Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है, इसलिए \((b,a)\in R\); (S) सममित है, इसलिए यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\); since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\notin S\) और \((b,a)\in R-S\)। / Hence \((b,a)\notin S\), so \((b,a)\in R-S\).
B. यह कभी प्रतिवर्ती नहीं होगा/it is never reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / Since both relations are reflexive, all diagonal pairs lie in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) में वे युग्म हट जाते हैं जो (S) में भी हैं। / In (R-S), pairs that also lie in (S) are removed.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R-S) में नहीं रहेगा, अतः यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता। / Therefore no diagonal pair remains in (R-S), so it cannot be reflexive.
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
\((a,c)\in R\circ R\) का अर्थ है कि कोई (b) है जिसके लिए \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) means there is some (b) such that \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) संक्रामी है, इसलिए \((a,c)\in R\)। / Since (R) is transitive, \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\circ R\) हमेशा (R) का उपसमुच्चय होगा। / Hence \(R\circ R\subseteq R\).
