Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). The full list must have \(2\times 2=4\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,2),(1,5),(4,2),(4,5)}). In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). The full list must have \(2\times 2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) क्रमित युग्म होने चाहिए।
(8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(8,1),(8,3),(8,5)}). (8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
Step 3
Exam Tip
(8) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल समुच्चय होने पर भी क्रम नहीं बदलता।
In ((7,8)), \(7\in X\) and \(8\in Y\), so it is correct. In membership, check the correct position of both components.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((7,8)). In ((7,8)), \(7\in X\) and \(8\in Y\), so it is correct. In membership, check the correct position of both components.
Step 3
Exam Tip
((7,8)) में \(7\in X\) और \(8\in Y\), इसलिए यह सही है। सदस्यता में दोनों घटकों की सही स्थिति देखें।
There is no element in (R) for the first component, so no pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\varnothing\). There is no element in (R) for the first component, so no pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
Step 3
Exam Tip
पहले घटक के लिए (R) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है।
The definition uses the ordered pair ((x,y)), where \(x\in A\) and \(y\in B\). This formula is useful in every listing question.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({(x,y):x\in A,\ y\in B}\). The definition uses the ordered pair ((x,y)), where \(x\in A\) and \(y\in B\). This formula is useful in every listing question.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा में क्रमित युग्म ((x,y)) होता है, जहां \(x\in A\) और \(y\in B\)। यह सूत्र हर सूचीकरण प्रश्न में उपयोगी है।
The order of elements in a set is not important, so (A=B). Remember that order in a set and order in an ordered pair are different ideas.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The order of elements in a set is not important, so (A=B). Remember that order in a set and order in an ordered pair are different ideas.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। ध्यान रखें कि समुच्चय का क्रम और क्रमित युग्म का क्रम अलग बातें हैं।
In ((6,3)), the first component is (6), but \(6\notin A\). To identify the wrong option, start by checking the first component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((6,3)). In ((6,3)), the first component is (6), but \(6\notin A\). To identify the wrong option, start by checking the first component.
Step 3
Exam Tip
((6,3)) में पहला घटक (6) है, लेकिन \(6\notin A\)। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक से जांच शुरू करें।
(A) is not empty and still the product is empty, so (B) must be empty. In an empty product, at least one set is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(B=\varnothing\). (A) is not empty and still the product is empty, so (B) must be empty. In an empty product, at least one set is empty.
Step 3
Exam Tip
(A) खाली नहीं है, फिर भी गुणन खाली है, इसलिए (B) खाली होना चाहिए। खाली गुणन में कम से कम एक समुच्चय खाली होता है।
The first component (4) is fixed and the second component comes from the (2) elements of (B). With a fixed first component, the count is (n(B)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The first component (4) is fixed and the second component comes from the (2) elements of (B). With a fixed first component, the count is (n(B)).
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (4) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से आएगा। निश्चित पहले घटक पर संख्या (n(B)) होती है।
The second component (2) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The second component (2) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (2) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक पर संख्या (n(A)) होती है।
A. दोनों में (3) युग्म हैं पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have (3) pairs but the order of components is different
Step 1
Concept
Both have count \(3\times 1=3\), but the order of components is reversed. Equal count does not mean equal sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में (3) युग्म हैं पर युग्मों का क्रम अलग है / Both have (3) pairs but the order of components is different. Both have count \(3\times 1=3\), but the order of components is reversed. Equal count does not mean equal sets.
Step 3
Exam Tip
दोनों की संख्या \(3\times 1=3\) है, पर घटकों का क्रम उल्टा है। समान संख्या का अर्थ समान समुच्चय नहीं होता।
Changing positions changes an ordered pair. Ordered pairs are equal only when corresponding components are equal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((3,8)\ne(8,3)). Changing positions changes an ordered pair. Ordered pairs are equal only when corresponding components are equal.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल समान स्थानों पर समान घटक हों तो युग्म बराबर होते हैं।
A. हां, क्योंकि \(5\in A\) और \(5\in B\)/Yes, because \(5\in A\) and \(5\in B\)
Step 1
Concept
The first (5) is in (A) and the second (5) is in (B), so the pair is correct. Equal components are not an error.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हां, क्योंकि \(5\in A\) और \(5\in B\) / Yes, because \(5\in A\) and \(5\in B\). The first (5) is in (A) and the second (5) is in (B), so the pair is correct. Equal components are not an error.
Step 3
Exam Tip
पहला (5) (A) में और दूसरा (5) (B) में है, इसलिए युग्म सही है। समान घटक होना गलती नहीं है।
Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times D\subset B\times D\). Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
Step 3
Exam Tip
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें।
A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\)/\(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\)
Step 1
Concept
In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\) / \(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\). In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में (6) पहले और (9) दूसरे स्थान पर है। \(B\times A\) में क्रम उल्टा हो जाता है।
Each ordered pair can be treated as a point and there are \(3\times 2=6\) pairs. Use the same counting rule in coordinate questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6). Each ordered pair can be treated as a point and there are \(3\times 2=6\) pairs. Use the same counting rule in coordinate questions.
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म एक बिंदु जैसा माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक प्रश्नों में भी वही गिनती नियम प्रयोग करें।
There are (3) breakfast options and (2) drink options, so \(3\times 2=6\) combinations are formed. Real-life choices can be counted using Cartesian product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (6). There are (3) breakfast options and (2) drink options, so \(3\times 2=6\) combinations are formed. Real-life choices can be counted using Cartesian product.
Step 3
Exam Tip
नाश्ते के (3) और पेय के (2) विकल्प हैं, इसलिए \(3\times 2=6\) संयोजन बनेंगे। वास्तविक जीवन के चुनाव कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं।
The first component (2) is fixed and the second component is (7) or (8) from (B). With a fixed first component, all elements of the second set are used.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,7),(2,8)}). The first component (2) is fixed and the second component is (7) or (8) from (B). With a fixed first component, all elements of the second set are used.
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (2) निश्चित है और दूसरा घटक (B) से (7) या (8) होगा। निश्चित पहले घटक के साथ दूसरे समुच्चय के सभी तत्व लगते हैं।
The second component (5) is fixed and the first component is (6) or (8) from (A). In such questions, do not change the position of the fixed component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(6,5),(8,5)}). The second component (5) is fixed and the first component is (6) or (8) from (A). In such questions, do not change the position of the fixed component.
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (5) स्थिर है और पहला घटक (A) से (6) या (8) होगा। ऐसे प्रश्नों में तय घटक की जगह न बदलें।
Elements of Cartesian product are always ordered pairs. Therefore, a form like ((x,y)) is necessary in the answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्रमित युग्म / Ordered pairs. Elements of Cartesian product are always ordered pairs. Therefore, a form like ((x,y)) is necessary in the answer.
Step 3
Exam Tip
कार्तीय गुणन के तत्व हमेशा क्रमित युग्म होते हैं। इसलिए उत्तर में ((x,y)) जैसा रूप जरूरी है।
A. क्योंकि \(3\in A\) और \(4\in B\)/Because \(3\in A\) and \(4\in B\)
Step 1
Concept
In ((3,4)), the first component is from (A) and the second is from (B). This is the membership condition for \(A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(3\in A\) और \(4\in B\) / Because \(3\in A\) and \(4\in B\). In ((3,4)), the first component is from (A) and the second is from (B). This is the membership condition for \(A\times B\).
Step 3
Exam Tip
((3,4)) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से है। यही \(A\times B\) की सदस्यता की शर्त है।
The equal-component pairs are ((2,2),(4,4),(6,6)). Do not count all (9) pairs, count only the pairs satisfying the condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). The equal-component pairs are ((2,2),(4,4),(6,6)). Do not count all (9) pairs, count only the pairs satisfying the condition.
Step 3
Exam Tip
समान घटक वाले युग्म ((2,2),(4,4),(6,6)) हैं। पूरी संख्या (9) नहीं, केवल शर्त वाले युग्म गिनें।
In ((-1,3)), the first component \(-1\in A\) and the second \(3\in B\). A negative number is checked like any ordinary element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-1,3)). In ((-1,3)), the first component \(-1\in A\) and the second \(3\in B\). A negative number is checked like any ordinary element.
Step 3
Exam Tip
((-1,3)) में पहला घटक \(-1\in A\) और दूसरा \(3\in B\) है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह जांची जाती है।
The first component (night) is from (A) and the second component (winter\() is from (B). Therefore, it is an element of (A\times B).\)
Step 2
Why this answer is correct
\(The correct answer is A. (A\times B). The first component (\)night) is from (A) and the second component (winter\() is from (B). Therefore, it is an element of (A\times B).\)
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (रात) (A) से और दूसरा घटक (सर्दी) (B) से है। \(इसलिए यह (A\times B) का तत्व है\)।
The second component (7) is fixed and the first component comes from (2) or (5) in (A). With a second-component condition, the first position changes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,7),(5,7)}). The second component (7) is fixed and the first component comes from (2) or (5) in (A). With a second-component condition, the first position changes.
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (7) तय है और पहला घटक (A) के (2) या (5) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला स्थान बदलता है।
Elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. Do not treat Cartesian product as ordinary union.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(9,0),(10,0)}\). Elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. Do not treat Cartesian product as ordinary union.
Step 3
Exam Tip
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। कार्तीय गुणन को साधारण समुच्चय संघ न मानें।
The largest element of (A) is (6), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). The largest element of (A) is (6), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
Step 3
Exam Tip
(A) का सबसे बड़ा तत्व (6) है और यह (B) के (3) तत्वों से युग्म बनाएगा। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) है।
The smallest element of (B) is (4), and the first component can come from the (3) elements of (A). For a fixed second component, the answer is (n(A)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). The smallest element of (B) is (4), and the first component can come from the (3) elements of (A). For a fixed second component, the answer is (n(A)).
Step 3
Exam Tip
(B) का सबसे छोटा तत्व (4) है और पहला घटक (A) के (3) तत्वों से आ सकता है। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है।
The first component is always even and the second is always odd, so every sum is odd. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4). The first component is always even and the second is always odd, so every sum is odd. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
Step 3
Exam Tip
पहला घटक हमेशा सम और दूसरा हमेशा विषम है, इसलिए हर योग विषम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं।
The pairs are ((2,6)) and ((5,6)), whose products are greater than (10). In condition-based questions, quickly check all possible pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The pairs are ((2,6)) and ((5,6)), whose products are greater than (10). In condition-based questions, quickly check all possible pairs.
Step 3
Exam Tip
ऐसे युग्म ((2,6)) और ((5,6)) हैं जिनका गुणनफल (10) से अधिक है। शर्त वाले प्रश्नों में सभी संभव युग्मों को जल्दी जांचें।
