यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन संभव हैं?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{a,b\}\), how many functions are possible from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#domain codomain
A (6)
B (8)
C (9)
D (12)
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Step 1
Concept
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। / Each element of (A) has (2) choices in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है। / In counting functions, the base is the number of elements in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), what is (\(g\circ f\)(x))?
#composition of functions
#algebra
#functions
A \(x^2+3\)
B ((x+3)2 )
C \(x^2+6\)
D (x+9)
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Correct Answer
B. ((x+3)2 )
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=x+3) को (g) में रखने पर (g(x+3)=(x+3)2 ) मिलता है। / Substituting (f(x)=x+3) into (g) gives (g(x+3)=(x+3)2 ).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, changing the order can change the answer.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 +x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 +x), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#increasing function
#real function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x^3+x\) का मान बढ़ता है। / If \(x_1<x_2\), then \(x^3+x\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
बढ़ता हुआ फलन दो अलग मानों पर समान मान नहीं देता। / A strictly increasing function cannot give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय बढ़ने या घटने का व्यवहार उपयोगी होता है। / Monotonic behaviour is useful for checking one-one functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is (f) not one-one?
#one-one function
#counterexample
#square function
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या का प्रतिचित्र है / Because every real number has a preimage
D क्योंकि इसका प्रांत रिक्त है / Because its domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। / A one-one function must give different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to prove that a function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) is defined by (f(x)=x-2 ), which statement about (f) is correct?
#onto function
#not one-one
#square function
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। / Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है। / The codomain strongly affects onto behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +1) से दिया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +1), why is (f) not onto?
#onto function
#range
#codomain
A क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि (2) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (2) has no preimage
D क्योंकि सभी धनात्मक संख्याएँ नहीं आतीं / Because all positive numbers are missed
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2+1\geq 1\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(x^2+1\geq 1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) सहप्रांत में है पर फलन का मान कभी (0) नहीं बनता। / So (0) is in the codomain but is never attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto, show one missing element of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का कौन सा मान कभी नहीं आएगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), which value can never occur as (f(x))?
#range
#rational function
#excluded value
A (1)
B (2)
C (3)
D (5)
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Step 1
Concept
मान लें \(y=\frac{2x+3}{x-1}\)। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=2) रखने पर (2x+3=2x-2), जो असंभव है। / Putting (y=2) gives (2x+3=2x-2), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटा मान निकालने के लिए (y) रखकर हल करें। / For rational functions, solve in terms of (y) to find excluded values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), what is the value of (\(f\circ g\)(2))?
#composition
#value of function
#linear functions
A (-5)
B (-3)
C (3)
D (7)
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Step 1
Concept
पहले (g(2)=2-4=-2) निकालें। / First find (g(2)=2-4=-2).
Step 2
Why this answer is correct
अब (f(-2)=3(-2)+1=-5) होगा। / Then (f(-2)=3(-2)+1=-5).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के मान में अंदर वाले फलन को पहले लगाएँ। / In composition, apply the inner function first.
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यदि \(f:A\to B\) एक एकैकी फलन है और (|A|=5), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is a one-one function and (|A|=5), (|B|=4), which statement is correct?
#one-one function
#finite sets
#pigeonhole
A ऐसा फलन संभव है / Such a function is possible
B ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
C ऐसा फलन हमेशा आच्छादी होगा / Such a function is always onto
D ऐसे ठीक (20) फलन होंगे / There will be exactly (20) such functions
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Correct Answer
B. ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के अलग अवयवों को (B) के अलग अवयवों पर जाना चाहिए। / A one-one function sends distinct elements of (A) to distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (4) अवयव हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (4).
Step 3
Exam Tip
कबूतरखाना सिद्धांत से ऐसा एकैकी फलन संभव नहीं है। / By the pigeonhole idea, such a one-one function cannot exist.
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल कितने एकैकी और आच्छादी फलन होंगे?
If (A) has (4) elements and (B) has (4) elements, how many functions from (A) to (B) are both one-one and onto?
#bijection
#counting functions
#finite sets
A (4)
B (16)
C (24)
D (256)
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Step 1
Concept
समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी और आच्छादी फलन क्रमचय होते हैं। / For finite sets of equal size, functions that are one-one and onto are permutations.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों के क्रमचय (4!=24) होते हैं। / The number of permutations of (4) elements is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीधे (n!) प्रयोग करें। / Use (n!) directly in such bijection counting questions.
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