यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 +5), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 +5), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#cubic function
#real numbers
A \(\sqrt[3]{x-5}\)
B \(\sqrt[3]{x+5}\)
C \(x^3-5\)
D \(\sqrt{x-5}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt[3]{x-5}\)
Step 1
Concept
\(y=x^3+5\) लिखें। / Write \(y=x^3+5\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3=y-5\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y-5}\)। / Then \(x^3=y-5\), so \(x=\sqrt[3]{y-5}\).
Step 3
Exam Tip
(y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5})। / Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-2 +1), तो (f^{-1}(10)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-2 +1), what is (f^{-1}(10))?
#restricted domain
#inverse value
#square function
A (3)
B (-3)
C ({-3,3})
D (9)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(10)) के लिए \(x^2+1=10\) हल करें। / To find (f^{-1}(10)), solve \(x^2+1=10\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +1), तो (f^{-1}({5})) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +1), what is (f^{-1}({5}))?
#preimage
#square function
#inverse image
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-2})
D ([1,5])
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Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
पूर्वछवि के लिए \(x^2+1=5\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2+1=5\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2=4\) मिलता है। / This gives \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) या (x=-2), अतः पूर्वछवि ({-2,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-2), so the preimage is ({-2,2}).
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यदि (f(x)=x-2 -5x+6), तो (f(2), f(3), f(4)) में से कौन-से मान शून्य हैं?
If (f(x)=x-2 -5x+6), which of (f(2), f(3), f(4)) are zero?
#zero of function
#quadratic function
#factorisation
A (f(2)) और (f(3)) / (f(2)) and (f(3))
B केवल (f(4)) / only (f(4))
C केवल (f(2)) / only (f(2))
D तीनों / all three
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Correct Answer
A. (f(2)) और (f(3)) / (f(2)) and (f(3))
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 -5x+6=(x-2)(x-3))। / (f(x)=x-2 -5x+6=(x-2)(x-3)).
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) और (x=3) पर गुणनफल शून्य होगा। / At (x=2) and (x=3), the product becomes zero.
Step 3
Exam Tip
(x=4) पर (f(4)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है। / At (x=4), (f(4)=2), so it is not zero.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), तो परास क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), what is the range?
#absolute value
#range
#minimum value
A \([1,\infty\))
B \([0,\infty\))
C (R)
D (R-{1})
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Correct Answer
A. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-4|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(|x-4|\ge0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(|x-4|+1\ge1\)। / Therefore \(|x-4|+1\ge1\).
Step 3
Exam Tip
(x=4) पर न्यूनतम मान (1) मिलता है, अतः परास \([1,\infty\)) है। / At (x=4), the minimum value (1) is obtained, so the range is \([1,\infty\)).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), तो यह आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=|x-4|+1), why is it not onto?
#onto function
#absolute value
#range
#codomain
A क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकता / Because (0) cannot be its image
B क्योंकि (1) इसकी छवि है / Because (1) is its image
C क्योंकि यह हर जगह परिभाषित है / Because it is defined everywhere
D क्योंकि यह एक फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) इसकी छवि नहीं हो सकता / Because (0) cannot be its image
Step 1
Concept
(|x-4|+1) का मान हमेशा (1) या उससे बड़ा होता है। / The value of (|x-4|+1) is always at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रान्त (R) में (0) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain (R) contains (0), but it cannot be the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (B) में (8) अवयव हैं, तो (A) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (B) has (8) elements, how many elements will (A) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (8)
B (7)
C (9)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे। / Since (B) has (8) elements, (A) also has (8).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) ऐसे हैं कि \(f\circ g=I_B\) और \(g\circ f=I_A\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(f\circ g=I_B\) and \(g\circ f=I_A\), what is correct about (f)?
#inverse function
#composition
#identity function
#bijection
A (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\) / (f) is bijective and \(g=f^{-1}\)
B (f) स्थिर फलन है / (f) is a constant function
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (g) पहचान फलन ही है / (g) is only the identity function
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Correct Answer
A. (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\) / (f) is bijective and \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। / Both compositions give identity functions.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। / This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f) उभयैक है और (g), (f) का प्रतिलोम है। / Therefore (f) is bijective and (g) is the inverse of (f).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 +2x+3), which statement about the range of (f) is correct?
#functions
#range
#quadratic
A \([2,\infty\))
B \([3,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) लिखें। / Write (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \geq 0), इसलिए सबसे छोटा मान (2) है। / Since ((x+1)2 \geq 0), the least value is (2).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में वर्ग पूरा करना परास निकालने का तेज तरीका है। / Completing the square is a quick method for finding the range of a quadratic function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#linear function
#bijection
A \(\frac{x+5}{2}\)
B \(\frac{x-5}{2}\)
C (2x+5)
D (5-2x)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+5}{2}\)
Step 1
Concept
(y=2x-5) मानें। / Put (y=2x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x) gives \(x=\frac{y+5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें। / While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end.
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