Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें। / In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है, इसलिए सममितता पूरी है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं। / Reflexivity would need ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
सममित और स्वतुल्य गुणों को अलग-अलग जाँचें। / Check symmetry and reflexivity separately.
विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती। / Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity.
यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। / If (x-y) is odd, then (y-x=-(x-y)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। / Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती। / In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness.
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें। / For intersection proofs, check membership in both relations separately.
