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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या संख्या रेखा पर दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है। \(-20.5\), \(-21\) से दाईं ओर है क्योंकि \(-20.5\) शून्य के अधिक निकट है। इसलिए \(-20.5\) बड़ा है। \(-20.75\) भी \(-21\) से बड़ा है, लेकिन वह दिए गए दोनों संख्याओं में से कोई संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में अधिक ऋणात्मक संख्या छोटी होती है। / For negative numbers, the number farther to the right on the number line is greater. \(-20.5\) lies to the right of \(-21\) because it is closer to zero. Therefore, \(-20.5\) is greater. Although \(-20.75\) is also greater than \(-21\), it is not one of the two numbers being compared. Exam tip: among negative numbers, the number with the greater negative value is smaller.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
", / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \(-0.0003\) is closer to zero than \(-0.003\), it is greater. The numbers are not equal because their decimal values differ. Exam tip: compare negative decimals by first locating which one lies closer to zero on the number line.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। \(-0.007\), \(-0.07\) की अपेक्षा शून्य के अधिक निकट है; इसलिए \(-0.007 > -0.07\)। \(-0.07\) को बड़ा मानना सामान्य भूल है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: दशमलव स्थानों को बराबर करने के लिए \(-0.07\) को \(-0.070\) लिखकर तुलना करें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \(-0.007\) is closer to zero than \(-0.07\), so \(-0.007 > -0.07\). Choosing \(-0.07\) is a common error because, among negative numbers, the one with the larger magnitude is smaller. Exam tip: write \(-0.07\) as \(-0.070\) before comparing decimal places.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए संख्या रेखा के किसी भी गैर-शून्य अंतराल में दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। परीक्षा टिप: ‘दो भिन्न वास्तविक संख्याएँ’ दिखे तो घनत्व का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers. Hence every non-zero interval on the number line contains both types. Exam tip: when you see “two distinct real numbers,” recall the density property.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
हर दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं; दोनों समुच्चय सघन हैं। पूर्णांक का होना जरूरी नहीं है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले प्रश्न में सघनता का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and irrational numbers because both sets are dense. An integer need not lie between them. Exam tip: for “always” questions, recall density.
किसी पूर्ण संख्या का पूर्ववर्ती उससे ठीक 1 कम होता है। इसलिए 20 का पूर्ववर्ती \(20-1=19\) है। 18, 20 से 2 कम है, इसलिए वह पूर्ववर्ती नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ववर्ती ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या में से 1 घटाएँ। / The predecessor of a whole number is exactly 1 less than that number. Therefore, the predecessor of 20 is \(20-1=19\). Since 18 is 2 less than 20, it is not the predecessor. Exam tip: subtract 1 from the given number to find its predecessor.
A. किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। जैसे 1 और 2 के बीच \(3/2\) परिमेय तथा \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है; ऐसे अनंत उदाहरण मिलते हैं। परीक्षा में याद रखें कि वास्तविक संख्याओं में कोई क्रमागत संख्या नहीं होती। / Real numbers are dense on the number line. For example, between 1 and 2, \(3/2\) is rational while \(\sqrt{2}\) is irrational, and infinitely many more exist. Exam tip: unlike integers, real numbers have no consecutive pair.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-7+(-1)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \((-4)\) है। \((-5)\) एक संख्या के निकट है, लेकिन दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं का योग करके 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-7+(-1)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\). Therefore, \((-4)\) is the correct answer. \((-5)\) is closer to one of the numbers and is not equally distant from both. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
\(-2.5=-2.50\) लिखने पर तुलना स्पष्ट होती है। चूँकि \(-2.05\), \(-2.50\) से शून्य के अधिक निकट है और संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित है, इसलिए \(-2.05\) बड़ा है। \(-2.5\) को बड़ा मानना गलत है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करने से पहले आवश्यक हो तो शून्य जोड़कर समान दशमलव स्थान बना लें। / Write \(-2.5\) as \(-2.50\) to compare the decimals. Since \(-2.05\) is closer to zero and lies to the right of \(-2.50\) on the number line, \(-2.05\) is greater. Choosing \(-2.5\) is incorrect because, among negative numbers, the number with the larger magnitude is smaller. Exam tip: Add trailing zeros when needed before comparing decimals.
संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है।
( -0.0009 ) एक ऋणात्मक संख्या है और 0 के बाईं ओर स्थित है, इसलिए 0 बड़ा है। ‘दोनों बराबर हैं’ गलत है क्योंकि एक संख्या 0 है और दूसरी ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: किसी भी ऋणात्मक संख्या की तुलना में 0 हमेशा बड़ा होता है। / On the number line, the number to the right is greater.
( -0.0009 ) is a negative number and lies to the left of 0, so 0 is greater. “Both are equal” is incorrect because one number is zero and the other is negative. Exam tip: Zero is always greater than any negative number.
C. उनके बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए C सही है; B गलत है क्योंकि अपरिमेय भी बीच में होते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। / Between any two distinct rational numbers, there are infinitely many rational as well as irrational numbers. Hence C is correct; B is false because irrationals also occur between them. Exam tip: real numbers are dense on the number line.
\(1^2=1\) और \(2^2=4\) है, इसलिए \(\sqrt{2}\) 1 और 2 के बीच स्थित है। 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके उसका स्थान पहचानें। / Since \(1^2=1\) and \(2^2=4\), \(\sqrt{2}\) lies between 1 and 2. As 2 is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is irrational, not a midpoint or an integer. Exam tip: compare neighbouring squares to locate roots.
\( -14.9 \), \( -15 \) से बड़ा है क्योंकि संख्या रेखा पर \( -14.9 \), \( -15 \) के दाईं ओर तथा शून्य के अधिक निकट स्थित है। ऋणात्मक संख्याओं में शून्य के अधिक निकट वाली संख्या बड़ी होती है। \( -15 \) छोटी संख्या है, और दोनों बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय दाईं ओर स्थित संख्या को बड़ा मानें। / \( -14.9 \) is greater than \( -15 \) because it lies to the right of \( -15 \) on the number line and is closer to zero. Among negative numbers, the number closer to zero is greater. Thus, \( -15 \) is smaller, and the two numbers are not equal. Exam tip: when comparing negative numbers, the number farther right on the number line is greater.
किसी संख्या का परिमाण संख्या रेखा पर उसकी 0 से दूरी होता है, इसलिए वह सदैव ऋणात्मक नहीं होता।
default / The absolute value of a number is its distance from 0 on the number line, so it cannot be negative. Hence,
default
A. उनके बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational as well as irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं; किसी भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अपरिमित परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा संकेत:
\(\sqrt{2}\) भी संख्या रेखा पर एक निश्चित बिंदु है। / Real numbers are dense on the number line: between any two distinct real numbers, infinitely many rational and irrational numbers exist. Exam tip:
\(\sqrt{2}\) also corresponds to one definite point on the number line.
\( -6.6 = -6.60 \) क्योंकि दशमलव के दाईं ओर अंत में लगाया गया शून्य संख्या का मान नहीं बदलता है। इसलिए दोनों संख्याएँ संख्या रेखा पर एक ही बिंदु दर्शाती हैं। \( -6.6 \) को बड़ा मानना गलत है; अतिरिक्त शून्य केवल दशमलव स्थानों की संख्या दिखाता है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत के शून्य हटाकर संख्याओं की तुलना करें। / \( -6.6 = -6.60 \) because a zero added at the end of a decimal does not change its value. Hence, both numbers represent the same point on the number line. Choosing \( -6.6 \) as greater is incorrect; the extra zero only shows an additional decimal place. Exam tip: Remove trailing zeros before comparing decimals.
दो संख्याओं \(a\) और \(b\) का मध्य बिंदु \(\frac{a+b}{2}\) होता है। अतः \(\frac{-20+(-4)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\)। इसलिए \(-12\) सही उत्तर है। \(-10\), \(-20\) और \(0\) के बीच का मध्य बिंदु होता, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय उनके परिमाण जोड़कर परिणाम के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / The midpoint of two numbers \(a\) and \(b\) is \(\frac{a+b}{2}\). Therefore, \(\frac{-20+(-4)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\). Hence, \(-12\) is the correct answer. \(-10\) would be the midpoint of \(-20\) and \(0\), so it is not correct here. Exam tip: When adding negative numbers, add their magnitudes and keep the negative sign.
0, -11 से बड़ा है क्योंकि संख्या रेखा पर 0, -11 के दाईं ओर स्थित होता है। संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या हमेशा बड़ी होती है। “दोनों बराबर हैं” गलत है, क्योंकि -11 और 0 अलग-अलग संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी होती हैं। / 0 is greater than -11 because on the number line, 0 lies to the right of -11. A number to the right on a number line is always greater. “Both are equal” is incorrect because -11 and 0 are different numbers. Exam tip: Every negative number is less than 0.
\(-0.13=-0.130\) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है और छोटी होती है। चूँकि \(-0.130 < -0.103\), इसलिए \(-0.13\) सही उत्तर है। \(-0.103\) शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना से पहले आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर करें। / Writing \(-0.13\) as \(-0.130\) makes the comparison clear. On a number line, the more negative number lies farther to the left and is smaller. Since \(-0.130 < -0.103\), \(-0.13\) is the correct answer. \(-0.103\) is closer to zero, so it is greater. Exam tip: When comparing negative decimals, add trailing zeros if needed to make the decimal places equal.
C. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प C है। किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के बीच दोनों प्रकार मिलते हैं। परीक्षा-टिप: इसे वास्तविक संख्याओं का सघनता गुण याद रखें। / Option C is correct. Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational numbers and infinitely many irrational numbers. Hence both types lie between \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\). Exam tip: remember this as the density property of real numbers.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 7, -2 और 14 का मध्य नहीं है, क्योंकि वह दोनों से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6\). Therefore, 6 is correct. For example, 7 is not the midpoint because it is not equally distant from -2 and 14. Exam tip: add the two numbers and divide the sum by 2.
संख्या रेखा पर बिंदु P मूलबिंदु के दाईं ओर 2.2 इकाई और बिंदु Q मूलबिंदु के दाईं ओर \(\sqrt{5}\) इकाई स्थित है। P और Q के बीच की दूरी का सही व्यंजक कौन-सा है?
\(2.2^2=4.84<5\) होने से \(2.2<\sqrt{5}\), अतः Q, P के दाईं ओर है। दूरी = बड़ा स्थानांक − छोटा स्थानांक = \(\sqrt{5}-2.2\)। परीक्षा में पहले दोनों स्थानांकों का क्रम जाँचें। / Since \(2.2^2=4.84<5\), we have \(2.2<\sqrt{5}\), so Q lies to the right of P. Distance is larger coordinate minus smaller coordinate: \(\sqrt{5}-2.2\). Exam tip: check the order before subtracting.
बढ़ते क्रम में संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी लिखी जाती हैं। ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह छोटा होता है; इसलिए -0.2, -0.02 से छोटा है। फिर 0 आता है और उसके बाद 0.2। अतः सही क्रम ( -0.2, -0.02, 0, 0.2 ) है। विकल्प C में -0.02 और -0.2 का क्रम उलटा है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें संख्या रेखा पर बाएँ से दाएँ क्रम में सोचें। / In increasing order, numbers are written from smallest to greatest. Among negative decimals, the number with the greater magnitude is smaller, so -0.2 is less than -0.02. This is followed by 0 and then 0.2. Hence, the correct order is ( -0.2, -0.02, 0, 0.2 ). In option C, -0.02 and -0.2 are placed in the wrong order. Exam tip: Visualise decimals from left to right on the number line when comparing them.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या होती है/There is at least one rational number between them
Explanation
Simple Explanation
यदि \(x<y\), तो \(1/n<y-x\) वाला \(n\) लेने पर कोई \(m/n\) इनके बीच मिलता है। इसलिए A सही है। D गलत है, क्योंकि बीच में अपरिमेय भी होते हैं। टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / If \(x<y\), choose \(n\) such that \(1/n<y-x\); then some \(m/n\) lies between them. Hence A is correct. D is false because irrationals also lie between them. Exam tip: both sets are dense.
