Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
सरसों उत्पादन में कच्चे माल के रूप में प्रयोग होकर तेल में बदलती है। इसलिए यह मध्यवर्ती वस्तु है। / Mustard seeds are used as raw material and transformed into oil. Hence they are intermediate goods.
एक समान पृष्ठीय वितरण में कुल आवेश नब्बे कूलॉम और क्षेत्रफल पंद्रह वर्ग मीटर है। यदि कुल आवेश तीन गुना और क्षेत्रफल आधा हो जाए तो नया पृष्ठीय घनत्व कितना होगा?
C. छत्तीस कूलॉम प्रति वर्ग मीटर/Thirty six coulomb per square metre
Step 1
Concept
नया आवेश दो सौ सत्तर कूलॉम होगा और नया क्षेत्रफल साढ़े सात वर्ग मीटर होगा। / New charge is two hundred seventy coulomb and new area is seven and half square metre.
Step 2
Why this answer is correct
पृष्ठीय घनत्व आवेश को क्षेत्रफल से बाँटकर मिलता है। / Surface density is charge divided by area.
Step 3
Exam Tip
दो सौ सत्तर को साढ़े सात से बाँटने पर छत्तीस मिलता है। / Two hundred seventy divided by seven and half gives thirty six.
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either.
सरसों का तेल परिवार ने पूजा और भोजन में अपने प्रत्यक्ष उपयोग के लिए खरीदा है; इसे आगे उत्पादन या पुनर्विक्रय के लिए नहीं खरीदा गया है। इसलिए यह अंतिम उपभोग वस्तु है। यदि यही तेल किसी खाद्य-निर्माता ने नमकीन बनाने के लिए खरीदा होता, तो वह मध्यवर्ती वस्तु होता। परीक्षा टिप: वस्तु का वर्गीकरण उसके उपयोग और खरीदार के उद्देश्य से होता है, केवल वस्तु के नाम से नहीं। / The household purchased mustard oil for its own direct use in worship and cooking, not for further production or resale. Therefore, it is a final consumption good. If a food producer bought the same oil to make snacks, it would be an intermediate good. Exam tip: classify a good by its use and the buyer’s purpose, not merely by the name of the product.
\(a\equiv 2 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a) को (5) से भाग देने पर शेषफल (2) हो। / \(a\equiv 2 \pmod{5}\) means (a) leaves remainder (2) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (5k+2) के रूप में लिखे जाते हैं। / Such integers are written as (5k+2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय समान शेषफल वाले सभी तत्व शामिल करें। / While writing an equivalence class, include all elements with the same remainder.
चीनी का उपयोग मिठाई बनाने की उत्पादन-प्रक्रिया में कच्चे माल के रूप में किया जाता है, इसलिए यह मध्यवर्ती वस्तु है। चीनी का मूल्य बेची गई अंतिम मिठाई के मूल्य में शामिल हो जाता है। इसे अलग से अंतिम वस्तु मानने पर दोहरी गणना हो जाएगी। परीक्षा टिप: जो वस्तु आगे उत्पादन में प्रयुक्त होती है, वह सामान्यतः मध्यवर्ती वस्तु होती है। / Sugar is used as a raw material in the production of sweets, so it is an intermediate good. Its value is included in the value of the final sweets sold. Counting sugar separately as a final good would cause double counting. Exam tip: A good used further in production is generally an intermediate good.
दो समान रूप से आवेशित तारों में पहले का रेखीय घनत्व दूसरे का चार गुना है और उसकी लंबाई दूसरे की एक तिहाई है। पहले तार का कुल आवेश दूसरे की तुलना में कितना होगा?
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में दोनों दिशाओं की विभाज्यता पहले से शामिल है, इसलिए सममितता है। / The condition already includes divisibility in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक संख्याओं में दोनों दिशाओं की विभाज्यता समानता देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / For positive numbers, mutual divisibility means equality, so transitivity also holds.
चीनी परिवार की संतुष्टि के लिए सीधे उपभोग में जाएगी। इसलिए यह अंतिम उपभोग वस्तु है। / Sugar will be directly consumed for household satisfaction. Hence it is a final consumption good.
बिस्तर होटल सेवा उत्पादन में लंबे समय तक सहायक हैं। इसलिए वे अंतिम पूंजीगत वस्तुएं हैं। / Beds support hotel service production for a long period. Therefore they are final capital goods.
ब्रेड का उपयोग होटल सीधे ग्राहकों को बेचने के लिए नाश्ता तैयार करने में करता है। अतः ब्रेड स्वयं होटल की अंतिम बिक्री नहीं है, बल्कि भोजन-सेवा उत्पादन में प्रयुक्त इनपुट है; इसलिए यह मध्यवर्ती वस्तु है। अंतिम उपभोग वस्तु वह होगी जो ग्राहक नाश्ते के रूप में खरीदता है। परीक्षा टिप: किसी वस्तु का वर्गीकरण उसके उपयोगकर्ता और उपयोग पर निर्भर करता है, वस्तु के नाम पर नहीं। / The hotel uses bread as an input to prepare breakfast that it sells to customers. Therefore, bread is not the hotel’s final sale; it is an input used in producing the food service, so it is an intermediate good. The breakfast purchased by the customer is the final consumption good. Exam tip: Classify a good by its use and user, not merely by the item itself.
प्रोजेक्टर सेवा उत्पादन की टिकाऊ परिसंपत्ति है। ऐसी वस्तु को पूंजीगत अंतिम वस्तु मानें। / A projector is a durable asset used for producing services. Treat such a good as a final capital good.
परावर्तन के कारण (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (6) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) अनियोजित जोड़े स्वतंत्र चुनाव देते हैं। / The \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) unordered pairs of distinct elements give independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{15}\) होगी। / Hence the number of such relations is \(2^{15}\).
पुनर्विक्रय के लिए खरीदी वस्तु खरीदार के लिए अंतिम उपयोग में नहीं जाती। इसलिए इसे मध्यवर्ती माना जाता है। / A good bought for resale is not in final use for the buyer. Therefore it is treated as intermediate.
स्वयुग्मों के लिए (n) स्वतंत्र चुनाव हैं। / There are (n) independent choices for self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
कपड़ा मिल कपास को उत्पादन प्रक्रिया में कच्चे माल के रूप में इस्तेमाल करके सूत में बदलती है। जो वस्तु किसी अन्य वस्तु के उत्पादन में प्रयोग होकर रूपांतरित हो जाती है, वह मध्यवर्ती वस्तु कहलाती है। इसलिए कपास मध्यवर्ती वस्तु है। अंतिम उपभोग वस्तु सीधे उपभोक्ता की आवश्यकता पूरी करती है, जबकि यहाँ कपास को आगे उत्पादन के लिए खरीदा गया है। परीक्षा टिप: वस्तु का वर्गीकरण उसके उपयोग के आधार पर करें, केवल उसकी प्रकृति के आधार पर नहीं। / The textile mill uses cotton as a raw material and transforms it into yarn during production. A good that is used up or transformed in producing another good is called an intermediate good. Therefore, cotton is an intermediate good here. A final consumption good is purchased for direct satisfaction of consumers' wants, whereas this cotton is bought for further production. Exam tip: classify a good according to its use, not merely according to its physical nature.
नई स्वचालित करघा मशीन का उपयोग कपड़ा मिल कई वर्षों तक उत्पादन करने के लिए करती है। यह किसी अन्य वस्तु में तुरंत समाहित होकर समाप्त नहीं होती, बल्कि उत्पादन क्षमता बढ़ाती है; इसलिए इसे अंतिम पूंजीगत वस्तु माना जाता है और इसका व्यय पूंजी निर्माण में शामिल होता है। मध्यवर्ती उपभोग में वे वस्तुएँ आती हैं जो उत्पादन के दौरान एक वर्ष के भीतर प्रयुक्त या समाप्त हो जाती हैं, जैसे धागा या ईंधन। परीक्षा टिप: जो वस्तु उत्पादन में बार-बार काम आए और टिकाऊ हो, वह सामान्यतः पूंजीगत वस्तु होती है। / A new automatic loom is used by the textile mill for production over several years. It does not get used up immediately as an input; instead, it increases the firm’s productive capacity. Therefore, it is counted as a final capital good and its purchase is included in capital formation. Intermediate consumption includes inputs such as yarn or fuel that are used up during production, generally within a year. Exam tip: A durable item repeatedly used in production is usually a capital good.
दवा कंपनी द्वारा खरीदे गए रसायन औषधियों के निर्माण में कच्चे माल या इनपुट के रूप में प्रयुक्त होते हैं। उनका मूल्य तैयार दवाओं के मूल्य में शामिल हो जाता है, इसलिए वे मध्यवर्ती वस्तुएँ हैं। अंतिम उपभोग वस्तुएँ सीधे उपभोक्ता की आवश्यकता पूरी करती हैं, जबकि यहाँ अंतिम वस्तु तैयार औषधि है। परीक्षा टिप: जो वस्तु आगे उत्पादन में प्रयुक्त होकर दूसरी वस्तु का भाग बन जाए, उसे मध्यवर्ती वस्तु मानें। / The chemicals are used as raw materials or inputs in producing medicines. Their value is incorporated into the value of the finished medicines, so they are intermediate goods. Final consumption goods directly satisfy consumers; here, the finished medicine is the final good. Exam tip: A good used up or incorporated in further production is generally an intermediate good.
दवाएं अस्पताल सेवा देने में उपभोग होने वाला इनपुट हैं। इसलिए वे मध्यवर्ती वस्तुएं हैं। / Medicines are inputs consumed while providing hospital services. Hence they are intermediate goods.
परिवार दवा को अपने स्वास्थ्य-उपभोग के लिए खरीदता है, न कि किसी अन्य वस्तु या सेवा के उत्पादन में लगाने के लिए। इसलिए यह परिवार के लिए अंतिम उपभोग वस्तु है। मध्यवर्ती वस्तु वह होती है जो आगे उत्पादन में प्रयुक्त हो, जैसे औषधि निर्माता द्वारा कच्चे माल के रूप में खरीदा गया रसायन। परीक्षा टिप: वस्तु का वर्गीकरण उसके खरीदार द्वारा किए गए उपयोग पर निर्भर करता है। / The household purchases the medicine for its own health consumption, not for use in producing another good or service. Therefore, it is a final consumption good for the household. An intermediate good is used further in production, such as chemicals bought by a pharmaceutical producer as raw material. Exam tip: classify a good according to the use made by its purchaser.
B. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम मौजूद है, इसलिए संबंध संक्रामक है। / Every required result of a forward chain is present, so the relation is transitive.
जांच मशीन का उपयोग प्रयोगशाला स्वास्थ्य-जांच जैसी सेवाएँ प्रदान करने के लिए कई वर्षों तक करेगी। यह उत्पादन में प्रयुक्त टिकाऊ परिसंपत्ति है, इसलिए इसे अंतिम पूंजीगत वस्तु माना जाता है। मध्यवर्ती वस्तु सामान्यतः उत्पादन प्रक्रिया में प्रयुक्त होकर शीघ्र समाप्त या रूपांतरित हो जाती है, जबकि मशीन बार-बार उपयोग होती है। परीक्षा टिप: किसी वस्तु का वर्गीकरण उसके उपयोग के आधार पर करें, केवल उसके नाम के आधार पर नहीं। / The laboratory will use the testing machine for several years to provide services such as diagnostic testing. It is a durable asset used in production, so it is a final capital good. An intermediate good is generally used up or transformed during production, whereas this machine is used repeatedly. Exam tip: classify a good by its use, not merely by its name.
C. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या स्वयं से (2) छोटी नहीं हो सकती, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No number can be (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) से कम है, तो (b) (a) से कम नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। / If (a) is less than (b), then (b) cannot be less than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so it is transitive.
प्रिंटर पेपर लेखा फर्म द्वारा ग्राहकों को रिपोर्ट तैयार करने की सेवा देने में प्रयुक्त होकर समाप्त हो जाता है। यह उत्पादन प्रक्रिया में इस्तेमाल होने वाला इनपुट है, इसलिए इसे मध्यवर्ती वस्तु माना जाता है। अंतिम उपभोग वस्तु सीधे उपभोक्ता की आवश्यकता पूरी करती है, जबकि स्थिर परिसंपत्ति, जैसे प्रिंटर, कई वर्षों तक सेवा देती है। परीक्षा टिप: किसी वस्तु का वर्गीकरण उसके उपयोग के आधार पर करें, केवल वस्तु के नाम के आधार पर नहीं। / The printer paper is used up while the accounting firm provides the service of preparing reports for clients. Since it is an input consumed during production, it is an intermediate good. A final consumption good directly satisfies a consumer's want, whereas a fixed asset, such as a printer, provides services over several years. Exam tip: classify a good by its use, not merely by its name.
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा/It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों संबंध परावर्ती हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद भी परावर्ती रहेगा। / Both relations are reflexive, so their intersection remains reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए साझा युग्मों के उल्टे युग्म भी साझा रहेंगे। / Both are symmetric, so reverse pairs of common pairs remain common.
Step 3
Exam Tip
दोनों संक्रामक हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में बनी शृंखला का परिणाम भी प्रतिच्छेद में होगा। / Both are transitive, so the result of a chain in the intersection also lies in the intersection.
सर्वर का उपयोग लेखा फर्म अपनी सेवाएँ देने के लिए कई वर्षों तक करती है। यह उत्पादन प्रक्रिया में बार-बार उपयोग होने वाली टिकाऊ परिसंपत्ति है, इसलिए इसे अंतिम पूंजीगत वस्तु माना जाता है। मध्यवर्ती वस्तु वह होती है जो किसी अन्य वस्तु या सेवा के उत्पादन में पूरी तरह प्रयुक्त या परिवर्तित हो जाती है; सर्वर ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी फर्म द्वारा कई वर्षों तक उत्पादन या सेवा-प्रदान में प्रयुक्त मशीन, उपकरण या सॉफ्टवेयर को सामान्यतः पूंजीगत वस्तु मानें। / The accounting firm uses the server repeatedly over many years to provide its services. It is a durable asset used in production, so it is a final capital good. An intermediate good is normally used up or transformed in producing another good or service; a server is not used up in this way. Exam tip: Equipment or software used by a firm for several years in production or service delivery is generally a capital good.
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं/It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। / Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। / Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S).
