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A. हाँ क्योंकि सभी विकर्ण युग्म हैं/Yes because all diagonal pairs are present
Step 1
Concept
A reflexive relation must contain each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,1),(2,2),(3,3)) are all present so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not break reflexivity. चरण 1: स्वतः संबंध में हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 3: अतिरिक्त युग्म होने से स्वतः गुण नहीं टूटता।
Reflexivity needs the diagonal pair for every element.
Step 2
Why this answer is correct
For element (3), ((3,3)) is missing so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
For reflexivity check every element of the base set. चरण 1: स्वतः होने के लिए हर अवयव का विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: (3) के लिए ((3,3)) नहीं है इसलिए शर्त पूरी नहीं हुई। चरण 3: स्वतः गुण में पूरे आधार समुच्चय के सभी अवयव जाँचें।
In a symmetric relation every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
To check symmetry interchange the first and second components. चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उलटा युग्म भी होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) है। चरण 3: सममितता में पहले और दूसरे घटक को अदल बदल कर देखें।
If even one reverse pair is missing, the relation is not symmetric. चरण 1: ((2,3)) के साथ सममितता के लिए ((3,2)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((3,2)) नहीं है। चरण 3: एक भी उलटा युग्म छूटने पर संबंध सममित नहीं रहता।
Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), we need ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Remove the common middle element and join the first and last elements. चरण 1: संचारीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। चरण 3: बीच वाले समान अवयव को हटाकर पहला और अंतिम अवयव जोड़ें।
In ((1,2)) and ((2,3)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
While checking transitivity focus on connected pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) में बीच का अवयव (2) समान है। चरण 2: संचारीता के लिए ((1,3)) होना चाहिए पर वह नहीं है। चरण 3: संचारीता जाँचते समय जुड़े हुए युग्मों पर ध्यान दें।
The smallest reflexive relation contains only necessary diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For four elements the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 3
Exam Tip
When the word smallest appears do not add extra pairs. चरण 1: न्यूनतम स्वतः संबंध में केवल जरूरी विकर्ण युग्म रखे जाते हैं। चरण 2: चार अवयवों के लिए चार युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होंगे। चरण 3: न्यूनतम शब्द देखकर अतिरिक्त युग्म न जोड़ें।
The smallest reflexive relation has one diagonal pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
For five elements there are five such pairs.
Step 3
Exam Tip
The number of pairs in the smallest reflexive relation equals the number of elements. चरण 1: न्यूनतम स्वतः संबंध में हर अवयव के लिए एक विकर्ण युग्म होता है। चरण 2: पाँच अवयवों के लिए पाँच ऐसे युग्म होंगे। चरण 3: न्यूनतम स्वतः संबंध की संख्या अवयवों की संख्या के बराबर होती है।
A universal relation includes all possible ordered pairs. चरण 1: सर्वसम संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। चरण 2: (3) अवयवों के लिए \(3^2=9\) युग्म बनते हैं। चरण 3: सर्वसम संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म शामिल होते हैं।
In the identity relation each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For (a,b,c), the pairs are ((a,a),(b,b),(c,c)).
Step 3
Exam Tip
The number of identity pairs equals the number of elements. चरण 1: तत्समक संबंध में हर अवयव केवल अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: (a,b,c) के लिए ((a,a),(b,b),(c,c)) तीन युग्म होंगे। चरण 3: तत्समक संबंध में युग्मों की संख्या अवयवों की संख्या होती है।
The number of pairs in \(A\times B\) is (n(A)n(B)).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(2\times3=6\) pairs are formed.
Step 3
Exam Tip
For different sets multiply the numbers of elements. चरण 1: \(A\times B\) में युग्मों की संख्या (n(A)n(B)) होती है। चरण 2: यहाँ \(2\times3=6\) युग्म बनेंगे। चरण 3: अलग अलग समुच्चयों में अवयवों की संख्याएँ गुणा करें।
In \(B\times A\), the first component comes from (B) and the second from (A).
Step 2
Why this answer is correct
In ((3,1)), (3) is from (B) and (1) is from (A).
Step 3
Exam Tip
Always read the order carefully in Cartesian products. चरण 1: \(B\times A\) में पहला घटक (B) से और दूसरा घटक (A) से आता है। चरण 2: ((3,1)) में (3) (B) से और (1) (A) से है। चरण 3: कार्तीय गुणनफल में क्रम को हमेशा ध्यान से पढ़ें।
The domain is formed from the first components of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The first components are (1,2,2), so the domain is ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
Write repeated elements only once in a set. चरण 1: प्रांत क्रमित युग्मों के पहले घटकों से बनता है। चरण 2: पहले घटक (1,2,2) हैं इसलिए प्रांत ({1,2}) है। चरण 3: दोहराए हुए अवयव को समुच्चय में एक बार लिखें।
The range is formed from the second components of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The second components are (3,3,4), so the range is ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
Remember the different positions for domain and range. चरण 1: परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: दूसरे घटक (3,3,4) हैं इसलिए परिसर ({3,4}) है। चरण 3: प्रांत और परिसर के स्थान अलग अलग याद रखें।
The first components of the relation are (a,b,c), so (b) is in the domain.
Step 3
Exam Tip
Letters and numbers can both occur but position matters most. चरण 1: प्रांत में पहले घटक आते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध के पहले घटक (a,b,c) हैं इसलिए (b) प्रांत में है। चरण 3: अक्षर और संख्या दोनों हो सकते हैं पर स्थान सबसे जरूरी है।
Here the second components are (2,3,2), so (2) belongs to the range.
Step 3
Exam Tip
To find the range look at the right-side components. चरण 1: परिसर में दूसरे घटक आते हैं। चरण 2: यहाँ दूसरे घटक (2,3,2) हैं इसलिए (2) परिसर का अवयव है। चरण 3: परिसर निकालते समय दाएँ स्थान वाले घटक देखें।
In an inverse relation the two components of every pair are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,4),(2,5),(3,6)) become ((4,1),(5,2),(6,3)).
Step 3
Exam Tip
While finding inverse do not miss any pair. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों घटक उलटते हैं। चरण 2: ((1,4),(2,5),(3,6)) उलटकर ((4,1),(5,2),(6,3)) बनते हैं। चरण 3: विलोम निकालते समय कोई युग्म छोड़ें नहीं।
The inverse of the inverse is the original relation. चरण 1: (R) पाने के लिए \(R^{-1}\) के प्रत्येक युग्म को फिर से उलट दें। चरण 2: ((2,1)) से ((1,2)) और ((3,2)) से ((2,3)) मिलता है। चरण 3: विलोम का विलोम मूल संबंध होता है।
\(R=R^{-1}\) means every pair is present with its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
This is the main idea of a symmetric relation.
Step 3
Exam Tip
Symmetry can also be recognized through the inverse relation. चरण 1: \(R=R^{-1}\) का अर्थ है हर युग्म के साथ उसका उलटा भी है। चरण 2: यही सममित संबंध की मुख्य पहचान है। चरण 3: सममितता को विलोम संबंध से भी पहचाना जा सकता है।
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं/Because both ((1,2)) and ((2,1)) are present
Step 1
Concept
Diagonal pairs reverse to themselves.
Step 2
Why this answer is correct
The non-diagonal pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)) present.
Step 3
Exam Tip
In symmetry check the reverse of every non-diagonal pair. चरण 1: विकर्ण युग्म उलटने पर अपने जैसे ही रहते हैं। चरण 2: गैर विकर्ण युग्म ((1,2)) का उलटा ((2,1)) भी मौजूद है। चरण 3: सममितता में हर गैर विकर्ण युग्म का उलटा जरूर देखें।
There is no pair with different components so it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Identify the identity relation through diagonal pairs. चरण 1: संबंध में हर अवयव अपने आप से जुड़ा है। चरण 2: कोई भी अलग घटकों वाला युग्म नहीं है इसलिए यह तत्समक संबंध है। चरण 3: तत्समक संबंध को विकर्ण युग्मों से पहचानें।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
A relation containing all these pairs is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
When you see the full Cartesian product think of universal relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: सभी युग्मों को शामिल करने वाला संबंध सर्वसम संबंध कहलाता है। चरण 3: पूरा कार्तीय गुणनफल दिखे तो सर्वसम संबंध याद करें।
An empty relation has no pair so there is no first component.
Step 3
Exam Tip
The domain and range of an empty relation are both empty. चरण 1: प्रांत पहले घटकों से बनता है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं होता इसलिए पहला घटक भी नहीं होता। चरण 3: रिक्त संबंध के प्रांत और परिसर दोनों रिक्त होते हैं।
An empty relation has no ordered pair so it has no second component.
Step 3
Exam Tip
In an empty relation both domain and range are empty. चरण 1: परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं है इसलिए कोई दूसरा घटक भी नहीं है। चरण 3: रिक्त संबंध में प्रांत और परिसर दोनों नहीं बनते।
The total number of relations equals the number of subsets. चरण 1: \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं। चरण 2: चार अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^4=16\) होते हैं। चरण 3: संबंधों की कुल संख्या उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है।
Each subset forms a relation so the total number of relations is \(2^{16}\).
Step 3
Exam Tip
For total relations on (n) elements use \(2^{n^2}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 2: प्रत्येक उपसमुच्चय एक संबंध बनाता है इसलिए कुल संबंध \(2^{16}\) होंगे। चरण 3: (n) अवयवों पर कुल संबंधों के लिए \(2^{n^2}\) लगाएँ।
A relation is a subset of \(A\times B\), so total relations are \(2^8\).
Step 3
Exam Tip
For relations between two sets first count (mn) pairs. चरण 1: \(A\times B\) में \(2\times4=8\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है इसलिए कुल संबंध \(2^8\) होंगे। चरण 3: दो समुच्चयों के बीच कुल संबंधों में पहले (mn) युग्म गिनें।
These four pairs are all possible pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Since all are present, the relation is universal.
Step 3
Exam Tip
For a small set write the full Cartesian product and compare. चरण 1: \(A\times A\) के सभी संभावित युग्म यही चार हैं। चरण 2: संबंध में ये सभी युग्म मौजूद हैं इसलिए यह सर्वसम संबंध है। चरण 3: छोटे समुच्चय में पहले पूरा कार्तीय गुणनफल लिखकर मिलाएँ।
An identity relation must have the diagonal pair for every element of the base set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) and ((2,2)) are complete only for ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
A property of a relation can change when the base set changes. चरण 1: तत्समक संबंध में आधार समुच्चय के हर अवयव का विकर्ण युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((1,1)) और ((2,2)) केवल ({1,2}) के लिए पूरे हैं। चरण 3: आधार समुच्चय बदलने पर संबंध का गुण बदल सकता है।
All diagonal pairs are present so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present and transitivity also holds because the needed ((1,1)) and ((2,2)) are present.
Step 3
Exam Tip
For equivalence relation check all three properties separately. चरण 1: इसमें सभी विकर्ण युग्म हैं इसलिए यह स्वतः है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं और संचारीता भी पूरी रहती है क्योंकि जरूरी ((1,1)) और ((2,2)) मौजूद हैं। चरण 3: तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण अलग अलग जाँचें।
A. तीनों में से कोई एक जरूरी गुण न होना/Any one required property is missing
Step 1
Concept
An equivalence relation needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
If even one of these is missing, it is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
In exams once one property fails, you can conclude it is not equivalence. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए स्वतः सममित और संचारी तीनों गुण चाहिए। चरण 2: इनमें से एक भी गुण नहीं हो तो तुल्यता संबंध नहीं बनेगा। चरण 3: परीक्षा में एक गुण टूटते ही निष्कर्ष लिख सकते हैं।
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
Symmetry is necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
In equivalence relation questions check reverse pairs for non-diagonal pairs. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी है। चरण 2: यहाँ ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है इसलिए सममितता टूटती है। चरण 3: तुल्यता संबंध में गैर विकर्ण युग्मों के उलटे युग्म अवश्य जाँचें।
A. यह तुल्यता संबंध नहीं है/It is not an equivalence relation
Step 1
Concept
An equivalence relation requires all three properties together.
Step 2
Why this answer is correct
Since transitivity is missing, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
Even if two properties hold, the third must be checked. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण साथ में चाहिए। चरण 2: संचारी गुण नहीं है इसलिए संबंध तुल्यता संबंध नहीं होगा। चरण 3: दो गुण सही हों तब भी तीसरा गुण जाँचना जरूरी है।
The non-diagonal pair ((1,3)) appears with ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
Pairs appearing with their reverses show symmetry. चरण 1: विकर्ण युग्म अपने उलटे से समान रहते हैं। चरण 2: गैर विकर्ण युग्म ((1,3)) के साथ ((3,1)) भी है। चरण 3: उलटे युग्मों की जोड़ी सममितता दिखाती है।
In ((1,2)) and ((2,2)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,2)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
Sometimes the required pair is already in the relation. चरण 1: ((1,2)) और ((2,2)) में बीच का (2) समान है। चरण 2: संचारीता के लिए ((1,2)) चाहिए जो पहले से मौजूद है। चरण 3: कभी कभी जरूरी युग्म वही होता है जो संबंध में पहले से दिया हो।
Transitivity needs the third pair from connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The required pairs ((1,1),(1,2),(2,2)) are already present.
Step 3
Exam Tip
A reverse pair is not required for transitivity. चरण 1: संचारीता में जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: यहाँ बनने वाले जरूरी युग्म ((1,1),(1,2),(2,2)) पहले से मौजूद हैं। चरण 3: संचारीता में उलटा युग्म जरूरी नहीं होता।
A. ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
Reflexivity requires each element to be paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Being symmetric does not automatically mean being reflexive. चरण 1: स्वतः होने के लिए हर अवयव का अपने साथ युग्म चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं इसलिए यह स्वतः नहीं है। चरण 3: सममित होने से स्वतः होना जरूरी नहीं है।
A relation with only diagonal pairs can still be reflexive. चरण 1: प्रत्येक अवयव का अपने साथ युग्म मौजूद है। चरण 2: इसलिए यह संबंध स्वतः है। चरण 3: केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध भी स्वतः हो सकता है।
A. हर युग्म उलटने पर वही रहता है/Every pair remains the same when reversed
Step 1
Concept
A diagonal pair ((a,a)) remains ((a,a)) after reversing.
Step 2
Why this answer is correct
All given pairs are diagonal so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not create any problem for symmetry. चरण 1: विकर्ण युग्म ((a,a)) उलटने पर भी ((a,a)) ही रहता है। चरण 2: सभी दिए गए युग्म विकर्ण हैं इसलिए सममितता पूरी होती है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता में परेशानी नहीं देते।
A. क्योंकि जुड़े हुए विकर्ण युग्मों से वही विकर्ण युग्म मिलता है/Because connected diagonal pairs give the same diagonal pair
Step 1
Concept
In transitivity, ((a,a)) and ((a,a)) require ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
All such required diagonal pairs are already present.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is a simple example of transitivity. चरण 1: संचारीता में ((a,a)) और ((a,a)) से ((a,a)) चाहिए। चरण 2: यहाँ ऐसे सभी जरूरी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। चरण 3: तत्समक संबंध संचारीता का सरल उदाहरण है।
Elements of the range become second components, so ((1,3)) may be possible.
Step 3
Exam Tip
While forming a pair take the first position from the domain and the second from the range. चरण 1: प्रांत के अवयव पहले घटक बनते हैं। चरण 2: परिसर के अवयव दूसरे घटक बनते हैं इसलिए ((1,3)) संभव है। चरण 3: युग्म बनाते समय पहला स्थान प्रांत से और दूसरा परिसर से लें।
In ordered pairs choose the left component for the domain. चरण 1: प्रांत पहले घटकों से बनता है। चरण 2: यहाँ पहले घटक (1,2,3,4) हैं। चरण 3: क्रमित युग्मों में बाएँ घटक को प्रांत के लिए चुनें।
Read the right components to find the range quickly. चरण 1: परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: यहाँ दूसरे घटक (2,4,6,8) हैं। चरण 3: दाएँ घटक को पढ़कर परिसर जल्दी निकाला जा सकता है।
A. हाँ क्योंकि \(R\subseteq A\times A\)/Yes because \(R\subseteq A\times A\)
Step 1
Concept
To be a relation on (A), all pairs must come from \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,3)) are pairs from \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
A relation does not need to contain all possible pairs. चरण 1: (A) पर संबंध होने के लिए सभी युग्म \(A\times A\) से होने चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों \(A\times A\) के युग्म हैं। चरण 3: संबंध होने के लिए सभी संभव युग्म होना जरूरी नहीं है।
Both components of a pair in \(A\times A\) must belong to (A).
Step 2
Why this answer is correct
In ((3,1)), (3) is not an element of (A).
Step 3
Exam Tip
In Cartesian products check membership of every component. चरण 1: \(A\times A\) के दोनों घटक (A) से होने चाहिए। चरण 2: ((3,1)) में (3) (A) का अवयव नहीं है। चरण 3: कार्तीय गुणनफल में हर घटक की सदस्यता जाँचें।
((2,2),(4,4),(6,6)) are present so reflexivity is visible.
Step 3
Exam Tip
Check the diagonal pair for every element of the base set. चरण 1: स्वतः संबंध के लिए (2,4,6) के विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: ((2,2),(4,4),(6,6)) मौजूद हैं इसलिए स्वतः गुण दिखता है। चरण 3: आधार समुच्चय के हर अवयव का विकर्ण युग्म देखें।
Therefore the symmetric property holds here. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) एक दूसरे के उलटे हैं। चरण 2: विकर्ण युग्म उलटने पर वही रहते हैं। चरण 3: इसलिए सममित गुण यहाँ पूरा होता है।
Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed and it is present.
Step 3
Exam Tip
In connected pairs identify the common middle element. चरण 1: संचारीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए जो संबंध में है। चरण 3: जुड़े युग्मों में बीच के अवयव को पहचानें।
A symmetric relation contains the reverse of a pair.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((5,7)) is ((7,5)).
Step 3
Exam Tip
For symmetry remember to interchange the two components. चरण 1: सममित संबंध में युग्म का उलटा भी होता है। चरण 2: ((5,7)) का उलटा ((7,5)) है। चरण 3: सममितता में दोनों घटकों की जगह बदलना याद रखें।
In a transitive relation, ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,5)) and ((5,9)), ((2,9)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Remove the common middle element to form the new pair. चरण 1: संचारी संबंध में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) जरूरी होता है। चरण 2: ((2,5)) और ((5,9)) से ((2,9)) अवश्य होगा। चरण 3: बीच वाला समान अवयव हटाकर नया युग्म बनाएँ।
