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पहला पद (5) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। समानांतर अनुक्रम में गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (5) and the common difference is (7), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). In an arithmetic sequence the coefficient is the common difference.
दिए पदों से (p+q=5) और (2p+q=7), इसलिए (p=2), (q=3) और \(a_4=45\)। अज्ञात गुणांक हों तो पहले छोटे पदों से समीकरण बनाएं। / From the given terms, (p+q=5) and (2p+q=7), so (p=2), (q=3), and \(a_4=45\). When coefficients are unknown, first form equations using small terms.
पहला पद (42) और अंतर (-6) है इसलिए (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n)। घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / The first term is (42) and the difference is (-6), so (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n). Keep the difference negative for a decreasing sequence.
दिया गया नियम है \(a_n=4n^2-5n+2\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 116 है। 112 प्राप्त हो सकता है यदि वर्ग वाले पद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n^2\) निकालें, फिर गुणा और शेष संक्रियाएँ करें। / The rule is \(a_n=4n^2-5n+2\). Substituting \(n=6\), \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\). Therefore, 116 is the correct answer. A value such as 112 can result from an error while evaluating the squared term. Exam tip: calculate \(n^2\) first, then perform multiplication and the remaining operations.
दिया है कि \(a_n=9n+4\) और \(a_n=112\)। अतः \(9n+4=112\), इसलिए \(9n=108\) तथा \(n=12\)। इसलिए 112, अनुक्रम का 12वाँ पद है। 11वाँ पद \(9(11)+4=103\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए सामान्य पद \(a_n\) को उस दिए गए मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=9n+4\) and \(a_n=112\), set \(9n+4=112\). This gives \(9n=108\), so \(n=12\). Therefore, 112 is the 12th term of the sequence. The 11th term is \(9(11)+4=103\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate the general term \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,21,32,45) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,21,32,45). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
अंश (2n+1) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\)। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,10,18,28). Direct substitution is easy in a product-form rule.
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\)। अतः सही उत्तर 324 है। 216 प्राप्त करने में प्रायः \(3^3\) लेकर घात \(n-1\) को गलत गिना जाता है। परीक्षा टिप: पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) का मान निकालें, फिर घात हल करें। / For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\). Therefore, 324 is correct. The value 216 can result from incorrectly using \(3^3\) and miscounting the exponent \(n-1\). Exam tip: after substituting the term number, evaluate \(n-1\) before calculating the power.
यह \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\), so (a_n=(n+4)2). In square sequences relate the base number to (n).
यह \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences identify the base number.
\(a_6=23\) और \(b_4=24\), इसलिए योग (47) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान रखें। / \(a_6=23\) and \(b_4=24\), so the sum is (47). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
इसका नियम \(a_n=3n^2+4n+4\) है इसलिए \(a_{10}=300+40+4=344\) नहीं बल्कि विकल्पों से मिलान गलत है; सही (10)वाँ पद (344) है। विकल्पों की संगति भी परीक्षा में जांचें। / Its rule is \(a_n=3n^2+4n+4\), so the (10)th term is (344), not any listed option. In exams also check the consistency of options.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+6n+1\) से क्रमशः \(8,17,28,41\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=2\) पर पद \(18\) आता है, जबकि दिया गया दूसरा पद \(17\) है। परीक्षा टिप: अनुक्रम के नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखिए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+6n+1\) gives \(8,17,28,41\), respectively. Therefore, option A is correct. In option B, the term for \(n=2\) is \(18\), not the given second term \(17\). Exam tip: Verify a proposed sequence rule by substituting at least the first two or three values of \(n\).
सामान्य पद \(a_n=8n+5\) है और (8n+5=93) से (n=11)। यदि (n) प्राकृतिक संख्या हो तो दिया पद अनुक्रम में आता है। / The general term is \(a_n=8n+5\), and (8n+5=93) gives (n=11). If (n) is a natural number, the given term belongs to the sequence.
यह \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-1)2)। वर्गों में आधारों का अंतर देखें। / This is \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\), so (a_n=(4n-1)2). In square sequences observe the difference between bases.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 207 है। 213 तब मिलता यदि \(3n\) वाला भाग घटाया न जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद के लिए पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ हल करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\). Therefore, 207 is the correct option. The value 213 would result from not subtracting the \(3n\) term, so it is incorrect. Exam tip: For a term of a sequence, substitute the value of \(n\) everywhere first, then evaluate powers and the remaining operations.
अंश (3n+2) और हर (4n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (3n+2) and the denominator is (4n+2), so \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\). In a fractional sequence form separate rules for both parts.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है इसलिए (d=7), फिर \(a_n=7n-5\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7), then \(a_n=7n-5\). From two given terms first find the common difference.
दिए गए नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14 और a_3=3(3)2-2(3)+6=27 मिलता है। इसलिए सही क्रम (7, 14, 27) है। विकल्प D का पहला पद सही है, लेकिन n=2 रखने पर 16 नहीं, 14 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: पद निकालते समय n के प्रत्येक मान को पूरे व्यंजक में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting n=1, 2, and 3 into the rule gives a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14, and a_3=3(3)2-2(3)+6=27. Hence, the correct sequence is (7, 14, 27). Option D has the correct first term, but for n=2 the value is 14, not 16. Exam tip: substitute each value of n carefully into the entire expression.
(8p+7=71) से (8p=64) और (p=8)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (8p+7=71), (8p=64) and (p=8). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
पहला पद (17) और अंतर (-9) है इसलिए (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n)। घटने को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (17) and the difference is (-9), so (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n). Treat decrease as a negative difference.
यह (3) गुना त्रिभुज संख्याओं का क्रम है इसलिए (a_n=\frac{3n(n+1)}{2})। लगातार जोड़ (6,9,12) से पैटर्न पहचानें। / This is three times the triangular numbers, so (a_n=\frac{3n(n+1)}{2}). Recognize the pattern from additions (6,9,12).
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(12,25,42,63\) प्राप्त होते हैं। साथ ही प्रथम अंतर \(13,17,21\) हैं और द्वितीय अंतर \(4,4\) स्थिर है, इसलिए नियम द्विघात होना चाहिए। विकल्प C के पहले दो पद सही हैं, लेकिन \(n=3\) पर वह \(40\) देता है, \(42\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए केवल पहला पद नहीं, कम-से-कम तीन पद रखकर सत्यापित करें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(12,25,42,63\), respectively. Also, the first differences are \(13,17,21\), so the second differences are constant at \(4\); this supports a quadratic rule. Option C matches the first two terms but gives \(40\), not \(42\), when \(n=3\). Exam tip: test a proposed rule with at least three terms, not just the first term.
\(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\) से (21n=9n+36) और (n=3) नहीं बल्कि (n=3) मिलता है। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / From \(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\), (21n=9n+36), so (n=3). None of the given options is correct.
दिया है कि \(a_n=4n^2+3\)। अतः \(a_3=4(3)^2+3=39\) और \(a_5=4(5)^2+3=103\)। इसलिए \(a_3+a_5=39+103=142\)। विकल्प 140 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब वर्ग करने या जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले प्रत्येक दिए गए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पद निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+3\), \(a_3=4(3)^2+3=39\) and \(a_5=4(5)^2+3=103\). Therefore, \(a_3+a_5=39+103=142\). A value such as 140 can result from an error while squaring or adding. Exam tip: substitute each required value of \(n\) separately into the general term before finding their sum.
यह \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n)2=16n-2)। सम अंतर वाले वर्गों में आधार का नियम देखें। / This is \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\), so (a_n=(4n)2=16n-2). In square sequences with equal base gaps, find the base rule.
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। बढ़ते अंतर (7,11,15) द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). Increasing differences (7,11,15) indicate a quadratic rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,10,17,28) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,10,17,28). Do not forget to add both the power part and the linear part.
परिमाण \(6,11,16,21,\ldots\) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1))। पहले पद का चिह्न शक्ति तय करता है। / The magnitude is \(6,11,16,21,\ldots\) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1)). The sign of the first term decides the power.
सामान्य पद \(a_n=9n+6\) है इसलिए \(a_{40}=366\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=9n+6\), so \(a_{40}=366\). Use the same general rule even for a large term.
छह अंतरों में परिवर्तन (-36) है इसलिए (d=-6), अतः \(a_n=31-6n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over six gaps is (-36), so (d=-6), hence \(a_n=31-6n\). From two given terms first find the common difference.
दिया है: \(n^2+5n=126\)। अतः \(n^2+5n-126=0\), जिसे \((n-9)(n+14)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(n=9\) या \(n=-14\) मिलता है। अनुक्रम में पद संख्या \(n\) धनात्मक होती है, इसलिए \(n=9\) सही है। \(n=8\) रखने पर मान \(104\) आता है, 126 नहीं। परीक्षा टिप: पहले सभी पदों को एक तरफ लाकर द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें। / Given \(n^2+5n=126\), we get \(n^2+5n-126=0\). Factoring gives \((n-9)(n+14)=0\), so \(n=9\) or \(n=-14\). Since a term position \(n\) in a sequence is positive, \(n=9\) is correct. For example, \(n=8\) gives 104, not 126. Exam tip: bring all terms to one side and factor the quadratic expression.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(4,6,8\) हैं और द्वितीय अंतर \(2,2\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n^2+n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,8,14,22\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(n^2+3\) से पहला पद \(4\) मिलता है, लेकिन दूसरा पद \(7\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर होने पर पहले कुछ पद रखकर द्विघात नियम की जाँच करें। / The first differences are \(4,6,8\), and the second differences are constant: \(2,2\). Hence, the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n+2\) gives \(4,8,14,22\), respectively. Although \(n^2+3\) gives the first term as \(4\), it gives \(7\) as the second term, so it is incorrect. Exam tip: when second differences are constant, test a quadratic rule using the first few terms.
(a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+5)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\), so (a_n=(n+5)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(14,31,54,83\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम \(a_n=3n^2+8n+3\) है। उदाहरण के लिए, \(n=3\) पर \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\)। विकल्प B का पहला पद भी 14 है, लेकिन \(n=2\) पर वह 29 देता है, 31 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पद अवश्य मिलाइए। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(14,31,54,83\), respectively. Therefore, the correct rule is \(a_n=3n^2+8n+3\). For example, when \(n=3\), \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\). Option B also gives 14 as its first term, but it gives 29, not 31, when \(n=2\). Exam tip: verify at least the first two or three terms before selecting a general rule.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-5) है इसलिए समान अंतर (-5) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-5), so the common difference is (-5). Do not miss the sign while reading the coefficient.
\(a_4=95\) और \(a_2=23\), इसलिए योग (118) है। सही विकल्प (118) है और दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=95\) and \(a_2=23\), so the sum is (118). The correct option is (118), and both terms should be found separately.
सामान्य पद \(a_n=79-9n\) है और (79-9n=-2) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=79-9n\), and (79-9n=-2) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
पहले तीन पदों के लिए क्रमशः n=1, 2 और 3 रखें। तब a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18 तथा a_3=4(3)2-3(3)+8=35। इसलिए सही क्रम (9,18,35) है। विकल्प (9,20,39) में पहला पद सही है, लेकिन n=2 और n=3 पर गणना गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Substitute n=1, 2, and 3 successively. This gives a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18, and a_3=4(3)2-3(3)+8=35. Hence, the correct sequence is (9,18,35). Option (9,20,39) has the correct first term, but its calculations for n=2 and n=3 are incorrect. Exam tip: substitute each value of n separately, carrying out squaring and multiplication first.
अंश \(n^2+5\) और हर \(n^2+4\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\)। भिन्न अनुक्रम में वर्ग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+5\) and the denominator is \(n^2+4\), so \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\). Identify square patterns in fractional sequences.
अंश (3n) और हर (5n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (3n) and the denominator is (5n+2), so \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
\(a_9=109\) और \(a_4=44\), इसलिए अंतर (65) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_9=109\) and \(a_4=44\), so the difference is (65). Calculate both terms separately before subtracting.
परिमाण (7n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}7n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (7n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}7n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(5n^2-2n+6\) से (9,22,45,78) मिलते हैं। दूसरे अंतर (10) स्थिर है इसलिए द्विघात नियम बनेगा। / \(5n^2-2n+6\) gives (9,22,45,78). The second difference (10) is constant, so a quadratic rule fits.
(25+5q+4=54) से (5q=25) और (q=5)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (25+5q+4=54), (5q=25) and (q=5). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(a_5=2\) और \(a_6=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य या धनात्मक पद को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=2\) and \(a_6=-2\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero or positive terms as negative.
छह अंतरों में वृद्धि (54) है इसलिए (d=9), अतः (a_{15}=83+4(9)=119)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over six gaps is (54), so (d=9), hence (a_{15}=83+4(9)=119). Extend the terms using the common difference.
