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दिए गए समीकरण 2y=10x+14 के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर y=5x+7 प्राप्त होता है। y=mx+c में x का गुणांक m ढाल कहलाता है, इसलिए ढाल 5 है। 7 y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को y=mx+c के रूप में सरल करें, फिर x का गुणांक पहचानें। / Dividing both sides of 2y=10x+14 by 2 gives y=5x+7. In y=mx+c, the coefficient of x is m, which represents the slope; hence the slope is 5. Here, 7 is the y-intercept, not the slope. Exam tip: First simplify the equation into y=mx+c form, then identify the coefficient of x.
\(y=5\) को \(y=0x+5\) लिखा जा सकता है। इसलिए इसकी ढाल 0 है और y-अवरोध 5 है, अतः रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। \(x=5\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: \(y=k\) हमेशा क्षैतिज रेखा दर्शाता है। / \(y=5\) can be written as \(y=0x+5\). Hence its slope is 0 and its y-intercept is 5, so it is parallel to the x-axis. \(x=5\) is a vertical line. Exam tip: any equation \(y=k\) represents a horizontal line.
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(3x+y=11\Rightarrow y=-3x+11\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-3\) है। \(3\) लेने पर चिन्ह की गलती हो जाएगी; \(x\) को दाईं ओर ले जाने पर उसका चिन्ह बदलता है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने से पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में व्यवस्थित करें। / Write the equation in slope-intercept form: \(3x+y=11\Rightarrow y=-3x+11\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Hence, the slope is \(-3\). Choosing \(3\) would miss the sign change when \(3x\) is moved to the other side. Exam tip: First rearrange a linear equation into \(y=mx+c\) before identifying its slope.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। समीकरण 5x-y=15 में x=0 रखने पर -y=15 मिलता है, अतः y=-15। इसलिए y-अवरोध -15 है। विकल्प 15 चिन्ह बदलने की गलती से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. In 5x-y=15, this gives -y=15, so y=-15. Hence, the y-intercept is -15. Option 15 can result from missing the sign change while solving for y. Exam tip: For the y-intercept of a linear equation, always substitute x=0.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। विकल्प A में y पहले से अकेला है। विकल्प B को पहले \(y=-3x+7\) में बदलना पड़ेगा। परीक्षा टिप: y को अलग देखकर रूप पहचानें। / Slope-intercept form is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, y is already isolated. Option B must first be rearranged to \(y=-3x+7\). Exam tip: check whether y stands alone.
\(y\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(0\) होता है। रेखा \(y=-4x+13\) में \(x=0\) रखने पर \(y=13\) मिलता है, इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((0,13)\) है। \((13,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित बिंदु है, इसलिए वह \(y\)-अवरोध नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध सीधे \((0,c)\) होता है। / At every point on the \(y\)-axis, the \(x\)-coordinate is \(0\). Substituting \(x=0\) in \(y=-4x+13\) gives \(y=13\), so the line meets the \(y\)-axis at \((0,13)\). The point \((13,0)\) lies on the \(x\)-axis, so it cannot be the \(y\)-intercept. Exam tip: In \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is \((0,c)\).
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=7\) तथा \(c=-2\) रखने पर \(y=7x-2\) मिलता है। विकल्प C में अवरोध का चिन्ह गलत है, क्योंकि वहाँ \(y\)-अवरोध \(+2\) है। परीक्षा टिप: ढाल \(x\) के गुणांक के बराबर और \(y\)-अवरोध स्थिर पद के बराबर होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=7\) and \(c=-2\) gives \(y=7x-2\). In option C, the intercept has the wrong sign because its \(y\)-intercept is \(+2\). Exam tip: the coefficient of \(x\) gives the slope, while the constant term gives the \(y\)-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=-8\) तथा \(c=5\) रखने पर \(y=-8x+5\) मिलता है। विकल्प A में \(y\)-अवरोध सही है, लेकिन ढाल \(8\) है, \(-8\) नहीं। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल बताता है और स्थिर पद \(y\)-अवरोध बताता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=-8\) and \(c=5\) gives \(y=-8x+5\). Option A has the correct \(y\)-intercept, but its slope is \(8\), not \(-8\). Exam tip: the coefficient of \(x\) is the slope, while the constant term is the \(y\)-intercept.
रेखा का रूप y=mx+c होता है, जहाँ x का गुणांक m ढाल कहलाता है। यहाँ प्रश्न में ढाल 4 दी गई है, इसलिए m=4 होगा। स्थिर पद -6 केवल y-अवरोध बताता है; यह m का मान नहीं है। परीक्षा टिप: y=mx+c में ढाल पहचानने के लिए हमेशा x के गुणांक को देखें। / A line in the form y=mx+c has m as the coefficient of x, and this coefficient is its slope. Since the slope is given as 4, m=4. The constant term -6 represents the y-intercept, not the value of m. Exam tip: In y=mx+c, identify the slope by looking at the coefficient of x.
रेखा \(y=-3x+c\) में \(y\)-अक्ष पर \(x=0\) होता है। इसलिए \(y=-3(0)+c=c\) होगा। दिया गया प्रतिच्छेद बिंदु \((0,9)\) है, अतः \(y=9\) और \(c=9\)। \(-3\) रेखा की ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध को दर्शाता है। / For the line \(y=-3x+c\), the \(y\)-axis has \(x=0\). Hence \(y=-3(0)+c=c\). Since the line meets the \(y\)-axis at \((0,9)\), its \(y\)-coordinate is 9, so \(c=9\). Here, \(-3\) is the slope, not the \(y\)-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) directly gives the \(y\)-intercept.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। दी गई रेखा की ढाल 2 है और विकल्प A की भी ढाल 2 है। विकल्प B की ढाल −2 है। परीक्षा टिप: केवल स्थिर पद बदलने से समानांतर रेखा मिलती है। / In \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope. Parallel lines have equal slopes. The given line has slope 2, and option A also has slope 2. Option B has slope −2, so it is not parallel. Exam tip: changing only the constant term gives a parallel line.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\) y-अवरोध और \(m\) ढाल होता है। \(y=-2x+5\) में \(c=5\) तथा \(m=-2\) है। विकल्प B की ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर y-अवरोध तुरंत मिलता है। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept and \(m\) is the slope. For \(y=-2x+5\), \(c=5\) and \(m=-2\), so the slope is negative. Option B has a positive slope. Exam tip: put \(x=0\) to check the y-intercept.
एक कक्ष का तापमान समय के साथ समीकरण \(T=18-2h\) से दिया गया है, जहाँ \(T\) तापमान (°C) और \(h\) समय (घंटों में) है। इस स्थिति में \(y\)-अवरोध का सही अर्थ कौन-सा है?
A. 0 घंटे पर तापमान 18°C है/At 0 hours, the temperature is 18°C
Explanation
Simple Explanation
\(y\)-अवरोध के लिए \(h=0\) रखते हैं: \(T=18-2(0)=18\)। इसलिए प्रारम्भ में तापमान 18°C है। विकल्प B ढाल \(-2\) को गलत पढ़ता है। परीक्षा में स्थिर पद को \(y\)-अवरोध मानें। / For the \(y\)-intercept, put \(h=0\): \(T=18-2(0)=18\). Thus, the initial temperature is 18°C. Option B misreads the slope, which is \(-2\). Exam tip: the constant term gives the \(y\)-intercept.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब 2(0)+3y=12, अर्थात 3y=12 और y=4 प्राप्त होता है। इसलिए रेखा y-अक्ष को 4 पर काटती है, अतः सही उत्तर 4 है। 12 केवल समीकरण का स्थिरांक है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. Then 2(0)+3y=12, so 3y=12 and y=4. Hence, the line meets the y-axis at 4, so the correct answer is 4. The number 12 is only the constant in the equation, not the y-intercept. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
दिए गए समीकरण को ढाल-अंतःखंड रूप में लिखें: \(4x+2y=10\Rightarrow 2y=-4x+10\Rightarrow y=-2x+5\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है, इसलिए ढाल \(-2\) है। \(5\) y-अंतःखंड है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में व्यवस्थित करें। / Write the equation in slope-intercept form: \(4x+2y=10\Rightarrow 2y=-4x+10\Rightarrow y=-2x+5\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Hence, the slope is \(-2\). Here, \(5\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: Rearrange a linear equation into \(y=mx+c\) before identifying its slope.
रेखा \(y=\frac{5}{2}x-7\) की ढाल \(\frac{5}{2}\) है। अतः \(x\) में \(2\) की वृद्धि पर \(y\) में परिवर्तन \(\frac{5}{2}\times2=5\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(5\) है। \(-7\) y-अवरोध है; यह वृद्धि की दर को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) के परिवर्तन \(\Delta x\) के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) लें। / The slope of \(y=\frac{5}{2}x-7\) is \(\frac{5}{2}\). Therefore, when \(x\) increases by \(2\), the change in \(y\) is \(\frac{5}{2}\times2=5\). Hence, \(5\) is correct. The \(-7\) is the y-intercept and does not affect the rate of increase. Exam tip: for \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\).
रेखा की ढाल \(-\frac{3}{4}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई की वृद्धि पर \(y\), 3 इकाई घटता है। \(x\) में 8 इकाई की वृद्धि, 4 इकाई की दो वृद्धि के बराबर है; इसलिए \(y\) में कमी \(2\times3=6\) होगी। विकल्प 3 केवल \(x\) में 4 इकाई बढ़ने पर होता। परीक्षा टिप: परिवर्तन निकालने के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) का प्रयोग करें और ऋणात्मक उत्तर को कमी के रूप में पढ़ें। / The slope is \(-\frac{3}{4}\), meaning that for every increase of 4 units in \(x\), \(y\) decreases by 3 units. An increase of 8 in \(x\) is two such increases, so \(y\) decreases by \(2\times3=6\). Option 3 would apply only when \(x\) increases by 4. Exam tip: use \(\Delta y=m\Delta x\); a negative change in \(y\) indicates a decrease.
रेखा के समीकरण में दिए गए बिंदु के निर्देशांक रखें: y=17 और x=3। अतः 17=3m+2, इसलिए 3m=15 और m=5 प्राप्त होता है। विकल्प 4 लेने पर y=4×3+2=14 आता है, जो दिए गए बिंदु के y-निर्देशांक 17 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने की जाँच के लिए उसके x और y मान सीधे समीकरण में रखिए। / Substitute the coordinates of the given point into the line: y=17 and x=3. Thus, 17=3m+2, so 3m=15 and m=5. If m=4, then y=4×3+2=14, which does not match the given y-coordinate 17. Exam tip: To check whether a point lies on a line, substitute its x- and y-coordinates into the equation.
रेखा का समीकरण y=-2x+c में बिंदु (4,1) रखने पर 1=-2(4)+c मिलता है। अतः 1=-8+c, इसलिए c=9। 8 लेने पर दायाँ पक्ष 0 होगा, जो दिए गए बिंदु का y-निर्देशांक 1 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा में उसके x और y मान सीधे रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / Substitute the point (4,1) into y=-2x+c: 1=-2(4)+c. Thus, 1=-8+c, so c=9. If c were 8, the right-hand side would be 0, not the given y-coordinate 1. Exam tip: To find an unknown constant in a line, substitute the coordinates of the given point into its equation.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=2\) तथा \(c=-5\) है, इसलिए समीकरण \(y=2x-5\) होगा। विकल्प \(y=2x+5\) की ढाल सही है, पर उसका \(y\)-अवरोध \(+5\) है। परीक्षा टिप: बिंदु \((0,c)\) से \(y\)-अवरोध का चिह्न सीधे जाँचें। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=2\) and \(c=-5\), so the equation is \(y=2x-5\). The option \(y=2x+5\) has the correct slope but the wrong y-intercept, \(+5\). Exam tip: use the point \((0,c)\) to check the sign of the y-intercept directly.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=-5\) तथा \(x=0\) पर \(y=3\) है, इसलिए \(c=3\)। अतः समीकरण \(y=-5x+3\) होगा। विकल्प D में ढाल सही है, पर उसका \(y\)-अवरोध \(-3\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर मिलने वाला \(y\) सीधे \(y\)-अवरोध होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Here, \(m=-5\), and \(y=3\) when \(x=0\); therefore, \(c=3\). Hence, the equation is \(y=-5x+3\). Option D has the correct slope but its \(y\)-intercept is \(-3\). Exam tip: the value of \(y\) when \(x=0\) is the \(y\)-intercept.
A. दोनों रेखाओं की ढाल समान है/Both lines have the same slope
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक 4 है, इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान है और वे समानांतर हैं। उनका y-अवरोध क्रमशः 7 और -2 है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: ढाल जानने के लिए y = mx + c में x का गुणांक देखें। / In the form y = mx + c, the coefficient m of x is the slope. The coefficient of x is 4 in both equations, so the two lines have the same slope and are parallel. Their y-intercepts are 7 and -2 respectively, so option B is incorrect. Exam tip: To find the slope in y = mx + c, identify the coefficient of x.
B. दोनों का y-अवरोध समान है/Both have the same y-intercept
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में c, y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में स्थिर पद -1 है, इसलिए दोनों रेखाएं y-अक्ष को (0,-1) पर काटती हैं। उनकी ढालें 6 और -3 हैं, इसलिए वे समान नहीं हैं तथा दूसरी ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m को ढाल और c को y-अवरोध पहचानें। / In the form y=mx+c, c represents the y-intercept. Both equations have the constant term -1, so both lines meet the y-axis at (0,-1). Their slopes are 6 and -3, so the slopes are not equal and the second slope is negative. Exam tip: In y=mx+c, identify m as the slope and c as the y-intercept.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=0\) तथा \(c=-4\) है, इसलिए \(y=0x-4=-4\) होगा। विकल्प C में \(y\)-अवरोध \(-4\) तो है, लेकिन उसकी ढाल \(4\) है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: शून्य ढाल वाली रेखा हमेशा क्षैतिज होती है। / A line is written as \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Here, \(m=0\) and \(c=-4\), so \(y=0x-4=-4\). Option C has a \(y\)-intercept of \(-4\), but its slope is \(4\), not zero. Exam tip: A line with zero slope is always horizontal.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरने वाली रेखा के लिए \(c=0\) होता है। ढाल \(9\) रखने पर समीकरण \(y=9x\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(y=9x+1\) की ढाल तो 9 है, लेकिन उसका \(y\)-अवरोध 1 है; अतः वह मूल बिंदु से नहीं गुजरती। परीक्षा टिप: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा में स्थिर पद हमेशा 0 होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. A line through the origin \((0,0)\) has \(c=0\). With slope \(9\), its equation is \(y=9x\), so option A is correct. Although \(y=9x+1\) has slope 9, its \(y\)-intercept is 1, so it does not pass through the origin. Exam tip: for a line through the origin, the constant term is always 0.
रेखा के समीकरण \(y=-x+8\) में \(x=0\) रखने पर \(y=-(0)+8=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(8\) है; यह रेखा का \(y\)-अवरोध भी है। \(-1\) समीकरण में \(x\) का गुणांक है, \(x=0\) पर \(y\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Substituting \(x=0\) in \(y=-x+8\) gives \(y=-(0)+8=8\). Hence, \(8\) is correct; it is also the \(y\)-intercept of the line. \(-1\) is the coefficient of \(x\), not the value of \(y\) when \(x=0\). Exam tip: To find the \(y\)-intercept, always put \(x=0\).
दिया गया समीकरण y=14-7x है। x=0 रखने पर y=14-7(0)=14 मिलता है। अतः x=0 पर y का मान 14 है, जो रेखा का y-अवरोध भी है। -7 रेखा की ढाल है, y का मान नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा x=0 रखें। / The equation is y=14-7x. Substituting x=0 gives y=14-7(0)=14. Therefore, the value of y at x=0 is 14, which is also the y-intercept of the line. The number -7 is the slope, not the value of y at x=0. Exam tip: To find the y-intercept, always put x=0.
B. ढाल ऋणात्मक और y-अवरोध ऋणात्मक है/The slope is negative and the y-intercept is negative
Explanation
Simple Explanation
रेखा के समीकरण y=mx+c में m ढाल तथा c y-अवरोध होता है। यहाँ m<0 है, इसलिए ढाल ऋणात्मक है; और c<0 है, इसलिए y-अवरोध भी ऋणात्मक है। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में y-अवरोध तो ऋणात्मक है, लेकिन ढाल को गलत रूप से धनात्मक बताया गया है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m का चिन्ह ढाल और c का चिन्ह y-अवरोध सीधे बताता है। / In the line equation y=mx+c, m represents the slope and c represents the y-intercept. Here m<0, so the slope is negative, and c<0, so the y-intercept is also negative. Therefore, option B is correct. In option A, the y-intercept is negative, but the slope is incorrectly stated as positive. Exam tip: In y=mx+c, the sign of m gives the slope’s sign and the sign of c gives the y-intercept’s sign.
B. रेखा बढ़ती है और मूल बिंदु से गुजरती है/The line increases and passes through origin
Explanation
Simple Explanation
(m>0) से रेखा बढ़ती है और (c=0) से वह मूल बिंदु से गुजरती है। संकेतों को ध्यान से पढ़ें। / (m>0) makes the line increasing and (c=0) makes it pass through the origin. Read the signs carefully.
दिए गए समीकरण में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर y=3x-4 मिलता है। y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं, जिससे y=-4 प्राप्त होता है। अतः ग्राफ y-अक्ष को -4 पर काटता है। 3 ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय समीकरण को y=mx+c के रूप में लिखें; यहाँ c ही y-अवरोध होता है। / Subtracting 4 from both sides gives y=3x-4. To find the y-intercept, put x=0; then y=-4. Thus, the graph cuts the y-axis at -4. The number 3 is the slope, not the y-intercept. Exam tip: Write a linear equation as y=mx+c; the value of c is the y-intercept.
दिए गए समीकरण में दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(y=-2x+5\) मिलता है। रेखीय समीकरण के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है। अतः ढाल \(-2\) है। \(5\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में लिखकर \(x\) का गुणांक पहचानें। / Adding 5 to both sides gives \(y=-2x+5\). In the linear form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Therefore, the slope is \(-2\). Here, \(5\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: Rewrite the equation in \(y=mx+c\) form and identify the coefficient of \(x\).
रेखा के रूप \(y=ax-3\) में \(x\) का गुणांक \(a\) ही ढाल होता है। दी गई ढाल \(-6\) है, इसलिए \(a=-6\) रखने पर समीकरण \(y=-6x-3\) मिलता है। विकल्प C में \(-6\) स्थिर पद है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(x\) का गुणांक \(m\) होती है। / In the form \(y=ax-3\), the coefficient of \(x\), namely \(a\), is the slope. Since the given slope is \(-6\), substituting \(a=-6\) gives \(y=-6x-3\). In option C, \(-6\) is the constant term, not the slope. Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), \(m\), is always the slope.
रेखा के रूप \(y=4x+b\) में स्थिर पद \(b\), \(y\)-अवरोध होता है। दिया है कि \(y\)-अवरोध 11 है, इसलिए \(b=11\) रखने पर समीकरण \(y=4x+11\) मिलता है। विकल्प B में अवरोध \(-11\) है, जबकि विकल्प D में ढाल \(-4\) हो जाती है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) को सीधे \(y\)-अवरोध पहचानें। / In the form \(y=4x+b\), the constant term \(b\) is the \(y\)-intercept. Since the \(y\)-intercept is 11, substituting \(b=11\) gives \(y=4x+11\). Option B has intercept \(-11\), while option D changes the slope to \(-4\). Exam tip: in \(y=mx+c\), identify \(c\) directly as the \(y\)-intercept.
दोनों में (x) का गुणांक (-3) है। स्थिर पद अलग हैं इसलिए (y)-अवरोध अलग होंगे। / Both have coefficient (-3) of (x). Their constant terms are different, so their (y)-intercepts are different.
B. दोनों का y-अवरोध समान है/Both have the same y-intercept
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में c, y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में स्थिर पद -6 है, इसलिए दोनों रेखाएं y-अक्ष को (0,-6) पर काटती हैं। उनकी ढालें 2 और -7 हैं, इसलिए ढाल समान नहीं है; दूसरी रेखा घटती हुई है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In the form y=mx+c, c is the y-intercept. Both equations have the constant term -6, so both lines meet the y-axis at (0,-6). Their slopes are 2 and -7, so their slopes are not the same; the second line is decreasing. Exam tip: To find the y-intercept, put x=0.
x-अक्ष के समानांतर रेखा क्षैतिज होती है, इसलिए उसका y-मान हर बिंदु पर स्थिर रहता है। y-अवरोध 8 होने पर समीकरण \(y=8\) होगा। \(x=8\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: स्थिर y वाली रेखा हमेशा क्षैतिज होती है। / A line parallel to the x-axis is horizontal, so its y-coordinate remains constant for every point on it. With y-intercept 8, its equation is \(y=8\). In contrast, \(x=8\) is vertical. Exam tip: a constant y-value always indicates a horizontal line.
रेखा का समीकरण \(y=0x+6\) है, इसलिए इसकी ढाल \(0\) है। \(x\) में \(10\) की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन \(\Delta y=m\Delta x=0\times10=0\) होगा। \(6\) केवल y-अवरोध है, यह \(x\) बदलने पर \(y\) में होने वाला परिवर्तन नहीं बताता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m=0\) होने पर रेखा क्षैतिज होती है और \(y\) स्थिर रहता है। / The equation is \(y=0x+6\), so its slope is \(0\). When \(x\) increases by \(10\), the change in \(y\) is \(\Delta y=m\Delta x=0\times10=0\). The number \(6\) is only the y-intercept; it does not represent the change in \(y\) as \(x\) changes. Exam tip: In \(y=mx+c\), if \(m=0\), the line is horizontal and \(y\) remains constant.
रेखा \(y=\frac{2}{3}x+1\) की ढाल \(\frac{2}{3}\) है। अतः \(x\) में 9 की वृद्धि पर \(y\) में वृद्धि \(\frac{2}{3}\times 9=6\) होगी। विकल्प 3 केवल तब होता जब ढाल \(\frac{1}{3}\) होती। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण \(y=mx+c\) में \(y\) का परिवर्तन \(m\Delta x\) से ज्ञात करें। / The slope of \(y=\frac{2}{3}x+1\) is \(\frac{2}{3}\). Therefore, when \(x\) increases by 9, the increase in \(y\) is \(\frac{2}{3}\times 9=6\). Option 3 would result only if the slope were \(\frac{1}{3}\). Exam tip: for \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\).
ढाल \(-\frac{4}{5}\) है। परिवर्तन \(-\frac{4}{5}\times15=-12\) है इसलिए कमी (12) है। / The slope is \(-\frac{4}{5}\). The change is \(-\frac{4}{5}\times15=-12\), so the decrease is (12).
दिया गया बिंदु
(2,6) रेखा y=mx-4 पर स्थित है, इसलिए x=2 और y=6 रखने पर 6=2m-4 मिलता है। अतः 2m=10, इसलिए m=5। विकल्प 4 तब मिलता यदि स्थिर पद -4 को गलत चिन्ह के साथ लिया जाता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने पर उसके x और y के मान सीधे समीकरण में रखिए। / Since the point (2,6) lies on the line y=mx-4, substitute x=2 and y=6: 6=2m-4. Hence, 2m=10 and m=5. The value 4 could result from using the constant term -4 with an incorrect sign. Exam tip: When a point lies on a line, substitute both its coordinates directly into the equation.
मूलबिंदु के निर्देशांक \((0,0)\) होते हैं। \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है; मूलबिंदु से गुजरने के लिए \(y=0\) होना चाहिए, इसलिए \(c=0\)। \(m=0\) केवल क्षैतिज रेखा दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(c\) को y-अवरोध याद रखें। / The origin is \((0,0)\). Substituting \(x=0\) in \(y=mx+c\) gives \(y=c\); for the line to pass through the origin, \(y\) must be 0, so \(c=0\). \(m=0\) only represents a horizontal line. Exam tip: remember that \(c\) is the y-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ ढाल \(-4\) है तथा \(x=0\) पर \(y=12\) होने से \(c=12\) मिलता है। इसलिए समीकरण \(y=-4x+12\) है। विकल्प A का y-अवरोध सही है, पर उसकी ढाल \(+4\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर समीकरण में स्थिर पद सीधे y-अवरोध देता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=-4\), and \(y=12\) when \(x=0\), so \(c=12\). Therefore, the equation is \(y=-4x+12\). Option A has the correct y-intercept but its slope is \(+4\). Exam tip: Substitute \(x=0\) to identify the y-intercept directly from an equation.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=6\) तथा \(x=0\) पर \(y=-8\), इसलिए \(c=-8\) होगा। अतः समीकरण \(y=6x-8\) है। \(y=-8x+6\) में ढाल \(-8\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=6\), and when \(x=0\), \(y=-8\); therefore \(c=-8\). Hence, the equation is \(y=6x-8\). In \(y=-8x+6\), the slope is \(-8\), so it is not correct. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
B. ढाल अलग है और (y)-अवरोध समान हैं/Slopes are different and the (y)-intercepts are the same
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप (y=mx+c) में (m) ढाल और (c) (y)-अवरोध होता है। पहली रेखा की ढाल (9) तथा दूसरी की ढाल (-9) है, इसलिए उनकी ढालें अलग हैं। दोनों में स्थिर पद (2) है, अतः दोनों का (y)-अवरोध (2) है। विकल्प D गलत है क्योंकि मूल बिंदु से गुजरने के लिए (y)-अवरोध (0) होना चाहिए। परीक्षा टिप: (y=mx+c) में (x) का गुणांक ढाल और स्थिर पद (y)-अवरोध बताता है। / In the form (y=mx+c), (m) is the slope and (c) is the (y)-intercept. The first line has slope (9), while the second has slope (-9), so their slopes are different. Both equations have constant term (2), so both have (y)-intercept (2). Option D is incorrect because a line passes through the origin only when its (y)-intercept is (0). Exam tip: In (y=mx+c), the coefficient of (x) gives the slope and the constant term gives the (y)-intercept.
A. ढाल समान है और y-अवरोध अलग हैं/The slopes are the same and the y-intercepts are different
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में \(x\) का गुणांक \(-2\) है, इसलिए उनकी ढाल समान है। लेकिन y-अवरोध क्रमशः \(10\) और \(-3\) हैं, इसलिए वे अलग हैं। अतः दोनों रेखाएँ समानांतर हैं, एक ही रेखा नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल के लिए \(x\) का गुणांक और y-अवरोध के लिए स्थिर पद देखें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Both equations have \(-2\) as the coefficient of \(x\), so their slopes are the same. However, their y-intercepts are \(10\) and \(-3\), respectively, so they are different. Therefore, the lines are parallel, not the same line. Exam tip: in \(y=mx+c\), identify the coefficient of \(x\) for slope and the constant term for the y-intercept.
A. ढाल धनात्मक और (y)-अवरोध ऋणात्मक/Slope positive and (y)-intercept negative
Explanation
Simple Explanation
ढाल (11) है जो धनात्मक है और स्थिर पद (-4) ऋणात्मक है। संकेत अलग-अलग देखें। / The slope is (11), which is positive, and the constant term (-4) is negative. Check the signs separately.
B. ढाल ऋणात्मक और (y)-अवरोध धनात्मक/Slope negative and (y)-intercept positive
Explanation
Simple Explanation
ढाल (-7) ऋणात्मक है और (y)-अवरोध (9) धनात्मक है। (x) के गुणांक और स्थिर पद को पहचानें। / The slope (-7) is negative and the (y)-intercept (9) is positive. Identify the coefficient of (x) and the constant term.
रेखा का y-अवरोध 2 है, इसलिए समीकरण में स्थिरांक \,\(c=2\) होगा। अतः \(x=4\) रखने पर \(y=3\times4+2=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। 12 केवल \(3\times4\) है; इसमें y-अवरोध 2 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में y-अवरोध हमेशा \(c\) होता है। / The y-intercept is 2, so the constant in the equation is \(c=2\). Substituting \(x=4\), we get \(y=3\times4+2=14\). Therefore, 14 is correct. The value 12 is only \(3\times4\); the y-intercept 2 must also be added. Exam tip: in \(y=mx+c\), the y-intercept is always \(c\).
रेखा के समीकरण \(y=mx-5\) में \(m\) ढाल को दर्शाता है। ढाल 4 होने पर \(m=4\) होगा। अब \(x=3\) रखने पर \(y=4\times3-5=12-5=7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। 9 पाने के लिए स्थिर पद \(-5\) को गलत तरीके से जोड़ा जाएगा। परीक्षा टिप: ढाल मिलने पर पहले \(m\) का मान लिखें, फिर दिए गए \(x\) का प्रतिस्थापन करें। / In the line equation \(y=mx-5\), \(m\) represents the slope. Since the slope is 4, \(m=4\). Substituting \(x=3\) gives \(y=4\times3-5=12-5=7\). Therefore, 7 is correct. Getting 9 would result from incorrectly adding the constant term \(-5\). Exam tip: first identify the value of \(m\), then substitute the given value of \(x\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक है तथा \(c=4\) है। विकल्प C का ढाल ऋणात्मक है, पर उसका y-अवरोध \(-4\) है। परीक्षा टिप: x के गुणांक और स्थिर पद को अलग-अलग पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=4\). Option C has a negative slope but its y-intercept is \(-4\). Exam tip: check the coefficient of x and the constant term separately.
