तमान मान लें और a_1 का मान 5 ही रखें। / Using the recursive rule with n=1, a_2=5+2(5)+12=16. Then, with n=2, a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30. Therefore, the correct answer is 30. Option 29 is a close distractor, but it is 1 less than the value obtained when 22=4 is added correctly. Exam tip: For each next term, substitute the current value of n and keep a_1 fixed as 5.
नियम \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों पर निर्भर है, इसलिए \(a_1\) और \(a_2\) दोनों चाहिए। अन्य नियमों में केवल \(a_{n-1}\) आता है; वहाँ एक प्रारम्भिक पद पर्याप्त है। परीक्षा टिप: निर्भर पिछले पदों की संख्या गिनें। / In \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), each new term depends on two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. The other rules use only \(a_{n-1}\), so one initial term is enough. Exam tip: count the earlier terms used in the rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(a_1=4\) रखें: \(a_2=4^2-3(4)=16-12=4\)। अब \(a_2=4\) को फिर नियम में रखने पर \(a_3=4^2-3(4)=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 8 जैसा विकल्प गलत है, क्योंकि हर चरण में पिछले पद के वर्ग में से उसके तीन गुने को घटाना होता है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें। / Apply the recursive rule first to \(a_1=4\): \(a_2=4^2-3(4)=16-12=4\). Using \(a_2=4\) again, \(a_3=4^2-3(4)=4\). Hence, the correct answer is 4. The option 8 is incorrect because each term is obtained by subtracting three times the previous term from its square. Exam tip: To find \(a_3\), calculate \(a_2\) first.
गुणोत्तर अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को समान अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ अनुपात 2 है, इसलिए \(a_{n+1}=2a_n\)। जाँचें: दूसरा पद \(2\times5=10\) होगा। परीक्षा में ‘दोगुना’ को गुणा 2 मानें, जोड़ 2 नहीं। / In a geometric sequence, each term is obtained by multiplying the preceding term by a fixed ratio. Here the ratio is 2, so \(a_{n+1}=2a_n\). Check: the second term is \(2\times5=10\). In exams, “twice” means multiply by 2, not add 2.
पुनरावर्ती नियम से पहले पद निकालें: \(a_2=2\times6+4=16\), \(a_3=2\times16+4=36\), तथा \(a_4=2\times36+4=76\)। अतः \(a_4-a_2=76-16=60\), इसलिए सही विकल्प D है। \(56\) तब मिलता यदि पदों की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पदों तक क्रमशः मान लिखकर ही अंतर निकालें। / Using the recursive rule, \(a_2=2\times6+4=16\), \(a_3=2\times16+4=36\), and \(a_4=2\times36+4=76\). Hence, \(a_4-a_2=76-16=60\), so option D is correct. \(56\) results from an incorrect calculation of the terms. Exam tip: List the required terms in order before finding their difference.
दिया है कि \(a_1=6\)। पुनरावर्ती नियम से \(a_2=2\times6+4=16\) और \(a_3=2\times16+4=36\) होगा। अतः \(a_3-a_2=36-16=20\)। 16 केवल दूसरा पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम वाले प्रश्नों में आवश्यक पदों को क्रम से निकालकर ही अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_1=6\), the recursive rule gives \(a_2=2\times6+4=16\) and \(a_3=2\times16+4=36\). Therefore, \(a_3-a_2=36-16=20\). Note that 16 is only the second term, not the required difference. Exam tip: in recursive-sequence questions, calculate the required terms in order before finding their difference.
विकल्प A में लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=d\) हर बार नियत रहता है, इसलिए अनुक्रम समान्तर श्रेणी है। विकल्प C में अंतर \(n\) बदलता है। परीक्षा टिप: AP में अंतर स्थिर जाँचें। / In option A, the difference between consecutive terms is \(a_{n+1}-a_n=d\), which is constant; hence it is an arithmetic progression. In option C, the difference \(n\) changes. Exam tip: check for a constant difference in an AP.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद के लिए उचित मान का प्रयोग करें। जब \(n=1\), तब \(a_2=4+7(1)-2=9\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=9+7(2)-2=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 20 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब दूसरे चरण में \(7n-2\) का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_2\) निकालते समय \(n=1\) और \(a_3\) निकालते समय \(n=2\) रखें। / Apply the recursive rule using the correct value of \(n\) at each step. For \(n=1\), \(a_2=4+7(1)-2=9\). Then, with \(n=2\), \(a_3=9+7(2)-2=21\). Hence, 21 is correct. A value such as 20 can result from using an incorrect value for \(7n-2\) in the second step. Exam tip: use \(n=1\) to find \(a_2\), and \(n=2\) to find \(a_3\).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=150-(5\times1+4)=141\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=141-(5\times2+4)=141-14=127\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(127\) है। \(124\) जैसी निकटतम भ्रामक संख्या तब मिल सकती है जब दूसरे चरण में \(5n+4\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का अगला मान अवश्य लें। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=150-(5\times1+4)=141\). Then, with \(n=2\), \(a_3=141-(5\times2+4)=141-14=127\). Therefore, \(127\) is correct. A close distractor such as \(124\) can result from calculating \(5n+4\) incorrectly in the second step. Exam tip: use the next value of \(n\) for each successive term.
पद (5,6,10,19,35) हैं इसलिए (35) पाँचवाँ पद है। वर्ग जोड़ते समय क्रमांक साथ लिखें। / The terms are (5,6,10,19,35), so (35) is the fifth term. Exam tip: write positions while adding squares.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः 1², 2², 3², ... घटाए जाते हैं। इसलिए a₁=100, a₂=100−1=99, a₃=99−4=95, a₄=95−9=86 और a₅=86−16=70। अतः 70 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 86 है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में n का मान पिछले पद से अगले पद पर जाते समय लें। / The recursive rule subtracts 1², 2², 3², and so on. Thus, a₁=100, a₂=100−1=99, a₃=99−4=95, a₄=95−9=86, and a₅=86−16=70. Therefore, 70 is the fifth term. The fourth term is 86, so it is a close but incorrect option. Exam tip: in a recursive rule, use the value of n while moving from one term to the next.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः निकालें: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), और \(a_5=12+23+5=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 38 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(a_5\) निकालते समय 5 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए पिछले दो पदों के साथ उसी पद का अनुक्रमांक भी अवश्य जोड़ें। / Apply the recursive rule step by step: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), and \(a_5=12+23+5=40\). Therefore, the correct answer is 40. A value such as 38 can result from forgetting to add 5 while finding \(a_5\). Exam tip: for every new term, add both preceding terms and the index of the term being found.
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद ज्ञात करें: \(a_3=7+2+3=12\)। अब \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 प्राप्त हो सकता है यदि अंतिम चरण में 4 जोड़ना भूल जाएँ, पर नियम में वर्तमान सूचकांक n भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: आवश्यक पद तक पहुँचने के लिए पुनरावर्ती नियम को क्रमशः प्रत्येक अगले पद पर लागू करें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=7+2+3=12\). Then, \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value 21 may result from forgetting to add 4 in the final step, but the rule requires adding the current index n. Exam tip: apply a recursive rule step by step until you reach the required term.
दिया है \(a_1=9\)। पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2^2=19+9+4=32\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(32\) है। \(34\) जैसा विकल्प वर्ग पद या पिछले पद के प्रयोग में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय नियम में \(n\) का सही मान रखें। / Given \(a_1=9\), first use \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\). Next, use \(n=2\): \(a_3=a_2+a_1+2^2=19+9+4=32\). Hence, the correct answer is \(32\). A choice such as \(34\) can result from an error in using the square term or the previous term. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) at every step of a recurrence relation.
