Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). While listing, pair each first-set element with every element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,5),(2,6),(3,5),(3,6)}). In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). While listing, pair each first-set element with every element of (B).
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सूची बनाते समय हर पहले तत्व को (B) के हर तत्व से मिलाएं।
The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(7,2),(7,4),(7,6)}). The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
Step 3
Exam Tip
(A) का एकमात्र तत्व (7) पहले स्थान पर रहेगा। दूसरे स्थान पर (B) के सभी तत्व क्रम से आएंगे।
In ((3,1)), the first component is (3), but \(3\notin X\). Check the first and second positions separately for membership.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((3,1)). In ((3,1)), the first component is (3), but \(3\notin X\). Check the first and second positions separately for membership.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) में पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin X\)। सदस्यता जांचते समय पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग देखें।
In \(A\times B\), the first component always comes from the first set (A). This is the basic identity of Cartesian product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A). In \(A\times B\), the first component always comes from the first set (A). This is the basic identity of Cartesian product.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में पहला घटक हमेशा पहले समुच्चय (A) से होता है। यही कार्तीय गुणन की मूल पहचान है।
There is no element in (S) for the second component, so no pair is formed. Product with an empty set gives the empty set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\varnothing\). There is no element in (S) for the second component, so no pair is formed. Product with an empty set gives the empty set.
Step 3
Exam Tip
दूसरे घटक के लिए (S) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ गुणन हमेशा खाली देता है।
In \(B\times A\), the first component is (c) from (B), and the second is (a) or (b) from (A). Reversed order gives a different answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(c,a),(c,b)}). In \(B\times A\), the first component is (c) from (B), and the second is (a) or (b) from (A). Reversed order gives a different answer.
Step 3
Exam Tip
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (c) और दूसरा घटक (A) से (a) या (b) होगा। उल्टा क्रम अलग उत्तर देता है।
By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). Do not change the order of components in set-builder form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({(x,y):x\in A,\ y\in B}\). By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). Do not change the order of components in set-builder form.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में भी घटकों का क्रम न बदलें।
A. (A=B) और \(A\times B=A\times A\)/(A=B) and \(A\times B=A\times A\)
Step 1
Concept
Order of elements in a set is not important, so (A=B). Therefore, \(A\times B=A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B) और \(A\times B=A\times A\) / (A=B) and \(A\times B=A\times A\). Order of elements in a set is not important, so (A=B). Therefore, \(A\times B=A\times A\).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। इसी कारण \(A\times B=A\times A\) होगा।
In ((4,3)), \(4\in A\) and \(3\in B\), so it is correct. Having the elements present is not enough; their positions must be correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((4,3)). In ((4,3)), \(4\in A\) and \(3\in B\), so it is correct. Having the elements present is not enough; their positions must be correct.
Step 3
Exam Tip
((4,3)) में \(4\in A\) और \(3\in B\), इसलिए यह सही है। केवल तत्व मौजूद होना काफी नहीं, सही स्थान भी जरूरी है।
Both components of ((2,1)) are from (A), so it is in \(A\times A\). In \(A\times A\), both positions use elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((2,1)). Both components of ((2,1)) are from (A), so it is in \(A\times A\). In \(A\times A\), both positions use elements of (A).
Step 3
Exam Tip
((2,1)) के दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में है। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं।
If (B) is not empty and the product is still empty, then (A) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A=\varnothing\). If (B) is not empty and the product is still empty, then (A) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
Step 3
Exam Tip
यदि (B) खाली नहीं है और गुणन फिर भी खाली है, तो (A) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है।
The first component (3) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). The number of such pairs is (n(B)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The first component (3) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). The number of such pairs is (n(B)).
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (3) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। ऐसे युग्मों की संख्या (n(B)) होती है।
The second component (3) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). In such questions, keep the fixed component separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The second component (3) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). In such questions, keep the fixed component separate.
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (3) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। ऐसे प्रश्नों में निश्चित घटक को अलग रखें।
A. दोनों की संख्या बराबर है पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have equal count but the order of pairs is different
Step 1
Concept
Both have \(2\times 2=4\) pairs, but the order of components differs. Equal count does not mean the sets are necessarily equal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों की संख्या बराबर है पर युग्मों का क्रम अलग है / Both have equal count but the order of pairs is different. Both have \(2\times 2=4\) pairs, but the order of components differs. Equal count does not mean the sets are necessarily equal.
Step 3
Exam Tip
दोनों में \(2\times 2=4\) युग्म होंगे, पर घटकों का क्रम अलग होगा। संख्या बराबर होने से समुच्चय समान होना जरूरी नहीं है।
A. ((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) और (q=s)/((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) and (q=s)
Step 1
Concept
In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. This rule is very useful in variable-based questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) और (q=s) / ((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) and (q=s). In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. This rule is very useful in variable-based questions.
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों की समानता में समान स्थानों के घटक बराबर होते हैं। यह नियम चर वाले प्रश्नों में सबसे उपयोगी है।
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(2\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(2\in B\)
Step 1
Concept
((2,2)) is correct because the first (2) is in (A) and the second (2) is in (B). Components may be equal as long as membership is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(2\in B\) / Yes, because \(2\in A\) and \(2\in B\). ((2,2)) is correct because the first (2) is in (A) and the second (2) is in (B). Components may be equal as long as membership is correct.
Step 3
Exam Tip
((2,2)) सही है क्योंकि पहला (2) (A) में और दूसरा (2) (B) में है। घटक समान हो सकते हैं, बस उनकी सदस्यता सही होनी चाहिए।
Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(C\times A\subset C\times B\). Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
Step 3
Exam Tip
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें।
A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\)/\(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\)
Step 1
Concept
In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\) / \(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\). In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
Step 3
Exam Tip
पहले गुणन में (1) पहले स्थान पर है और दूसरे में (2) पहले स्थान पर है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है।
Each ordered pair can be treated like a point, and there are \(3\times 2=6\) pairs. The same multiplication rule applies in coordinate questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (6). Each ordered pair can be treated like a point, and there are \(3\times 2=6\) pairs. The same multiplication rule applies in coordinate questions.
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म एक बिंदु की तरह माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक वाले प्रश्नों में भी वही गुणा नियम लागू होता है।
There are (2) colors and (3) sizes, so \(2\times 3=6\) choices are formed. Real-life combinations are counted using Cartesian product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (6). There are (2) colors and (3) sizes, so \(2\times 3=6\) choices are formed. Real-life combinations are counted using Cartesian product.
Step 3
Exam Tip
रंगों की संख्या (2) और आकारों की संख्या (3) है, इसलिए \(2\times 3=6\) चुनाव बनेंगे। वास्तविक जीवन के संयोजन कार्तीय गुणन से गिने जाते हैं।
The first component (3) is fixed, and the second component is (4) or (5) from (B). With a fixed first component, only elements of the second set vary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(3,4),(3,5)}). The first component (3) is fixed, and the second component is (4) or (5) from (B). With a fixed first component, only elements of the second set vary.
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (3) स्थिर है और दूसरा घटक (B) से (4) या (5) होगा। निश्चित पहले घटक पर केवल दूसरे समुच्चय के तत्व बदलते हैं।
The second component (2) is fixed, and the first component is (5) or (7) from (A). In such pairs, only the first position changes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(5,2),(7,2)}). The second component (2) is fixed, and the first component is (5) or (7) from (A). In such pairs, only the first position changes.
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (2) स्थिर है और पहला घटक (A) से (5) या (7) होगा। ऐसे युग्मों में पहला स्थान ही बदलता है।
\(A\times B\) has \(2\times 2=4\) elements, and they are ordered pairs. Do not forget the pair form in the answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4) क्रमित युग्म / (4) ordered pairs. \(A\times B\) has \(2\times 2=4\) elements, and they are ordered pairs. Do not forget the pair form in the answer.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में \(2\times 2=4\) तत्व होंगे और वे क्रमित युग्म होंगे। उत्तर में युग्मों का रूप न भूलें।
A. क्योंकि \(2\in A\) और \(4\in B\)/Because \(2\in A\) and \(4\in B\)
Step 1
Concept
In ((2,4)), the first component (2) is from (A) and the second component (4) is from (B). This is the correct membership check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(2\in A\) और \(4\in B\) / Because \(2\in A\) and \(4\in B\). In ((2,4)), the first component (2) is from (A) and the second component (4) is from (B). This is the correct membership check.
Step 3
Exam Tip
((2,4)) में पहला घटक (2) (A) से और दूसरा घटक (4) (B) से है। यही सदस्यता की सही जांच है।
The equal-component pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)). In such questions, do not count all (9) pairs; count only the required condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). The equal-component pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)). In such questions, do not count all (9) pairs; count only the required condition.
Step 3
Exam Tip
समान घटक वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। ऐसे प्रश्न में पूरी संख्या (9) नहीं, केवल मांगी गई शर्त गिनें।
Elements of (A) come in the first position and (1) from (B) comes in the second position. A negative element is used like any ordinary element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(-2,1),(0,1)}). Elements of (A) come in the first position and (1) from (B) comes in the second position. A negative element is used like any ordinary element.
Step 3
Exam Tip
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (1) दूसरे स्थान पर आएगा। ऋणात्मक तत्व भी सामान्य तत्व की तरह प्रयोग होता है।
The first component (Mon) is from (A) and the second component (evening\() is from (B). Therefore, the pair belongs to (A\times B).\)
Step 2
Why this answer is correct
\(The correct answer is A. (A\times B). The first component (\)Mon) is from (A) and the second component (evening\() is from (B). Therefore, the pair belongs to (A\times B).\)
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (सोम) (A) से और दूसरा घटक (शाम) (B) से है। \(इसलिए युग्म (A\times B) में आता है\)।
The second component (4) is fixed and the first component comes from (1) or (2) in (A). With a second-component condition, the first set varies.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,4),(2,4)}). The second component (4) is fixed and the first component comes from (1) or (2) in (A). With a second-component condition, the first set varies.
Step 3
Exam Tip
दूसरा घटक (4) तय है और पहला घटक (A) के (1) या (2) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला समुच्चय बदलता है।
The first component is (3) or (4) from (A), and the second component is (5) from (B). Do not confuse Cartesian product with union.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(3,5),(4,5)}\). The first component is (3) or (4) from (A), and the second component is (5) from (B). Do not confuse Cartesian product with union.
Step 3
Exam Tip
पहला घटक (A) से (3) या (4) और दूसरा घटक (B) से (5) होगा। कार्तीय गुणन को संघ न समझें।
The smallest element of (A) is (1), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). The smallest element of (A) is (1), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
Step 3
Exam Tip
(A) का सबसे छोटा तत्व (1) है और उसके साथ (B) के (3) तत्व जुड़ेंगे। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) होता है।
The largest element of (B) is (2), and the (3) elements of (A) can be first components with it. For a fixed second component, the answer is (n(A)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). The largest element of (B) is (2), and the (3) elements of (A) can be first components with it. For a fixed second component, the answer is (n(A)).
Step 3
Exam Tip
(B) का सबसे बड़ा तत्व (2) है और उसके साथ (A) के (3) तत्व पहले घटक बन सकते हैं। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है।
The pairs are ((1,3)) and ((2,2)), and both have sum (4). In condition-based questions, first think of all possible pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). The pairs are ((1,3)) and ((2,2)), and both have sum (4). In condition-based questions, first think of all possible pairs.
Step 3
Exam Tip
ऐसे युग्म ((1,3)) और ((2,2)) हैं, दोनों का योग (4) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले सभी संभव युग्म सोचें।
The pairs are ((1,2)) and ((2,3)), where the difference between the second and first component is (1). In condition-based questions, first list possible pairs and then check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2) युग्म / (2) pairs. The pairs are ((1,2)) and ((2,3)), where the difference between the second and first component is (1). In condition-based questions, first list possible pairs and then check.
Step 3
Exam Tip
ऐसे युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनमें दूसरे घटक और पहले घटक का अंतर (1) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले संभव युग्म बनाकर जांचें।
