Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a-b) संख्या (2) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus, each pair has its reverse pair.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में ऋण चिह्न सममिति को नहीं बिगाड़ता। / In divisibility-based relations, a negative sign does not break symmetry.
A. \(R\cup S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cup S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b) \in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में ((a,b)) है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और \(R\cup S\) में भी होगा। / The relation containing ((a,b)) is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
संघ में सिद्ध करते समय यह देखें कि युग्म कम से कम एक संबंध में है। / In union proofs, track that the pair belongs to at least one relation.
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। / The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। / If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है। / That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric.
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा ((3,1)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Symmetry requires its reverse ((3,1)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में दिए गए सभी युग्मों को पढ़कर पहले अकेले पड़े युग्म को पहचानें। / While reading the given pairs, first identify any pair whose reverse is absent.
\(T\subseteq R\) होने से (T) के युग्म (R) से आते हैं। / Since \(T\subseteq R\), the pairs of (T) come from (R).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (T) में किसी युग्म का उल्टा युग्म हटाया जा सकता है, इसलिए सममिति टूट सकती है। / But (T) may include a pair while excluding its reverse pair, so symmetry can fail.
Step 3
Exam Tip
सममिति उपसमुच्चय लेने पर हमेशा सुरक्षित नहीं रहती। / Symmetry is not always preserved when taking an arbitrary subset.
A. क्योंकि (4-1=3), लेकिन \(1-4\ne3\)/Because (4-1=3), but \(1-4\ne3\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक युग्म और उसका उल्टा देखें। / To test symmetry, check one pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((4,1)) संबंध में है क्योंकि (4-1=3), पर ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-4=-3)। / ((4,1)) belongs to the relation because (4-1=3), but ((1,4)) does not because (1-4=-3).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते। / Relations based on a fixed directed difference are usually not symmetric.
सममित संबंध में \((y,x)\in R\) हो तो \((x,y)\in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((y,x)\in R\), then \((x,y)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रश्न में \((x,y)\notin R\) दिया है। / The question states \((x,y)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((y,x)\in R\) मानना विरोध देगा; अतः \((y,x)\notin R\) निश्चित है। / Therefore, \((y,x)\in R\) would cause a contradiction, so \((y,x)\notin R\).
यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें। / Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry.
