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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \( -18 \), \( -18.25 \) से शून्य के निकट है; संख्या रेखा पर \( -18 \), \( -18.25 \) के दाईं ओर स्थित है। इसलिए \( -18 \) बड़ा है। \( -18.5 \) अधिक ऋणात्मक होने के कारण छोटा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय कम ऋणात्मक संख्या को बड़ा मानें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \( -18 \) is closer to zero than \( -18.25 \); on a number line, \( -18 \) lies to the right of \( -18.25 \). Therefore, \( -18 \) is greater. \( -18.5 \) is smaller because it is more negative. Exam tip: when comparing negative numbers, the less negative number is greater.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \(-0.00005\), \(-0.0005\) की तुलना में शून्य के अधिक निकट है; इसलिए \(-0.00005 > -0.0005\) है। दोनों बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके दशमलव स्थानों के मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना में संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \(-0.00005\) is closer to zero than \(-0.0005\); therefore, \(-0.00005 > -0.0005\). They are not equal because their decimal values are different. Exam tip: On a number line, the number farther to the right is greater.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या का बिंदु अवश्य होता है/There is always at least one point representing a rational number between them.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं, इसलिए किन्हीं दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय संख्या मिलती है। उदाहरणतः \(2<\frac{9}{4}<3\), अतः \(\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\sqrt{3}\)। परीक्षा में ‘सदैव’ वाले विकल्प को प्रतिवाद से जाँचें। / Rational numbers are dense on the number line, so a rational number lies between any two distinct real numbers, including irrationals. Since \(2<\frac{9}{4}<3\), \(\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\sqrt{3}\). Exam tip: test “always” statements using a counterexample.
C. किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच कम-से-कम एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या होती है/Between any two distinct real numbers, there is at least one rational number and one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ मिलती हैं, इसलिए C सही है। किसी परिमेय संख्या की ‘तुरंत अगली’ परिमेय संख्या नहीं होती। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्या रेखा सघन होती है। / Both rational and irrational numbers lie between any two distinct real numbers, so C is correct. There is no immediate next rational number after a rational number. Exam tip: remember that the real number line is dense.
सही उत्तर
( -0.04 ) है। दशमलवों को समान स्थानों तक लिखें:
-0.04 = -0.040 और
-0.004 = -0.004। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है, इसलिए
-0.040 < -0.004।
-0.004 शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ी है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय शून्य से अधिक दूरी वाली संख्या छोटी होती है। / The correct answer is
( -0.04 ). Write the decimals to the same number of places:
-0.04 = -0.040 and
-0.004 = -0.004. On a number line, the more negative number lies farther to the left, so
-0.040 < -0.004. Since
-0.004 is closer to zero, it is greater. Exam tip: for negative decimals, the number farther from zero is smaller.
C. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
\(p<q\) होने पर \((p+q)/2\) एक परिमेय संख्या है और दोनों के बीच स्थित है। मध्यबिंदु बार-बार लेने पर अनंत परिमेय मिलते हैं; इसी अंतराल में अनंत अपरिमेय भी होते हैं। परीक्षा में ‘सदैव’ शब्द अवश्य जाँचें। / For \(p<q\), \((p+q)/2\) is rational and lies between them. Repeatedly taking midpoints gives infinitely many rationals, and every such interval also contains infinitely many irrationals. Exam tip: check words such as “always” carefully.
ऋणात्मक संख्या के दशमलव के बाद शून्य लगाने या हटाने से उसका मान नहीं बदलता। इसलिए
\( -6 = -6.00 \) और दोनों संख्या रेखा पर एक ही बिंदु दर्शाते हैं। विकल्प ( -6 ) और ( -6.00 ) अलग-अलग बड़े नहीं हैं। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत में लगे शून्य संख्या का मान नहीं बदलते। / Adding or removing zeros to the right of a decimal does not change the value of a number. Therefore, \( -6 = -6.00 \), and both represent the same point on the number line. Neither \( -6 \) nor \( -6.00 \) is greater than the other. Exam tip: Zeros written at the end of a decimal do not change its value.
\(-2.75\) को \(-2.750\) लिख सकते हैं। अब \(-2.750\) और \(-2.705\) की तुलना करने पर \(-2.750\) अधिक ऋणात्मक है, इसलिए वह छोटा है। \(-2.705\) शून्य के अधिक निकट होने के कारण बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों में जिसका मान शून्य से अधिक दूर होता है, वह संख्या छोटी होती है। / We can write \(-2.75\) as \(-2.750\). Comparing \(-2.750\) and \(-2.705\), \(-2.750\) is more negative, so it is smaller. \(-2.705\) is closer to zero and is therefore greater. Exam tip: Among negative decimals, the number farther from zero is the smaller number.
A. Q, P के दाईं ओर स्थित है।/Q lies to the right of P.
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर संख्या का मान बढ़ने पर उसका बिंदु दाईं ओर जाता है। क्योंकि \(b-a>0\), P से Q तक की दूरी धनात्मक है; इसलिए Q, P के दाईं ओर होगा। परीक्षा में संख्याओं के चिन्ह नहीं, असमानता का क्रम देखें। / On a number line, larger real numbers are located to the right. Since \(b-a>0\), the distance from P to Q is positive, so Q must be to the right of P. Exam tip: use the order relation, not merely the signs of the numbers.
दशमलव के दाईं ओर अंत में लगा शून्य संख्या का मान नहीं बदलता। इसलिए
\(-0.90=-0.9\), अतः दोनों संख्याएँ बराबर हैं।
\(-0.90\) को अधिक ऋणात्मक समझना गलत है, क्योंकि अतिरिक्त शून्य केवल स्थान-मान की लिखावट बदलता है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत के शून्य हटाकर संख्याओं की तुलना करें। / A zero added at the end of a decimal does not change its value. Hence, \(-0.90=-0.9\), so both numbers are equal. It is incorrect to treat \(-0.90\) as more negative; the extra zero only changes the way the decimal is written. Exam tip: Remove trailing zeros before comparing decimals.
सही उत्तर -1.2 है। दशमलव स्थान बराबर करने पर -1.2 = -1.20 मिलता है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है, इसलिए -1.20, -1.02 से छोटा है। ‘दोनों बराबर’ विकल्प गलत है क्योंकि -1.20 और -1.02 के दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में पहले दशमलव स्थानों को बराबर करके देखें। / The correct answer is -1.2. Writing both numbers to the same number of decimal places gives -1.2 = -1.20. On a number line, the more negative number lies farther to the left, so -1.20 is smaller than -1.02. The ‘both are equal’ option is incorrect because -1.20 and -1.02 have different values. Exam tip: When comparing negative decimals, first write them with equal decimal places.
\(x=\sqrt{2}\) लेने पर \(x\) अपरिमेय है, पर \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\) परिमेय है। \(-x\), \(x+1\) और \(1/x\) अपरिमेय ही रहते हैं। परीक्षा टिप: उदाहरण देकर “हो सकता है” वाले विकल्प जाँचें। / Take \(x=\sqrt{2}\). It is irrational, but \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\), which is rational. In contrast, \(-x\), \(x+1\), and \(1/x\) remain irrational. Exam tip: test “can be” statements using a suitable example.
A. हर वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है।/Every real number can be represented by a unique point on the number line.
Explanation
Simple Explanation
हर परिमेय तथा अपरिमेय संख्या का एक निश्चित बिंदु होता है; \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है, फिर भी दर्शनीय है। इसलिए केवल परिमेय वाली बात गलत है। परीक्षा टिप: एक-एक संगति याद रखें। / Every rational and irrational number has one fixed point; \( \sqrt{2} \) is irrational yet locatable. Hence, the claim that only rationals occur is false. Exam tip: recall the one-to-one correspondence.
सही उत्तर ( -8 ) है। संख्या रेखा पर जो संख्या दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है। ( -8 ) , ( -8.1 ) के दाईं ओर है क्योंकि -8 शून्य के अधिक निकट है। “दोनों बराबर” गलत है, क्योंकि इनके दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में शून्य के अधिक निकट वाली संख्या बड़ी होती है। / The correct answer is ( -8 ). On a number line, the number farther to the right is greater. ( -8 ) lies to the right of ( -8.1 ) because it is closer to zero. “Both are equal” is incorrect because the two decimal values are different. Exam tip: Among negative numbers, the number closer to zero is greater.
तुलना के लिए
-0.33 को -0.330 लिख सकते हैं। अब -0.333, -0.330 से अधिक ऋणात्मक है, इसलिए संख्या रेखा पर यह बाईं ओर स्थित है और छोटा है। ‘दोनों बराबर’ विकल्प गलत है क्योंकि -0.330 और -0.333 के दशमलव अंक अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। / For comparison, write -0.33 as -0.330. Since -0.333 is more negative than -0.330, it lies further to the left on the number line and is smaller. The option ‘Both are equal’ is incorrect because -0.330 and -0.333 have different decimal values. Exam tip: Among negative decimals, the number with the greater magnitude is smaller.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-10+(-2)}{2}=\frac{-12}{2}=-6\)। इसलिए सही उत्तर -6 है। -4, -10 और -2 का औसत नहीं है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर मध्य बिंदु निकालने के लिए दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers is their average: \(\frac{-10+(-2)}{2}=\frac{-12}{2}=-6\). Therefore, -6 is the correct answer. -4 is not the average of -10 and -2. Exam tip: To find a midpoint on a number line, add the two numbers and divide by 2.
\(-1.11\) को तीन दशमलव स्थानों तक \(-1.110\) लिखा जा सकता है। अब \(-1.110\) और \(-1.101\) की तुलना करने पर \(-1.110\) अधिक ऋणात्मक है, इसलिए यह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होगी और छोटी होगी। \(-1.101\) शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में जिस संख्या का परिमाण अधिक होता है, वह छोटी होती है। / \(-1.11\) can be written as \(-1.110\) up to three decimal places. Comparing \(-1.110\) and \(-1.101\), \(-1.110\) is more negative, so it lies further left on the number line and is smaller. \(-1.101\) is closer to zero and is therefore greater. Exam tip: for negative decimals, the number with the greater magnitude is the smaller number.
सही उत्तर दोनों बराबर हैं। दशमलव के अंत में लगा शून्य मान नहीं बदलता, इसलिए \(-0.70=-0.7\)। यहाँ \(-0.7\) और \(-0.70\) के बीच कोई संख्या बड़ी नहीं है; दोनों एक ही बिंदु को संख्या रेखा पर दर्शाते हैं। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत के शून्य हटाने या जोड़ने से संख्या का मान नहीं बदलता। / The correct answer is that both are equal. A zero added at the end of a decimal does not change its value, so \(-0.70=-0.7\). Therefore, neither number is greater; they represent the same point on the number line. Exam tip: Adding or removing trailing zeros in a decimal does not change its value.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-3+10}{2}=\frac{7}{2}=3.5\)। इसलिए सही उत्तर 3.5 है। 4 निकट है, पर वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-3+10}{2}=\frac{7}{2}=3.5\). Therefore, 3.5 is correct. Although 4 is close, it is not at an equal distance from both numbers. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
समान ऋणात्मक संख्याओं में जिस संख्या का परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। यहाँ
\(2.01=2.010\), और \(2.010>2.001\)। इसलिए \(-2.010<-2.001\), अतः \((-2.01)\) छोटा है। \((-2.001)\) शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ा है। परीक्षा टिप: दशमलव स्थानों की तुलना करने के लिए आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाएँ। / Among negative numbers, the number with the greater magnitude is smaller. Here, \(2.01=2.010\), and \(2.010>2.001\). Therefore, \(-2.010<-2.001\), so \((-2.01)\) is smaller. \((-2.001)\) is closer to zero and is therefore greater. Exam tip: Add trailing zeros when needed to compare decimal places.
A. दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many irrational numbers lie between any two distinct rational numbers.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a<b\) परिमेय हों, तो \(a+(b-a)\sqrt2/n\), जहाँ \(n\ge2\), उनके बीच एक अपरिमेय संख्या है। अलग-अलग \(n\) से अनंत ऐसी संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्या रेखा पर सघन हैं। / If \(a<b\) are rational, then \(a+(b-a)\sqrt2/n\), for \(n\ge2\), is an irrational number between them. Different values of \(n\) give infinitely many such numbers. Exam tip: both rational and irrational numbers are dense on the number line.
संख्या रेखा पर
\(\sqrt{5}\) को दर्शाने के लिए रिया ने \(OA=2\) इकाई खींचा और बिंदु \(A\) पर \(AB=1\) इकाई का लंब खींचा। उसने \(O\) को \(B\) से जोड़ा। उसका कौन-सा तर्क सही है?
A. \(OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=5\), इसलिए \(OB=\sqrt{5}\)/\(OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=5\), so \(OB=\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
त्रिभुज \(OAB\) समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय से \(OB^2=2^2+1^2=5\), अतः \(OB=\sqrt{5}\)। इस लंबाई को \(O\) केंद्र से संख्या रेखा पर काटने पर वांछित बिंदु मिलता है। परीक्षा में वर्गों का योग अवश्य जाँचें। / Triangle \(OAB\) is right-angled. By Pythagoras, \(OB^2=2^2+1^2=5\), hence \(OB=\sqrt{5}\). Transferring this radius from \(O\) to the number line marks the required point. Exam tip: verify the sum of squares, not the sum of sides.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \(-7\), \(-7.7\) की तुलना में शून्य के अधिक निकट है, इसलिए \(-7 > -7.7\)। \(-7.7\) को बड़ा मानना गलत है, क्योंकि संख्या रेखा पर वह \(-7\) के बाईं ओर है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना में संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \(-7\) is closer to zero than \(-7.7\), so \(-7 > -7.7\). Choosing \(-7.7\) is incorrect because it lies to the left of \(-7\) on the number line. Exam tip: on a number line, the number farther to the right is always greater.
A. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a<b\) हों, तो उनके बीच परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दोनों सघन होती हैं; इसलिए दोनों प्रकार की अनंत संख्याएँ मिलती हैं। \((a+b)/2\) केवल एक मध्य बिंदु है। परीक्षा-टिप: “सघन” का अर्थ हर अंतराल में मौजूद होना है। / For \(a<b\), both rational and irrational numbers are dense between them, so each type occurs infinitely often. \((a+b)/2\) gives only one midpoint, not the full set. Exam tip: density means that every interval contains such numbers.
संख्या रेखा पर जो संख्या दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है।
definitely
-4, -4.4 की अपेक्षा शून्य के अधिक निकट है और संख्या रेखा पर उसके दाईं ओर स्थित है। इसलिए ( -4 ) बड़ा है। “दोनों बराबर” गलत है क्योंकि -4.0 और -4.4 अलग संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जिसका निरपेक्ष मान कम होता है, वही बड़ी होती है। / On a number line, the number farther to the right is greater.
definitely
-4 is closer to zero than -4.4 and lies to its right on the number line. Therefore, ( -4 ) is greater. “Both are equal” is incorrect because -4.0 and -4.4 are different numbers. Exam tip: Among negative numbers, the number with the smaller absolute value is greater.
क्योंकि \(1<\sqrt{3}<2\), ऋणात्मक करने पर असमानता की दिशा बदलती है: \(-2<-\sqrt{3}<-1\)। \(-\sqrt{5}\) \(-2\) से छोटा है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के स्थान के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों का उपयोग करें। / Since \(1<\sqrt{3}<2\), multiplying by \(-1\) reverses the inequalities: \(-2<-\sqrt{3}<-1\). In contrast, \(-\sqrt{5}\) is less than \(-2\). Exam tip: use nearby perfect squares to locate square roots.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु \,\(\frac{a+b}{2}\) से ज्ञात किया जाता है। यहाँ \(\frac{-8+8}{2}=\frac{0}{2}=0\)। इसलिए 0, -8 और 8 से समान दूरी पर है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि वह -8 और 8 के बीच का औसत नहीं है। परीक्षा टिप: विपरीत संख्याओं \(a\) और \(-a\) का मध्य बिंदु हमेशा 0 होता है। / The midpoint of two numbers is found using \(\frac{a+b}{2}\). Here, \(\frac{-8+8}{2}=\frac{0}{2}=0\). Therefore, 0 is at an equal distance from -8 and 8. Option 4 is incorrect because it is not the average of -8 and 8. Exam tip: The midpoint of opposite numbers \(a\) and \(-a\) is always 0.
-0.2 को -0.20 लिखने पर दशमलव के दाईं ओर केवल एक शून्य जुड़ता है, जिससे संख्या का मान नहीं बदलता। अतः -0.2 = -0.20, इसलिए दोनों बराबर हैं। विकल्प A या B सही नहीं हैं क्योंकि कोई भी संख्या दूसरी से बड़ी नहीं है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत में लगे शून्य संख्या का मान नहीं बदलते। / Writing -0.2 as -0.20 only adds a zero to the right of the decimal part; it does not change the value of the number. Hence, -0.2 = -0.20, so both are equal. Options A and B are not correct because neither number is greater than the other. Exam tip: Zeros added at the end of a decimal do not change its value.
