Level 41 • 50/50 questions • 35 seconds per question.
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What is the solution of the inequality (3x+5>14)?
A. (x>3)
(3x>9) से (x>3) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना सुरक्षित रहता है। / From (3x>9), we get (x>3). In exams, subtracting the same number from both sides keeps the sign unchanged.
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Choose the solution set of the inequality \(2x-7\leq 9\).
A. \(x\leq 8\)
असमानता \(2x-7\leq 9\) में दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(2x\leq 16\) मिलता है। अब 2 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=8\) भी हल का भाग है। परीक्षा में याद रखें: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Adding 7 to both sides of \(2x-7\leq 9\) gives \(2x\leq 16\). Dividing by 2 yields \(x\leq 8\), so option A is correct. Option C is incorrect because the boundary value \(x=8\) is included. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
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If (-4x < 20), what is the correct solution?
A. x > -5
दोनों पक्षों को (-4) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि (-4) ऋणात्मक है। इसलिए (x > -5) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by (-4) reverses the inequality sign because (-4) is negative. Thus, (x > -5) is obtained. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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How will the interval ((2,7]) be written as an inequality?
A. \(2<x\leq 7\)
((2,7]) में (2) शामिल नहीं और (7) शामिल है। खुले और बंद कोष्ठक को ध्यान से पहचानें। / In ((2,7]), (2) is not included and (7) is included. Identify open and closed brackets carefully.
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What is the solution set of the inequality \(x-4\geq 6\)?
A. \([10,\infty)\)
दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\geq 10\) प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय \([10,\infty)\) है। \(\geq\) चिह्न के कारण 10 हल में शामिल है, इसलिए 10 पर वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है। परीक्षा में याद रखें: \(\geq\) और \(\leq\) के साथ सीमा-बिंदु शामिल होता है। / Adding 4 to both sides gives \(x\geq 10\). Therefore, the solution set is \([10,\infty)\). Since the inequality is \(\geq\), the endpoint 10 is included, so a square bracket is used. Exam tip: \(\geq\) and \(\leq\) include the boundary point.
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Solve the inequality \(5-2x\geq 1\).
A. \(x\leq 2\)
\(-2x\geq -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\leq 2\) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में चिन्ह पलटना सबसे महत्वपूर्ण है। / \(-2x\geq -4\), and dividing by a negative gives \(x\leq 2\). Reversing the sign is the key step here.
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Which value is not a solution of (2x+1<9)?
A. (x=4)
असमानता से (x<4) मिलता है, इसलिए (x=4) शामिल नहीं है। कठोर असमानता में सीमा मान हल नहीं होता। / The inequality gives (x<4), so (x=4) is not included. In a strict inequality, the boundary value is not a solution.
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If \(x\in\mathbb{N}\) and (x<5), what is the solution set?
A. ({1,2,3,4})
\(\mathbb{N}\) में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) लिए जाते हैं। इसलिए (5) से छोटे प्राकृतिक मान ({1,2,3,4}) हैं। / Usually, \(\mathbb{N}\) means \(1,2,3,\ldots\). Thus the natural numbers less than (5) are ({1,2,3,4}).
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What is the solution set of the inequality \(7x+3\geq 3x+15\)?
A. \(x\geq 3\)
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(4x+3\geq 15\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\geq 12\), और 4 से भाग देने पर \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। क्योंकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting \(3x\) from both sides gives \(4x+3\geq 15\). Subtracting 3 and then dividing by the positive number 4 gives \(x\geq 3\). The inequality sign therefore remains unchanged. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(\frac{x}{3}+2<5\)?
A. \(x<9\)
पहले दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(x<9\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 yields \(x<9\), so option A is correct. The inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\), what is the least integer value of \\(x\\)?
A. 9
असमानता \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, क्योंकि 2 धनात्मक है, असमानता का चिन्ह नहीं बदलेगा: \\(x-1\geq 8\\)। अतः \\(x\geq 9\\), इसलिए न्यूनतम पूर्णांक मान 9 है। 8 सही नहीं है, क्योंकि रखने पर \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है। / In \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\), multiplying both sides by 2 preserves the inequality because 2 is positive: \\(x-1\geq 8\\). Hence, \\(x\geq 9\\), so the least integer value is 9. The close distractor 8 is incorrect because \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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Which inequality has the solution (\(-\infty,6\))?
A. (x<6)
(\(-\infty,6\)) का अर्थ (6) से छोटे सभी वास्तविक मान हैं। (6) शामिल नहीं है, इसलिए (x<6) सही है। / (\(-\infty,6\)) means all real values less than (6). Since (6) is not included, (x<6) is correct.
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What is the solution of the compound inequality \(1<2x+3\leq 11\)?
A. \(-1<x\leq 4\)
सभी भागों से (3) घटाने पर \(-2<2x\leq 8\), इसलिए \(-1<x\leq 4\)। संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएं साथ संभालें। / Subtracting (3) from all parts gives \(-2<2x\leq 8\), so \(-1<x\leq 4\). Handle both bounds together in compound inequalities.
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Solve the inequality \(-3\leq x+2<8\).
A. \(-5\leq x<6\)
सभी भागों से (2) घटाने पर \(-5\leq x<6\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह उसी तरफ बना रहता है। / Subtracting (2) from all parts gives \(-5\leq x<6\). The equality sign remains on the same boundary.
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Which interval represents the inequality \(x\geq -2\)?
A. \([-2,\infty)\)
\(x\geq -2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। इसलिए \(-2\) शामिल होगा, जिसके लिए वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है, और सभी मान दाईं ओर अनंत तक जाते हैं। अतः सही अंतराल \([-2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है, जबकि \(>\) या \(<\) होने पर नहीं। / The inequality \(x\geq -2\) means that \(x\) can be equal to \(-2\) or any greater value. Thus, \(-2\) is included, so a square bracket is used, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([-2,\infty)\). Exam tip: Use a bracket when the endpoint is included, as with \(\geq\) or \(\leq\); use a parenthesis when it is excluded.
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What is the solution of the inequality \(4x-5<2x+7\)?
A. \(x<6\)
\(4x-5<2x+7\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x-5<7\) मिलता है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x<12\), और 2 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल चिह्न '<' है, इसलिए 6 इसमें शामिल नहीं है; अतः \(x\leq 6\) गलत है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(4x-5<2x+7\), subtract \(2x\) from both sides to get \(2x-5<7\). Adding 5 gives \(2x<12\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<6\). Since the original sign is '<', the endpoint 6 is not included, so \(x\leq 6\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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If x is a real number, what type of statement is x² ≥ 0?
A. हमेशा सत्यAlways true
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग सदैव शून्य या धनात्मक होता है। इसलिए x² ≥ 0 सभी वास्तविक x के लिए सत्य है; x = 0 पर x² = 0 और x ≠ 0 पर x² > 0 होता है। अतः विकल्प C और D गलत हैं, क्योंकि यह कथन धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों संख्याओं के लिए, साथ ही शून्य के लिए भी सत्य है। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्ग के चिह्न पर आधारित असमानता में x = 0 को अवश्य जाँचें। / The square of every real number is zero or positive. Therefore, x² ≥ 0 is true for every real x: x² = 0 when x = 0 and x² > 0 when x ≠ 0. Options C and D are incorrect because the statement is also true for negative and positive values, as well as for zero. Exam tip: When evaluating an inequality involving a square, always check the case x = 0.
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Which symbol represents a strict inequality?
A.
(<) और (>) कठोर असमानताएं हैं क्योंकि बराबरी शामिल नहीं होती। \(\leq\) और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। / (<) and (>) are strict inequalities because equality is not included. \(\leq\) and \(\geq\) include equality.
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What is the greatest integer solution of the inequality \\(6x+1\leq 2x+17\\)?
A. 4
असमानता को हल करने पर \(6x+1\leq 2x+17\) से \(4x\leq 16\), अतः \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए सभी पूर्णांक हल 4 या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि 5 रखने पर \(31\leq 27\) असत्य हो जाता है। परीक्षा में असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटने का ध्यान रखें। / Solving the inequality, \(6x+1\leq 2x+17\) gives \(4x\leq 16\), so \(x\leq 4\). Thus, all integer solutions are 4 or less, and the greatest integer solution is 4. Option 5 is incorrect because substituting it gives \(31\leq 27\), which is false. In exams, remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(3(x-2)>12\)?
A. \(x>6\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x-2>4\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में \(2\) जोड़ने पर \(x>6\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में \(3\) से भाग देने के बाद \(2\) जोड़ना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing both sides by the positive number \(3\) gives \(x-2>4\). Adding \(2\) to both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from forgetting to add \(2\) after division by \(3\). Exam tip: Dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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Choose the solution set of the inequality \\(2(3x+1)\geq 4x+10\\).
A. \\(x\geq 4\\)
कोष्ठक खोलने पर \\(6x+2\geq 4x+10\\) मिलता है। दोनों पक्षों से \\(4x\\) घटाने पर \\(2x+2\geq 10\\), अर्थात \\(2x\geq 8\\)। 2 से भाग देने पर \\(x\geq 4\\) प्राप्त होता है, क्योंकि 2 धनात्मक है; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \\(6x+2\geq 4x+10\\). Subtracting \\(4x\\) from both sides yields \\(2x+2\geq 10\\), so \\(2x\geq 8\\). Dividing by the positive number 2 gives \\(x\geq 4\\); therefore, the inequality sign does not reverse. Hence, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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In which situation does the inequality sign reverse?
A. दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने परWhen both sides are multiplied by a negative number
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता की दिशा बदलती है। यह रैखिक असमानताओं में सबसे सामान्य गलती है। / Multiplying or dividing by a negative number reverses the inequality direction. This is the most common mistake in linear inequalities.
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If �(a>b�) and �(c<0�), which of the following conclusions is correct?
A. (ac<bc�)
क्योंकि �(c<0�), इसलिए �(a>b�) को �(c�) से गुणा करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और �(ac<bc�) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि किसी संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता; अतः �(a+c>b+c�) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिह्न अवश्य उलटें। / Since �(c<0�), multiplying �(a>b�) by �(c�) reverses the inequality sign, giving �(ac<bc�). Option D is incorrect because adding the same number to both sides does not reverse the inequality; it should give �(a+c>b+c�). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which of the following values satisfies the inequality \(-2 < x \leq 3\)?
A. \(x = 3\)
असमानता \(-2 < x \leq 3\) में \(x\), \(-2\) से बड़ा और \(3\) से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए \(x=3\) सही है, क्योंकि 3 शामिल है। \(x=-2\) सही नहीं है, क्योंकि \(-2\) पर सख्त असमानता है; जबकि 4 और \(-3\) सीमा से बाहर हैं। परीक्षा-युक्ति: \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता, जबकि \(\leq\) या \(\geq\) में शामिल होता है। / In the inequality \(-2 < x \leq 3\), \(x\) must be greater than \(-2\) and less than or equal to 3. Thus, \(x=3\) is correct because 3 is included. \(x=-2\) is not allowed due to the strict inequality, while 4 and \(-3\) lie outside the interval. Exam tip: A strict sign \(<\) or \(>\) excludes the boundary, whereas \(\leq\) or \(\geq\) includes it.
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What is the solution of the inequality \\(9-3x<0\\)?
A. \\(x>3\\)
पहले, \\(9-3x<0\\) से \\(-3x<-9\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x>3\\) मिलता है। विकल्प B में चिन्ह न उलटने की गलती है, जबकि बराबरी वाले विकल्पों में \\(x=3\\) को शामिल किया गया है, पर वह मूल असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From \\(9-3x<0\\), we get \\(-3x<-9\\). Dividing both sides by \\(-3\\) reverses the inequality sign, giving \\(x>3\\). Option B results from forgetting this sign reversal, while the options with equality incorrectly include \\(x=3\\), which does not satisfy the original strict inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
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Which interval correctly represents (x<-1)?
A. (\(-\infty,-1\))
(x<-1) में (-1) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं। इसलिए खुला कोष्ठक सही है। / In (x<-1), (-1) is not included and all smaller values are included. Hence the open bracket is correct.
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If \(2x+3>11\) and \(x\in\mathbb{Z}\), what is the smallest integer solution?
A. 5
असमानता \(2x+3>11\) में दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>8\) और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 स्वयं हल नहीं है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Subtracting 3 from both sides of \(2x+3>11\) gives \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Since \(x\) is an integer, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: For a strict inequality \(>\), the boundary value is excluded.
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How is the statement (x) is less than or equal to (4) written?
A. \(x\leq 4\)
कम या बराबर के लिए \(\leq\) चिह्न प्रयोग होता है। शब्दों को गणितीय चिह्नों में बदलना परीक्षा में जरूरी कौशल है। / The symbol \(\leq\) is used for less than or equal to. Translating words into mathematical symbols is an important exam skill.
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Which number line representation shows (x>2)?
A. (2) पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायाOpen circle at (2) and shading to the right
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और उससे बड़े मान चाहिए। इसलिए खुला वृत्त और दाईं ओर छाया सही है। / In (x>2), (2) is not included and greater values are needed. So an open circle and right-side shading are correct.
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Which is the solution of \(8\leq 2x+4\)?
A. \(x\geq 2\)
\(4\leq 2x\) से \(2\leq x\), अर्थात \(x\geq 2\)। असमानता को पढ़ते समय दिशा का ध्यान रखें। / From \(4\leq 2x\), we get \(2\leq x\), that is \(x\geq 2\). Pay attention to direction while reading inequalities.
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Solve the inequality \(\frac{2x+1}{5}\leq 3\).
A. \(x\leq 7\)
धनात्मक (5) से गुणा करने पर \(2x+1\leq 15\), इसलिए \(x\leq 7\)। धनात्मक हर होने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives \(2x+1\leq 15\), so \(x\leq 7\). A positive denominator does not reverse the sign.
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If \(-1\leq x<4\), what is the correct interval form?
A. ([-1,4))
(-1) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (4) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल लिखते समय दोनों सिरों को अलग जांचें। / (-1) is included, so use a square bracket; (4) is not included, so use a round bracket. Check both endpoints separately while writing intervals.
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Which of the following values satisfies the inequality \(x\leq 0\)?
A. \(x=-3\)
असमिका \(x\leq 0\) का अर्थ है कि \(x\) का मान शून्य या शून्य से छोटा होना चाहिए। \(x=-3\) के लिए \(-3\leq 0\) सत्य है, इसलिए विकल्प A सही है। अन्य सभी विकल्पों में \(x\) का मान धनात्मक है, अतः वे असमिका को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) चिह्न में बराबरी भी शामिल होती है। / The inequality \(x\leq 0\) means that \(x\) must be zero or a negative number. For \(x=-3\), the statement \(-3\leq 0\) is true, so option A is correct. All the other options have positive values of \(x\), so they do not satisfy the inequality. Exam tip: The symbol \(\leq\) includes equality as well as less-than values.
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What is the solution of the inequality \(10<3x+1\)?
A. \(x>3\)
दोनों पक्षों में 1 घटाने पर \(9<3x\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर, क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(3<x\), अर्थात् \(x>3\), प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \(9<3x\). Dividing by 3, which is positive, does not reverse the inequality sign, so we obtain \(3<x\), equivalent to \(x>3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
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If \(x+5<12\) and \(0\leq x\), which integer values of \(x\) are possible?
A. \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)
असमानता \(x+5<12\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। साथ ही \(0\leq x\) है, इसलिए \(x\) के पूर्णांक मान 0 से 6 तक होंगे: \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)। 7 शामिल नहीं है, क्योंकि \(7<7\) असत्य है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 5 from both sides of \(x+5<12\) gives \(x<7\). Together with \(0\leq x\), the possible integer values of \(x\) are \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). The value 7 is excluded because \(7<7\) is false. Exam tip: In a strict inequality such as \(<\), the boundary value is not included.
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Which statement about \(x\geq 5\) is correct?
A. (5) हल में शामिल है(5) is included in the solution
\(\geq\) का अर्थ बड़ा या बराबर होता है, इसलिए (5) शामिल है। संख्या रेखा पर (5) पर बंद वृत्त बनेगा। / \(\geq\) means greater than or equal to, so (5) is included. On the number line, use a closed circle at (5).
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Choose the solution set of the inequality \\(3x-2>x+8\\).
A. \\(x>5\\)
दोनों पक्षों से \\(x\\) घटाने पर \\(2x-2>8\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \\(2x>10\\), और 2 से भाग देने पर \\(x>5\\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \\(x=5\\) शामिल नहीं है; अतः \\(x\\geq5\\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting \\(x\\) from both sides gives \\(2x-2>8\\). Adding 2 to both sides gives \\(2x>10\\), and dividing by 2 yields \\(x>5\\). Since the original inequality is strict, \\(x=5\\) is not included; therefore, \\(x\\geq5\\) is incorrect. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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If x is a real number and x<0, which statement about -x is true?
A. \(-x>0\)
x<0 का अर्थ है कि x ऋणात्मक है। किसी ऋणात्मक संख्या का विपरीत धनात्मक होता है, इसलिए -x>0 होगा। विकल्प B में चिह्न नहीं बदलने की गलती है, जबकि विकल्प D में शून्य को संभव मान लिया गया है; x=0 यहाँ दिया ही नहीं गया है। परीक्षा टिप: असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The condition x<0 means that x is negative. The additive inverse of a negative number is positive, so -x>0. Option B incorrectly keeps the same sign, while option D includes zero even though x=0 is excluded. Exam tip: When an inequality is multiplied by -1, its inequality sign reverses.
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What is the boundary value in the inequality \(2x+5\leq x+9\)?
A. (4)
सीमा मान बराबरी लगाकर मिलता है: (2x+5=x+9), इसलिए (x=4)। सीमा मान से खुला या बंद सिरा तय होता है। / The boundary value is found by using equality: (2x+5=x+9), so (x=4). The boundary value decides the open or closed endpoint.
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Which inequality has the solution set \(x\leq -3\)?
A. \(x+3\leq 0\)
विकल्प A में \(x+3\leq 0\) से दोनों पक्षों में 3 घटाने पर \(x\leq -3\) प्राप्त होता है। विकल्प B का हल \(x\leq 3\), विकल्प C का हल \(x\geq -3\), और विकल्प D का हल \(x\geq 3\) है। परीक्षा में स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाते समय उसके चिह्न का ध्यान रखें। / For option A, subtracting 3 from both sides of \(x+3\leq 0\) gives \(x\leq -3\). Option B gives \(x\leq 3\), option C gives \(x\geq -3\), and option D gives \(x\geq 3\). In an exam, carefully track the sign when moving a constant to the other side.
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If \(5x\leq -20\), what is the correct solution?
A. \(x\leq -4\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से विभाजित करने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \(x\leq -4\) है। विकल्प B में चिन्ह अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलटता है। / Dividing both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality sign: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\). Therefore, \(x\leq -4\) is correct. In option B, the sign has been reversed unnecessarily. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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Solve the inequality \\(-5x \geq 15\\).
A. \\(x \leq -3\\)
दोनों पक्षों को \\(-5\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \\(-5\\) ऋणात्मक संख्या है: \\(x \leq -3\\)। विकल्प B में चिन्ह को उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by \\(-5\\) reverses the inequality sign because \\(-5\\) is negative: \\(x \leq -3\\)。 Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which of the following is the interval notation for the set \(\{x:x>1\}\)?
A. \((1,\infty)\)
असमानता \(x>1\) में \(x\), 1 से बड़े सभी मान लेता है, लेकिन 1 स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए 1 पर खुला कोष्ठक और अनंत पर हमेशा खुला कोष्ठक लगाया जाता है, जिससे \((1,\infty)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 1 शामिल है, इसलिए वह \(x\geq1\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) के लिए खुला कोष्ठक और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद कोष्ठक प्रयोग करें। / The inequality \(x>1\) includes all real numbers greater than 1 but excludes 1 itself. Therefore, an open parenthesis is used at 1; infinity always takes an open parenthesis, giving \((1,\infty)\). Option B includes 1 and represents \(x\geq1\), so it is incorrect. Exam tip: use open parentheses for \(>\) or \(<\), and closed parentheses for \(\geq\) or \(\leq\).
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If \(2\leq x\leq 6\), which of the following is a solution?
A. (x=6)
दोनों सीमाओं में बराबरी है, इसलिए (2) और (6) शामिल हैं। दिए गए विकल्पों में (x=6) सही है। / Both boundaries include equality, so (2) and (6) are included. Among the options, (x=6) is correct.
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What is the solution of \(4-\frac{x}{2}>1\)?
A. (x<6)
\(-\frac{x}{2}>-3\) और ऋणात्मक गुणक हटाने पर (x<6) मिलता है। चिन्ह बदलने की स्थिति पहचानें। / \(-\frac{x}{2}>-3\), and removing the negative factor gives (x<6). Identify when the sign must be reversed.
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A number increased by (3) is greater than (10). What is the correct inequality?
A. (x+3>10)
वाक्य में (3) जोड़ना (x+3) और बड़ा है (>) को दर्शाता है। शब्द आधारित प्रश्नों में पहले चर तय करें। / Increasing by (3) means (x+3), and greater than means (>). In word problems, define the variable first.
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What is the solution of \(7\leq x+4<12\)?
A. \(3\leq x<8\)
सभी भागों से (4) घटाने पर \(3\leq x<8\) मिलता है। संयुक्त असमानता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (4) from all parts gives \(3\leq x<8\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
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If \(x\in\mathbb{R}\) and \(x\geq 0\), which interval represents the solution set?
A. \([0,\infty)\)
असमानता \(x\geq 0\) में \(0\) शामिल है, इसलिए \(0\) पर कोष्ठक के बजाय वर्ग कोष्ठक लगाया जाता है। इसके बाद सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ आती हैं, इसलिए हल समुच्चय \([0,\infty)\) है। विकल्प B में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु को interval notation में शामिल करें। / The inequality \(x\geq 0\) includes \(0\), so a square bracket is used at the endpoint. It also includes every positive real number, giving the solution set \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes \(0\). Exam tip: use a square bracket for an endpoint included by \(\geq\) or \(\leq\).
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A. \(27+m\geq 40\)
कम से कम का अर्थ \(\geq\) होता है, इसलिए \(27+m\geq 40\) सही है। शब्द प्रश्नों में पहले मुख्य शब्द का गणितीय चिह्न पहचानें। / At least means \(\geq\), so \(27+m\geq 40\) is correct. In word problems, first identify the mathematical symbol for the key phrase.
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Twice a number increased by (5) is not more than (19). What is the correct solution for (x)?
A. \(x\leq 7\)
अधिक नहीं है का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए \(2x+5\leq 19\) से \(x\leq 7\) मिलता है। शब्द प्रश्नों में वाक्य को पहले असमानता में बदलें। / Not more than means \(\leq\), so \(2x+5\leq 19\) gives \(x\leq 7\). In word problems, first convert the sentence into an inequality.
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