Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है। / An increasing function covering all real values is bijective.
(f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें। / For even powers, check both symmetry and range.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-2) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x+2}{3}) से दिया गया है, तो (g) और (f) के बीच क्या संबंध है?
पहले अवयव के लिए (4) चुनाव, दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2).
Step 2
Why this answer is correct
कुल एकैकी फलन \(4\cdot3\cdot2=24\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों में बिना दोहराव के चुनाव करें। / For one-one functions, choose images without repetition.
B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
