Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले स्थान के लिए (5) फिर (4) और फिर (3) विकल्प हैं इसलिए \(5 \times 4 \times 3=60\)। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं। / There are (5) choices for the first place then (4) and then (3) so \(5 \times 4 \times 3=60\). Without repetition choices decrease at each next place.
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (4) और फिर (3) विकल्प हैं इसलिए \(4 \times 4 \times 3=48\) नहीं बल्कि रुके हुए अंक के बाद विकल्प (4) और (3) हैं। सही गणना \(4 \times 4 \times 3=48\) है। / There are (4) choices for the first place then (4) and (3) choices so \(4 \times 4 \times 3=48\). Always handle the leading zero restriction first.
इकाई स्थान के लिए (3) सम विकल्प हैं फिर (5) और (4) विकल्प बचते हैं इसलिए \(3 \times 5 \times 4=60\)। सम संख्या में इकाई स्थान पहले तय करें। / There are (3) even choices for the unit place then (5) and (4) choices remain so \(3 \times 5 \times 4=60\). For even numbers fix the unit place first.
अंतिम अंक (0) हो तो \(4 \times 3=12\) और अंतिम अंक गैर-शून्य सम हो तो \(4 \times 3 \times 3=36\) तरीके हैं। कुल (12+36=48) है। / If the last digit is (0) there are \(4 \times 3=12\) ways and if it is non-zero even there are \(4 \times 3 \times 3=36\) ways. The total is (12+36=48).
इकाई स्थान पर (3) विषम विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों पर (5,4,3) विकल्प हैं इसलिए \(3 \times 5 \times 4 \times 3=180\)। विषम संख्या में अंतिम स्थान पहले तय करें। / There are (3) odd choices for the unit place and (5,4,3) choices for the remaining places so \(3 \times 5 \times 4 \times 3=180\). For odd numbers fix the last place first.
अक्षरों के लिए \(4 \times 3\) और अंकों के लिए \(3 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3 \times 2=72\) है। / For letters there are \(4 \times 3\) ways and for digits \(3 \times 2\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 3 \times 2=72\).
दो अक्षर स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंक के लिए (4) विकल्प हैं इसलिए \(5 \times 5 \times 4=100\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प कम नहीं होते। / For the two letter positions there are \(5 \times 5\) choices and for the digit (4) choices so \(5 \times 5 \times 4=100\). When repetition is allowed choices do not decrease.
अक्षर भाग \(6 \times 5 \times 4\) और अंक भाग \(5 \times 4\) तरीकों से बनेगा। कुल \(6 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4=2400\) है। / The letter part can be made in \(6 \times 5 \times 4\) ways and the digit part in \(5 \times 4\) ways. The total is \(6 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4=2400\).
घर से बाजार तक (3) रास्ते हैं और बाजार से विद्यालय तक (4) रास्ते हैं। वापसी में वही रास्ता किसी भी चरण में नहीं लेना है। घर से विद्यालय जाकर वापस घर आने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 4\) और लौटने के लिए \(3 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 4 \times 3 \times 2=72\) है। / For going there are \(3 \times 4\) ways and for returning there are \(3 \times 2\) ways. The total is \(3 \times 4 \times 3 \times 2=72\).
स्टार्टर और मुख्य व्यंजन के लिए \(4 \times 5\) तरीके हैं और मिठाई के लिए (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are \(4 \times 5\) ways for starter and main course and (3+1=4) options for dessert. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
एक विद्यार्थी को (6) विषयों में से एक मुख्य विषय चुनना है और उसी विषय को वैकल्पिक विषय के रूप में नहीं चुनना है। वैकल्पिक विषय के लिए बाकी (5) विषय उपलब्ध हैं। कुल चयन कितने हैं?
मुख्य विषय के लिए (6) और वैकल्पिक विषय के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for the main subject and (5) choices for the optional subject. The total is \(6 \times 5=30\).
एक परीक्षा में खंड (A) से (1) प्रश्न (5) तरीकों से और खंड (B) से (1) प्रश्न (6) तरीकों से चुना जाता है। फिर (2) प्रस्तुति भाषाओं में से एक भाषा चुनी जाती है। कुल तरीके कितने हैं?
प्रश्न चयन के \(5 \times 6\) तरीके हैं और भाषा के (2) तरीके हैं। कुल \(5 \times 6 \times 2=60\) है। / Question selection has \(5 \times 6\) ways and language has (2) ways. The total is \(5 \times 6 \times 2=60\).
पहले स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (5) विकल्प हैं फिर (5,4,3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\) है। / The first place cannot be (0) so it has (5) choices then (5,4,3) choices. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\).
इकाई स्थान पर (4) विषम विकल्प हैं फिर सैकड़ा स्थान पर (3) गैर-शून्य विकल्प और दहाई पर (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3=36\) है। / There are (4) odd choices for the unit place then (3) non-zero choices for the hundred place and (3) choices for the ten place. The total is \(4 \times 3 \times 3=36\).
पहले स्थान के लिए (6) विकल्प और बाकी तीन स्थानों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 7^3=2058\) है। / There are (6) choices for the first place and (7) choices for each of the other three places. The total is \(6 \times 7^3=2058\).
पहले स्थान के लिए (3) विकल्प और हर अगले स्थान के लिए (2) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 2^4=48\) है। / There are (3) choices for the first place and (2) choices for each next place. The total is \(3 \times 2^4=48\).
एक मंच कार्यक्रम में पहले वक्ता के लिए (5) विद्यार्थी और दूसरे वक्ता के लिए बाकी विद्यार्थी उपलब्ध हैं। एक ही विद्यार्थी दोनों बार नहीं बोल सकता। कुल क्रमबद्ध चयन कितने हैं?
पहले वक्ता के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4=20\) क्रमबद्ध चयन हैं। / There are (5) choices for the first speaker and (4) for the second. The total is \(5 \times 4=20\) ordered selections.
तीनों विशेषताएं स्वतंत्र हैं इसलिए \(4 \times 3 \times 2=24\)। डिजाइन गिनते समय हर स्वतंत्र घटक को गुणा करें। / The three features are independent so \(4 \times 3 \times 2=24\). While counting designs multiply every independent component.
केंद्र समय और भाषा के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 3 \times 2=24\) विकल्प हैं। / The choices of center time and language are independent. The total is \(4 \times 3 \times 2=24\) options.
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (4) और (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 4 \times 3=48\) है। / There are (4) choices for the first place then (4) and (3) choices remain. The total is \(4 \times 4 \times 3=48\).
पहले मामले में \(3 \times 4=12\) तरीके और दूसरे में (5) तरीके हैं। दोनों अलग विकल्प हैं इसलिए कुल (12+5=17) है। / The first case has \(3 \times 4=12\) ways and the second has (5) ways. The cases are alternatives so the total is (12+5=17).
सदस्यता अवधि और रंग तीन स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(2 \times 4 \times 3=24\) है। / Membership period and color are three independent choices. The total is \(2 \times 4 \times 3=24\).
श्रेणी पंक्ति और सीट तीन स्तर हैं इसलिए \(3 \times 6 \times 4=72\)। संरचना वाले चयन में स्तरों को गुणा करें। / Class row and seat are three levels so \(3 \times 6 \times 4=72\). In structured selection multiply the levels.
दहाई स्थान (5,6,7) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (6) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 6=18\) है। / The tens place is one of (5,6,7) and the unit place has (6) remaining choices. The total is \(3 \times 6=18\).
सैकड़ा स्थान (1) या (2) हो सकता है और बाकी दोनों स्थानों पर (6) विकल्प हैं। कुल \(2 \times 6 \times 6=72\) है। / The hundred place can be (1) or (2) and the other two places have (6) choices each. The total is \(2 \times 6 \times 6=72\).
एक (4)-स्थान कोड में पहला और अंतिम स्थान अक्षर हैं तथा बीच के (2) स्थान अंक हैं। (5) अक्षर और (6) अंक उपलब्ध हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
अक्षर स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंक स्थानों के लिए \(6 \times 6\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 6 \times 6 \times 5=900\) है। / For letter places there are \(5 \times 5\) ways and for digit places \(6 \times 6\) ways. The total is \(5 \times 6 \times 6 \times 5=900\).
कमरा चुनने के लिए ब्लॉक मंजिल और कमरा तीन चरण हैं। कुल \(3 \times 4 \times 8=96\) है। / To choose a room block floor and room are three stages. The total is \(3 \times 4 \times 8=96\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और अगले दो स्थानों के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3=36\) है। / There are (4) choices for the first place and (3) choices for each of the next two places. The total is \(4 \times 3 \times 3=36\).
विभाग और कर्मचारी कोड स्वतंत्र भाग हैं। कुल \(5 \times 6=30\) पहचानें बनेंगी। / Department and employee code are independent parts. The total is \(5 \times 6=30\) identities.
विषय स्तर और भाषा के लिए क्रमशः (4,5,2) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5 \times 2=40\) है। / There are (4,5,2) choices for subject level and language respectively. The total is \(4 \times 5 \times 2=40\).
हर पोशाक में एक शर्ट एक पतलून और एक बेल्ट चाहिए। कुल \(4 \times 3 \times 2=24\) है। / Each outfit needs one shirt one trouser and one belt. The total is \(4 \times 3 \times 2=24\).
क्लब खेल और शिफ्ट तीन स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(3 \times 4 \times 2=24\) है। / Club sport and shift are three independent choices. The total is \(3 \times 4 \times 2=24\).
एक रेलवे यात्रा में शहर (A) से (B) तक (4) ट्रेनें और (B) से (C) तक (5) ट्रेनें हैं। यदि पूरी यात्रा (A) से (C) तक (B) होकर करनी है तो कुल तरीके कितने हैं?
पहले चरण में (4) और दूसरे चरण में (5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5=20\) तरीके हैं। / There are (4) choices in the first stage and (5) in the second stage. The total is \(4 \times 5=20\) ways.
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (1,2,3) में से और इकाई स्थान (5,7,9) में से होना चाहिए। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई अंक हो सकता है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 3=90\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (3) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 3=90\).
स्वरों के लिए \(3 \times 2\) और व्यंजनों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 2 \times 5 \times 4=120\) है। / For vowels there are \(3 \times 2\) ways and for consonants \(5 \times 4\) ways. The total is \(3 \times 2 \times 5 \times 4=120\).
पेय अकेला लेने के (5) तरीके और पेय के साथ नाश्ता लेने के \(5 \times 4=20\) तरीके हैं। कुल (5+20=25) है। / There are (5) ways to take only a drink and \(5 \times 4=20\) ways to take a drink with a snack. The total is (5+20=25).
कप्तान के लिए (6) लड़के और उपकप्तान के लिए (4) लड़कियां हैं। कुल \(6 \times 4=24\) तरीके हैं। / There are (6) boys for captain and (4) girls for vice-captain. The total is \(6 \times 4=24\) ways.
पहला स्थान निश्चित है और बाकी (4) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) है। / The first place is fixed and the remaining (4) places have (2) choices each. The total is \(2^4=16\).
आकार रंग और प्रिंट के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) प्रकार हैं। / The choices of size color and print are independent. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\) types.
पहला स्थान तय है। बाकी दो स्थानों के लिए (5) और (4) विकल्प बचते हैं इसलिए \(5 \times 4=20\)। / The first place is fixed. For the remaining two places (5) and (4) choices remain so \(5 \times 4=20\).
एक (4)-अंकीय संख्या में पहले दो स्थानों पर (1) से (5) तक के अंक और अंतिम दो स्थानों पर (6) से (9) तक के अंक रखे जाते हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंतिम दो के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 4=400\) है। / The first two places have \(5 \times 5\) choices and the last two have \(4 \times 4\) choices. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 4=400\).
थीम फॉन्ट और आइकन सेट स्वतंत्र चयन हैं। कुल \(3 \times 4 \times 5=60\) है। / Theme font and icon set are independent choices. The total is \(3 \times 4 \times 5=60\).
अध्याय के (5) विकल्प और प्रत्येक में (6) प्रश्न विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6=30\) चयन हैं। / There are (5) chapter choices and (6) question choices in each. The total is \(5 \times 6=30\) selections.
सिक्के के (2) पासे के (6) और रंग के (3) परिणाम हैं। कुल \(2 \times 6 \times 3=36\) है। / The coin has (2) outcomes the die has (6) and the color has (3). The total is \(2 \times 6 \times 3=36\).
अध्यक्ष के लिए (4) विकल्प हैं और सचिव के लिए फिर (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 3=12\) है। / There are (4) choices for president and then (3) choices remain for secretary. The total is \(4 \times 3=12\).
सैकड़ा स्थान (4,5,6) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (5) और (4) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 5 \times 4=60\) है। / The hundred place is one of (4,5,6) and the other two places have (5) and (4) choices. The total is \(3 \times 5 \times 4=60\).
एक (4)-स्थान कोड में पहले स्थान पर (3) अक्षर विकल्प हैं दूसरे पर (4) अंक विकल्प हैं तीसरे पर (2) प्रतीक विकल्प हैं और चौथे पर (5) रंग विकल्प हैं। कुल कोड कितने हैं?
चारों स्थानों के विकल्प क्रमशः (3,4,2,5) हैं। कुल \(3 \times 4 \times 2 \times 5=120\) है। / The choices for the four places are (3,4,2,5) respectively. The total is \(3 \times 4 \times 2 \times 5=120\).
एक दुकानदार के पास (4) प्रकार के पैकेट और (6) प्रकार के लेबल हैं। यदि एक पैकेट और एक लेबल चुनना है लेकिन (2) विशेष जोड़ियां अनुमति नहीं हैं तो कुल मान्य विकल्प कितने हैं?
बिना रोक के \(4 \times 6=24\) जोड़ियां हैं। (2) अमान्य जोड़ियां हटाने पर (24-2=22) मान्य विकल्प बचते हैं। / Without restriction there are \(4 \times 6=24\) pairs. After removing (2) invalid pairs (24-2=22) valid options remain.
दहाई स्थान के (4) विकल्प और इकाई स्थान के (5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5=20\) है। / There are (4) choices for the tens place and (5) choices for the unit place. The total is \(4 \times 5=20\).
कक्षा विषय टेस्ट प्रकार और भाषा चार स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\) है। / Class subject test type and language are four independent choices. The total is \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\).
इकाई स्थान पर (2,4,6) के (3) विकल्प हैं फिर (6) और (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 6 \times 5=90\) है। / There are (3) choices (2,4,6) for the unit place then (6) and (5) choices remain. The total is \(3 \times 6 \times 5=90\).
इकाई स्थान के लिए (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और सैकड़ा स्थान पर (5) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 5 \times 5=75\) है। / There are (3) choices (1,3,5) for the unit place and (5) non-zero choices remain for the hundred place. The total is \(3 \times 5 \times 5=75\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प हैं फिर (5,4,3) विकल्प बचते हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\) है। / There are (5) choices for the first place then (5,4,3) choices remain. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\).
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 6 \times 5=600\) है। / For letters there are \(5 \times 4\) ways and for digits \(6 \times 5\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 6 \times 5=600\).
तीन अक्षर स्थानों के लिए \(4^3\) और अंक के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(4^3 \times 5=320\) है। / There are \(4^3\) choices for three letter places and (5) choices for the digit. The total is \(4^3 \times 5=320\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और हर अगले स्थान के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 3^4=324\) है। / There are (4) choices for the first place and (3) choices for each next place. The total is \(4 \times 3^4=324\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (5) और (4) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are (4) choices for the first place then (5) and (4) choices remain. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
घर से कोचिंग तक (3) रास्ते हैं और कोचिंग से पुस्तकालय तक (5) रास्ते हैं। लौटते समय किसी भी चरण में वही रास्ता नहीं लेना है। आने-जाने के कुल तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 5\) तरीके हैं और लौटने के लिए \(4 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\) है। / For going there are \(3 \times 5\) ways and for returning there are \(4 \times 2\) ways. The total is \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\).
सूप और मुख्य व्यंजन के लिए \(4 \times 6\) तरीके हैं और मिठाई के लिए (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 6 \times 4=96\) है। / There are \(4 \times 6\) ways for soup and main dish and (3+1=4) dessert options. The total is \(4 \times 6 \times 4=96\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प और बाकी तीन स्थानों के लिए (6) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6^3=1080\) है। / There are (5) choices for the first place and (6) choices for each of the other three places. The total is \(5 \times 6^3=1080\).
हर खंड से (2) विकल्प हैं और कुल (5) खंड हैं। कुल \(2^5=32\) तरीके हैं। / Each section has (2) choices and there are (5) sections. The total is \(2^5=32\) ways.
दहाई स्थान (6,7,8) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (7) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 7=21\) है। / The tens place is one of (6,7,8) and the unit place has (7) remaining choices. The total is \(3 \times 7=21\).
पहले दो स्थानों के लिए \(3 \times 3\) और अंतिम दो के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। कुल \(3^2 \times 4^2=144\) है। / The first two places have \(3 \times 3\) choices and the last two have \(4 \times 4\) choices. The total is \(3^2 \times 4^2=144\).
एक क्लब में अध्यक्ष के लिए (6) विद्यार्थी और सचिव के लिए वही (6) विद्यार्थी उपलब्ध हैं। एक ही विद्यार्थी दोनों पद नहीं ले सकता। कुल नियुक्तियां कितनी हैं?
अध्यक्ष के लिए (6) विकल्प हैं और सचिव के लिए (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for president and (5) choices remain for secretary. The total is \(6 \times 5=30\).
पहले मामले में \(4 \times 5=20\) तरीके और दूसरे मामले में (3) तरीके हैं। कुल (20+3=23) है। / The first case has \(4 \times 5=20\) ways and the second case has (3) ways. The total is (20+3=23).
श्रेणी पंक्ति और सीट तीन स्वतंत्र स्तर हैं। कुल \(3 \times 7 \times 4=84\) है। / Class row and seat are three independent levels. The total is \(3 \times 7 \times 4=84\).
सैकड़ा स्थान (1,2,3,4) में से होगा और बाकी दोनों स्थानों पर (8) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 8 \times 8=256\) है। / The hundred place is one of (1,2,3,4) and the other two places have (8) choices each. The total is \(4 \times 8 \times 8=256\).
फिल्टर और फ्रेम के \(5 \times 4\) तरीके हैं और स्टिकर के (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 4=80\) है। / There are \(5 \times 4\) ways for filter and frame and (3+1=4) sticker options. The total is \(5 \times 4 \times 4=80\).
स्वरों के लिए \(4 \times 3\) और व्यंजनों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 6 \times 5=360\) है। / For vowels there are \(4 \times 3\) ways and for consonants \(6 \times 5\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 6 \times 5=360\).
चार स्वतंत्र चुनाव हैं इसलिए \(5 \times 4 \times 3 \times 2=120\)। बहु-चरण चयन में सभी विकल्प गुणा करें। / There are four independent choices so \(5 \times 4 \times 3 \times 2=120\). In multi-stage selection multiply all choices.
सैकड़ा स्थान (5,6,7,8) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (6) और (5) विकल्प होंगे। कुल \(4 \times 6 \times 5=120\) है। / The hundred place is one of (5,6,7,8) and the other two places have (6) and (5) choices. The total is \(4 \times 6 \times 5=120\).
एक छात्र को (5) अध्यायों में से एक अध्याय और चुने गए अध्याय के (8) प्रश्नों में से एक प्रश्न चुनना है। फिर (2) उत्तर भाषाओं में से एक भाषा चुननी है। कुल तरीके कितने हैं?
अध्याय के (5) प्रश्न के (8) और भाषा के (2) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 8 \times 2=80\) है। / There are (5) chapter choices (8) question choices and (2) language choices. The total is \(5 \times 8 \times 2=80\).
दो सिक्कों के \(2^2=4\) परिणाम और पासे के (6) परिणाम हैं। कुल \(4 \times 6=24\) है। / Two coins have \(2^2=4\) outcomes and the die has (6) outcomes. The total is \(4 \times 6=24\).
पहला और अंतिम स्थान तय हैं और बीच के (4) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) है। / The first and last places are fixed and the middle (4) places have (2) choices each. The total is \(2^4=16\).
बिना रोक के \(5 \times 7=35\) जोड़ियां हैं। (3) अमान्य जोड़ियां हटाने पर (35-3=32) विकल्प बचते हैं। / Without restriction there are \(5 \times 7=35\) pairs. After removing (3) invalid pairs (35-3=32) options remain.
एक (3)-स्थान संकेत में पहला स्थान (4) रंगों में से और बाकी दो स्थान (5) आकारों में से चुने जाते हैं। आकारों में पुनरावृत्ति नहीं है। कुल संकेत कितने हैं?
रंग के (4) विकल्प हैं और दो आकारों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are (4) choices for color and \(5 \times 4\) ways for two shapes. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
पहले दो स्थानों के लिए \(3 \times 2\) और अंतिम दो के लिए \(3 \times 2\) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 2 \times 3 \times 2=36\) है। / The first two places have \(3 \times 2\) choices and the last two have \(3 \times 2\) choices. The total is \(3 \times 2 \times 3 \times 2=36\).
लड़का मॉनिटर (7) तरीकों से और लड़की सह-मॉनिटर (5) तरीकों से चुनी जा सकती है। कुल \(7 \times 5=35\) है। / The boy monitor can be chosen in (7) ways and the girl co-monitor in (5) ways. The total is \(7 \times 5=35\).
पहला स्थान निश्चित है और बाकी दो स्थानों के लिए (6) और (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / The first place is fixed and the remaining two places have (6) and (5) choices. The total is \(6 \times 5=30\).
कक्षा विषय टेस्ट प्रकार और माध्यम चार स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(4 \times 6 \times 5 \times 2=240\) है। / Class subject test type and medium are four independent choices. The total is \(4 \times 6 \times 5 \times 2=240\).
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (2,4,6) में से और इकाई स्थान (1,3,5,7) में से चुना जाता है। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई अंक हो सकता है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (4) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 4=120\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (4) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 4=120\).
एक छात्र को (3) भाषाओं में से एक भाषा और (4) परियोजनाओं में से एक परियोजना चुननी है। यदि वह (2) प्रस्तुति मोड में से भी एक चुने तो कुल तरीके कितने हैं?
भाषा परियोजना और मोड के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(3 \times 4 \times 2=24\) है। / The choices of language project and mode are independent. The total is \(3 \times 4 \times 2=24\).
एक (4)-स्थान पासवर्ड में (5) प्रतीक उपलब्ध हैं। पहला और दूसरा स्थान समान नहीं हो सकते लेकिन बाकी स्थानों पर पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (5) दूसरे के लिए (4) और बाकी दो के लिए (5,5) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\) है। / There are (5) choices for the first place (4) for the second and (5,5) for the remaining two. The total is \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\).
मुख्य विषय के (6) विकल्प और सहायक विषय के लिए (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for the main subject and (5) choices remain for the supporting subject. The total is \(6 \times 5=30\).
एक ट्रेन यात्रा में (A) से (B) तक (5) ट्रेनें और (B) से (C) तक (4) ट्रेनें हैं। वापसी में वही (B) से (C) वाली ट्रेन नहीं लेनी है लेकिन (A) से (B) वाली ट्रेन दोबारा ली जा सकती है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं और लौटने में \(3 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 5=300\) है। / For going there are \(5 \times 4\) ways and while returning there are \(3 \times 5\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 5=300\).
चारों गुण स्वतंत्र हैं इसलिए \(4 \times 5 \times 3 \times 2=120\)। अवतार के अलग भागों को गुणा करें। / All four features are independent so \(4 \times 5 \times 3 \times 2=120\). Multiply the different parts of the avatar.
अंतिम अंक (0) हो तो \(6 \times 5 \times 4=120\) तरीके हैं और अंतिम अंक (2,4,6) हो तो \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) तरीके हैं। कुल (420) है। / If the last digit is (0) there are \(6 \times 5 \times 4=120\) ways and if it is (2,4,6) there are \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) ways. The total is (420).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं अंतिम वही तय हो जाएगा और बीच के (3) स्थानों पर (4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 4^3=256\) है। / There are (4) choices for the first place the last is then fixed and the middle (3) places have (4) choices each. The total is \(4 \times 4^3=256\).
बिना रोक \(3 \times 4 \times 5=60\) कार्ड हैं। (2) रंग और (5) अवधि वाली (10) अमान्य स्थितियां हटाने पर (50) बचते हैं। / Without restriction there are \(3 \times 4 \times 5=60\) cards. Removing (2) colors with (5) periods gives (10) invalid cases so (50) remain.
सैकड़ा स्थान (2,3,4,5,6) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (7) और (6) विकल्प होंगे। कुल \(5 \times 7 \times 6=210\) है। / The hundred place is one of (2,3,4,5,6) and the other two places have (7) and (6) choices. The total is \(5 \times 7 \times 6=210\).
पहले स्थान के लिए (5) दूसरे के लिए (4) और बाकी दो स्थानों के लिए (5,5) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\) है। / There are (5) choices for the first place (4) for the second and (5,5) for the remaining two places. The total is \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\).
एक प्रतियोगिता में (8) प्रतिभागियों में से प्रथम और द्वितीय पुरस्कार अलग-अलग दिए जाते हैं। कोई प्रतिभागी दोनों पुरस्कार नहीं ले सकता। कुल परिणाम कितने हैं?
प्रथम पुरस्कार के लिए (8) विकल्प और द्वितीय के लिए (7) विकल्प बचते हैं। कुल \(8 \times 7=56\) है। / There are (8) choices for first prize and (7) choices remain for second prize. The total is \(8 \times 7=56\).
एक (3)-प्रश्न टेस्ट में पहले प्रश्न के (4) विकल्प दूसरे के (5) विकल्प और तीसरे के (3) विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न का एक उत्तर चुनना है। कुल उत्तर पैटर्न कितने हैं?
तीनों प्रश्नों के विकल्प स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) उत्तर पैटर्न हैं। / The options for the three questions are independent. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\) answer patterns.
अंतिम स्थान के लिए (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और पहले स्थान पर (5) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) है। / There are (3) choices (1,3,5) for the last place and (5) non-zero choices remain for the first place. The total is \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\).
चार स्वतंत्र डिज़ाइन भाग हैं। कुल \(4 \times 3 \times 5 \times 2=120\) डिज़ाइन होंगे। / There are four independent design parts. The total is \(4 \times 3 \times 5 \times 2=120\) designs.
अंकों के लिए \(5 \times 4\) और अक्षरों के लिए \(4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\) है। / For digits there are \(5 \times 4\) ways and for letters \(4 \times 3\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\).
केवल पेय के (6) तरीके हैं और पेय के साथ नाश्ते के \(6 \times 4=24\) तरीके हैं। कुल (6+24=30) है। / There are (6) ways for only a drink and \(6 \times 4=24\) ways for drink with snack. The total is (6+24=30).
पहले स्थान के (3) विकल्प हैं तीसरा वही तय होगा और दूसरे तथा चौथे स्थान पर (3,3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3 \times 3=27\) है। / There are (3) choices for the first place the third is then fixed and the second and fourth places have (3,3) choices. The total is \(3 \times 3 \times 3=27\).
बस भोजन पैक और संग्रहालय तीन स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) है। / Bus meal pack and museum are three independent choices. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\).
पहले तीन स्थानों के लिए \(2^3\) और अंतिम दो के लिए \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(2^3 \times 5^2=200\) है। / The first three places have \(2^3\) choices and the last two have \(5^2\) choices. The total is \(2^3 \times 5^2=200\).
इकाई स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं फिर बाकी स्थानों पर (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 7 \times 6 \times 5=840\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the unit place and then (7,6,5) choices for the remaining places. The total is \(4 \times 7 \times 6 \times 5=840\).
हजार स्थान (1,2,3) में से होगा और बाकी तीन स्थानों पर (6,5,4) विकल्प बचेंगे। कुल \(3 \times 6 \times 5 \times 4=360\) है। / The thousand place is one of (1,2,3) and the remaining three places have (6,5,4) choices. The total is \(3 \times 6 \times 5 \times 4=360\).
अंतिम अंक (0) हो तो \(7 \times 6=42\) तरीके हैं और अंतिम अंक (2,4,6) हो तो \(3 \times 6 \times 6=108\) तरीके हैं। कुल (42+108=150) है। / If the last digit is (0) there are \(7 \times 6=42\) ways and if the last digit is (2,4,6) there are \(3 \times 6 \times 6=108\) ways. The total is (42+108=150).
अक्षरों के लिए \(7 \times 6\) और अंकों के लिए \(5 \times 4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3=2520\) है। / For letters there are \(7 \times 6\) ways and for digits \(5 \times 4 \times 3\) ways. The total is \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3=2520\).
एक पासवर्ड में पहले (3) स्थान अक्षरों के और अंतिम (2) स्थान अंकों के हैं। अक्षरों के (4) विकल्प और अंकों के (6) विकल्प हैं तथा पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
अक्षर स्थानों के लिए \(4^3\) और अंक स्थानों के लिए \(6^2\) विकल्प हैं। कुल \(4^3 \times 6^2=2304\) है। / There are \(4^3\) choices for letter places and \(6^2\) choices for digit places. The total is \(4^3 \times 6^2=2304\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प हैं और हर अगले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4^5=5120\) है। / There are (5) choices for the first place and (4) choices for each next place. The total is \(5 \times 4^5=5120\).
पहले स्थान के लिए (6) विकल्प हैं फिर (7) और (6) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 7 \times 6=252\) है। / There are (6) choices for the first place then (7) and (6) choices remain. The total is \(6 \times 7 \times 6=252\).
घर से केंद्र तक (4) रास्ते हैं और केंद्र से पुस्तकालय तक (6) रास्ते हैं। लौटते समय हर चरण में वही रास्ता नहीं लेना है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(4 \times 6\) तरीके हैं और लौटने के लिए \(5 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 6 \times 5 \times 3=360\) है। / For going there are \(4 \times 6\) ways and for returning there are \(5 \times 3\) ways. The total is \(4 \times 6 \times 5 \times 3=360\).
स्टार्टर और मुख्य व्यंजन के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। मिठाई के (3+1) और पेय के (2+1) विकल्प होने से कुल \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\) है। / There are \(5 \times 4\) ways for starter and main dish. Dessert has (3+1) options and drink has (2+1) options so the total is \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\).
एक (5)-अंकीय पिन में उपलब्ध अंक (0,1,2,3,4,5,6,7,8) हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंतिम अंक सम होना चाहिए। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पिन कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (8) विकल्प बीच के (3) स्थानों के लिए \(9^3\) विकल्प और अंतिम स्थान के लिए (5) सम विकल्प हैं। कुल \(8 \times 9^3 \times 5=29160\) है। / There are (8) choices for the first place \(9^3\) choices for the middle (3) places and (5) even choices for the last place. The total is \(8 \times 9^3 \times 5=29160\).
एक परीक्षा में (4) खंड हैं और प्रत्येक खंड में (3) वैकल्पिक प्रश्न हैं। हर खंड से एक प्रश्न चुनकर (2) भाषाओं में से एक भाषा चुननी है। कुल तरीके कितने हैं?
प्रश्न चयन के लिए \(3^4\) तरीके हैं और भाषा के लिए (2) तरीके हैं। कुल \(3^4 \times 2=162\) है। / There are \(3^4\) ways for question selection and (2) ways for language. The total is \(3^4 \times 2=162\).
दहाई स्थान (7,8,9) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (8) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 8=24\) है। / The tens place is one of (7,8,9) and the unit place has (8) remaining choices. The total is \(3 \times 8=24\).
एक कोड में पहले (3) स्थानों पर (5) अक्षर विकल्प और अंतिम (2) स्थानों पर (4) प्रतीक विकल्प हैं। अक्षरों में पुनरावृत्ति मान्य है पर प्रतीकों में नहीं। कुल कोड कितने हैं?
तीन अक्षर स्थानों के लिए \(5^3\) और दो अलग प्रतीकों के लिए \(4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(5^3 \times 4 \times 3=1500\) है। / There are \(5^3\) choices for three letter places and \(4 \times 3\) ways for two distinct symbols. The total is \(5^3 \times 4 \times 3=1500\).
तीन अलग पदों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5=210\) है। / For three different posts the choices are (7,6,5) respectively. The total is \(7 \times 6 \times 5=210\).
पोशाक के \(5 \times 3 \times 2=30\) तरीके हैं और बैग के (7) तरीके हैं। अलग मामलों को जोड़ने पर (30+7=37) है। / The outfit has \(5 \times 3 \times 2=30\) ways and the bag has (7) ways. Adding the separate cases gives (30+7=37).
एक सभागार में (5) ब्लॉक हैं प्रत्येक ब्लॉक में (6) पंक्तियां हैं और हर पंक्ति में (8) सीटें हैं। यदि (2) शिफ्टों में कार्यक्रम हो तो एक सीट-शिफ्ट चुनने के तरीके कितने हैं?
ब्लॉक पंक्ति सीट और शिफ्ट चार स्तर हैं। कुल \(5 \times 6 \times 8 \times 2=480\) है। / Block row seat and shift are four levels. The total is \(5 \times 6 \times 8 \times 2=480\).
हजार स्थान (2,3,4,5) में से होगा और बाकी तीन स्थानों पर (10) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 10^3=4000\) है। / The thousand place is one of (2,3,4,5) and the remaining three places have (10) choices each. The total is \(4 \times 10^3=4000\).
फिल्टर और फ्रेम के \(6 \times 5\) तरीके हैं और स्टिकर के (4+1=5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 5=150\) है। / There are \(6 \times 5\) ways for filter and frame and (4+1=5) sticker options. The total is \(6 \times 5 \times 5=150\).
स्वरों के लिए \(5 \times 4 \times 3\) और व्यंजनों के लिए \(7 \times 6\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 7 \times 6=2520\) है। / For vowels there are \(5 \times 4 \times 3\) ways and for consonants \(7 \times 6\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 7 \times 6=2520\).
पांच स्वतंत्र चुनाव हैं इसलिए कुल \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720\) है। बड़े प्रश्न में भी हर चरण को अलग लिखें। / There are five independent choices so the total is \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720\). Even in a long question write each stage separately.
हजार स्थान (6,7,8,9) में से होगा और बाकी स्थानों पर (8,7,6) विकल्प होंगे। कुल \(4 \times 8 \times 7 \times 6=1344\) है। / The thousand place is one of (6,7,8,9) and the remaining places have (8,7,6) choices. The total is \(4 \times 8 \times 7 \times 6=1344\).
अध्याय प्रश्न और कठिनाई स्तर के विकल्प क्रमशः (6,7,3) हैं। कुल \(6 \times 7 \times 3=126\) है। / The choices for chapter question and difficulty level are (6,7,3) respectively. The total is \(6 \times 7 \times 3=126\).
तीन सिक्कों के \(2^3\) परिणाम और दो पासों के \(6^2\) परिणाम हैं। कुल \(2^3 \times 6^2=288\) है। / Three coins have \(2^3\) outcomes and two dice have \(6^2\) outcomes. The total is \(2^3 \times 6^2=288\).
पहला और अंतिम स्थान तय हैं और बीच के (5) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। कुल \(2^5=32\) है। / The first and last places are fixed and the middle (5) places have (2) choices each. The total is \(2^5=32\).
एक दुकानदार के पास (6) पैकेट प्रकार और (8) लेबल प्रकार हैं। (4) जोड़ियां अनुमति नहीं हैं और हर मान्य जोड़ी (3) आकारों में मिलती है। कुल मान्य विकल्प कितने हैं?
बिना रोक \(6 \times 8=48\) जोड़ियां हैं। (4) हटाने पर (44) जोड़ियां बचती हैं और \(44 \times 3=132\) विकल्प मिलते हैं। / Without restriction there are \(6 \times 8=48\) pairs. Removing (4) leaves (44) pairs and \(44 \times 3=132\) options.
एक (4)-स्थान संकेत में पहला स्थान (5) रंगों से दूसरा और तीसरा स्थान (6) अलग-अलग आकारों से और चौथा स्थान (4) चिह्नों से चुना जाता है। कुल संकेत कितने हैं?
रंग के (5) विकल्प आकारों के \(6 \times 5\) तरीके और चिह्न के (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6 \times 5 \times 4=600\) है। / There are (5) color choices \(6 \times 5\) ways for shapes and (4) icon choices. The total is \(5 \times 6 \times 5 \times 4=600\).
एक (4)-अंकीय संख्या के पहले (2) अंक (1,2,3,4) से और अंतिम (2) अंक (5,6,7,8,9) से चुने जाते हैं। दोनों भागों में पुनरावृत्ति नहीं है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(4 \times 3\) और अंतिम दो स्थानों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 5 \times 4=240\) है। / The first two places have \(4 \times 3\) ways and the last two places have \(5 \times 4\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 5 \times 4=240\).
लड़का लड़की और सदन के विकल्प क्रमशः (8,6,3) हैं। कुल \(8 \times 6 \times 3=144\) है। / The choices for boy girl and house are (8,6,3) respectively. The total is \(8 \times 6 \times 3=144\).
पहला स्थान तय है। अंतिम स्थान के लिए (6) विकल्प हैं और बीच के स्थान के लिए (6) विकल्प बचते हैं इसलिए \(6 \times 6=36\)। / The first place is fixed. There are (6) choices for the last place and (6) choices remain for the middle place so \(6 \times 6=36\).
चार स्वतंत्र विशेषताएं हैं। कुल \(5 \times 4 \times 6 \times 2=240\) विकल्प हैं। / There are four independent features. The total is \(5 \times 4 \times 6 \times 2=240\) options.
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (2,4,6) से और इकाई स्थान (2,3,5,7) से चुना जाता है। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई भी अंक हो सकता है। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (4) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 4=120\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (4) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 4=120\).
भाषा परियोजना और मोड के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) है। / The choices of language project and mode are independent. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\).
एक (5)-स्थान पासवर्ड में (6) प्रतीक उपलब्ध हैं। पहले दो स्थान समान नहीं हो सकते और अंतिम दो स्थान समान होने चाहिए। पुनरावृत्ति अन्य जगह मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले स्थान के (6) दूसरे के (5) तीसरे के (6) और चौथे-पांचवें समान जोड़े के (6) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 6 \times 6=1080\) है। / There are (6) choices for the first place (5) for the second (6) for the third and (6) choices for the equal fourth-fifth pair. The total is \(6 \times 5 \times 6 \times 6=1080\).
मुख्य सहायक और अतिरिक्त विषय के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5=210\) है। / For main supporting and extra subjects the choices are (7,6,5) respectively. The total is \(7 \times 6 \times 5=210\).
एक ट्रेन यात्रा में (A) से (B) तक (3) ट्रेनें (B) से (C) तक (5) ट्रेनें और (C) से (D) तक (4) ट्रेनें हैं। वापसी में केवल (C) से (D) वाली ट्रेन दोबारा नहीं लेनी है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। लौटने में (3) विकल्प उस चरण के लिए और (5,3) विकल्प बाकी चरणों के लिए हैं इसलिए कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 3 \times 5 \times 3=2700\) है। / For going there are \(3 \times 5 \times 4\) ways. On return there are (3) choices for that restricted stage and (5,3) choices for the other stages so the total is \(3 \times 5 \times 4 \times 3 \times 5 \times 3=2700\).
सभी गुण स्वतंत्र हैं इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 6=720\) है। अवतार के हर भाग को अलग चरण मानें। / All features are independent so the total is \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 6=720\). Treat every avatar part as a separate stage.
अंतिम स्थान के लिए (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहले स्थान के लिए फिर (7) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। बाकी दो स्थानों पर (7) और (6) विकल्प हैं इसलिए कुल \(4 \times 7 \times 7 \times 6=1176\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place and then (7) non-zero choices remain for the first place. The other two places have (7) and (6) choices so the total is \(4 \times 7 \times 7 \times 6=1176\).
एक (6)-अक्षर कोड में (A,B,C,D,E) ही उपयोग होते हैं। पहला और अंतिम अक्षर समान हैं तथा दूसरा और पांचवां अक्षर समान हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
पहले दूसरे तीसरे और चौथे स्थान के लिए (5) विकल्प हैं। अंतिम और पांचवां स्थान तय हो जाते हैं इसलिए कुल \(5^4=625\) है। / There are (5) choices each for the first second third and fourth places. The last and fifth places get fixed so the total is \(5^4=625\).
बिना रोक \(4 \times 5 \times 3=60\) कार्ड हैं। (2) रंगों के साथ (3) अवधि वाली (6) अमान्य स्थितियां हटाने पर (54) बचते हैं। / Without restriction there are \(4 \times 5 \times 3=60\) cards. Removing (6) invalid cases from (2) colors with (3) periods leaves (54).
सैकड़ा स्थान (3,4,5,6,7) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (8) और (7) विकल्प होंगे। कुल \(5 \times 8 \times 7=280\) है। / The hundred place is one of (3,4,5,6,7) and the other two places have (8) and (7) choices. The total is \(5 \times 8 \times 7=280\).
एक (5)-स्थान पिन में अंक (0,1,2,3,4,5) उपलब्ध हैं। पहले दो स्थानों पर समान अंक नहीं हो सकते और अंतिम अंक पहले अंक के समान नहीं हो सकता। पुनरावृत्ति अन्य जगह मान्य है। कुल पिन कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (6) दूसरे के लिए (5) बीच के दो स्थानों के लिए (6,6) और अंतिम के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 6 \times 6 \times 5=5400\) है। / There are (6) choices for the first place (5) for the second (6,6) for the two middle places and (5) for the last. The total is \(6 \times 5 \times 6 \times 6 \times 5=5400\).
एक प्रतियोगिता में (9) प्रतिभागियों में से प्रथम द्वितीय और तृतीय पुरस्कार अलग-अलग दिए जाते हैं। कोई प्रतिभागी एक से अधिक पुरस्कार नहीं ले सकता। कुल परिणाम कितने हैं?
प्रथम द्वितीय और तृतीय पुरस्कार के लिए क्रमशः (9,8,7) विकल्प हैं। कुल \(9 \times 8 \times 7=504\) है। / For first second and third prizes the choices are (9,8,7) respectively. The total is \(9 \times 8 \times 7=504\).
चारों प्रश्न स्वतंत्र हैं इसलिए कुल \(3 \times 4 \times 5 \times 2=120\) पैटर्न हैं। विकल्पों की संख्या सीधे गुणा करें। / The four questions are independent so the total is \(3 \times 4 \times 5 \times 2=120\) patterns. Multiply the number of options directly.
अंकों (0,1,2,3,4,5,6,7) से बिना पुनरावृत्ति (4)-अंकीय संख्याएं बनती हैं। पहली जगह (0) नहीं और अंतिम अंक गैर-शून्य सम होना चाहिए। कुल संख्याएं कितनी हैं?
अंतिम स्थान (2,4,6) में से होगा और पहले स्थान पर (6) गैर-शून्य विकल्प बचेंगे। बीच के दो स्थानों पर (6) और (5) विकल्प हैं इसलिए कुल \(3 \times 6 \times 6 \times 5=540\) है। / The last place is one of (2,4,6) and (6) non-zero choices remain for the first place. The middle two places have (6) and (5) choices so the total is \(3 \times 6 \times 6 \times 5=540\).
पांच स्वतंत्र डिज़ाइन चुनाव हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2=240\) डिज़ाइन होंगे। / There are five independent design choices. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2=240\) designs.
अंकों के लिए \(7 \times 6 \times 5\) और अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5 \times 5 \times 4=4200\) है। / For digits there are \(7 \times 6 \times 5\) ways and for letters \(5 \times 4\) ways. The total is \(7 \times 6 \times 5 \times 5 \times 4=4200\).
केवल पेय के (7) तरीके पेय-नाश्ते के \(7 \times 5=35\) तरीके और पूरे सेट के \(7 \times 5 \times 3=105\) तरीके हैं। कुल (7+35+105=147) है। / There are (7) ways for only a drink \(7 \times 5=35\) ways for drink with snack and \(7 \times 5 \times 3=105\) ways for a full set. The total is (7+35+105=147).
बस भोजन और संग्रहालय के \(5 \times 4 \times 3\) तरीके हैं। गाइड के लिए (2+1=3) विकल्प हैं इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 3=180\) है। / There are \(5 \times 4 \times 3\) ways for bus meal and museum. For guide there are (2+1=3) options so the total is \(5 \times 4 \times 3 \times 3=180\).
एक (6)-स्थान कोड में पहले (2) स्थानों पर (3) विकल्प हैं अगले (2) स्थानों पर (4) विकल्प हैं और अंतिम (2) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। बीच के (2) स्थानों में विकल्प समान नहीं हो सकते और बाकी जगह पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(3^2\) बीच के दो अलग स्थानों के लिए \(4 \times 3\) और अंतिम दो के लिए \(2^2\) विकल्प हैं। कुल \(3^2 \times 4 \times 3 \times 2^2=432\) है। / The first two places have \(3^2\) choices the middle two distinct places have \(4 \times 3\) choices and the last two have \(2^2\) choices. The total is \(3^2 \times 4 \times 3 \times 2^2=432\).
अंतिम अंक (0) हो तो \(8 \times 7 \times 6=336\) तरीके और अंतिम अंक (5) हो तो \(7 \times 7 \times 6=294\) तरीके हैं। कुल (336+294=630) है। / If the last digit is (0) there are \(8 \times 7 \times 6=336\) ways and if the last digit is (5) there are \(7 \times 7 \times 6=294\) ways. The total is (336+294=630).
