Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|A\cup B|=30+20-10=40\) क्योंकि (6) से विभाज्य (10) संख्याएँ हैं। परीक्षा में समावेशन-अपवर्जन सूत्र पहले लगाएँ। / Here \(|A\cup B|=30+20-10=40\) because (10) numbers are divisible by (6). In exams, apply inclusion-exclusion first.
(B) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए (A) से (1) के बाद वाले तत्व हटेंगे और ([-2,1]) बचेगा। अंतर निकालते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Since (1) is not included in (B), elements after (1) are removed from (A), leaving ([-2,1]). In difference questions, check open and closed endpoints carefully.
यदि कोई तत्व \(A\cup B\) में है, तो वह \(A\cap B\) में भी है, इसलिए दोनों सेटों में समान तत्व हैं। ऐसी स्थितियों में तत्व-आधारित तर्क सबसे सुरक्षित रहता है। / Any element in \(A\cup B\) must also be in \(A\cap B\), so both sets have the same elements. Element-wise reasoning is safest here.
(|A|=15), (|B|=6) और \(|A\cap B|=3\) क्योंकि सामान्य गुणज (30) के होंगे। अतः \(|A\cup B|=15+6-3=18\) है। / Here (|A|=15), (|B|=6), and \(|A\cap B|=3\) because common multiples are multiples of (30). So \(|A\cup B|=15+6-3=18\).
\(|A\cap B|=28+35-50=13\), इसलिए \(|A\setminus B|=28-13=15\) नहीं बल्कि (15) है। पहले प्रतिच्छेद निकालना न भूलें। / Here \(|A\cap B|=28+35-50=13\), so \(|A\setminus B|=28-13=15\). Always find the intersection before the difference.
A. (\(A\cup B\)\setminus C=\(A\setminus C\)\cup\(B\setminus C\))
Explanation
Simple Explanation
(C) को \(A\cup B\) से हटाने पर वही तत्व बचते हैं जो (A) में (C) से बाहर या (B) में (C) से बाहर हैं। वितरण नियम को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / Removing (C) from \(A\cup B\) leaves elements that are in (A) outside (C) or in (B) outside (C). Recognizing distribution laws saves time in exams.
\(A\setminus B=A\) का अर्थ है कि (A) का कोई भी तत्व (B) में नहीं गया। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / The condition means no element of (A) is removed by (B). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
एक कक्षा में (120) विद्यार्थियों में से (72) विद्यार्थी गणित सेट (M) में, (64) विद्यार्थी भौतिकी सेट (P) में और (28) विद्यार्थी दोनों में हैं। न तो (M) में और न ही (P) में कितने विद्यार्थी हैं?
\(|M\cup P|=72+64-28=108\), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (120-108=12) हैं। पहले संघ निकालें, फिर सार्वत्रिक सेट से घटाएँ। / Here \(|M\cup P|=72+64-28=108\), so students outside both sets are (120-108=12). First find the union, then subtract from the universal set.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य तत्व ({1,4,8}) हैं। कोष्ठक का क्रम हमेशा ध्यान रखें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\), then common elements with (C) are ({1,4,8}). Always follow the brackets.
जब \(A\subseteq B\) हो, तो (B) के तत्व (A) और \(B\setminus A\) में बँट जाते हैं। इसलिए उनका संघ (B) है। / When \(A\subseteq B\), the elements of (B) split into (A) and \(B\setminus A\). Therefore their union is (B).
(A) और (B) में जो भी सामान्य तत्व है, वह (C) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap B\subseteq C\) है। / Any common element of (A) and (B) cannot lie outside (C). Hence \(A\cap B\subseteq C\).
\(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है और (A) में अतिरिक्त केवल (4) है। असमानता से सेट बनाकर फिर अंतर लें। / Here \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), and only (4) remains extra in (A). Build each set first, then take the difference.
\(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\) है। तीन सेटों में अंतिम \(+|A\cap B\cap C|\) जोड़ना याद रखें। / Here \(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\). For three sets, remember to add the triple intersection at the end.
दोनों शर्तें यही बताती हैं कि (A) के सभी तत्व (B) में हैं। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / Both conditions show that every element of (A) lies in (B). Hence \(A\subseteq B\).
केवल (2+1=3) सेट (A) में है, इसलिए \(B=\{2\}\) है। अतः \(A\setminus B={3,5,7,11}\) है। / Only (2+1=3) belongs to (A), so \(B=\{2\}\). Therefore \(A\setminus B={3,5,7,11}\).
A. जो (A) में हैं लेकिन (B) और (C) दोनों में नहीं हैं/Elements in (A) but in neither (B) nor (C)
Explanation
Simple Explanation
\(B\cup C\) से हटाने का अर्थ है (B) में नहीं और (C) में नहीं। इसलिए यह (A) का वह भाग है जो दोनों से बाहर है। / Removing \(B\cup C\) means not in (B) and not in (C). So it is the part of (A) outside both sets.
\(A\cap C={4,8,16}\) है और (B) में (4,8) हट जाते हैं। इसलिए शेष ({16}) है। / Here \(A\cap C={4,8,16}\), and (4,8) are removed by (B). Therefore the result is ({16}).
\(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\) है। सममित अंतर में सामान्य भाग दो बार घटता है। / Here \(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\). In symmetric difference, the common part is removed twice.
यह सेट दोनों में से केवल एक में आने वाले तत्वों का सेट है। इसके खाली होने का अर्थ है (A) और (B) समान हैं। / This set contains elements that lie in exactly one of the two sets. If it is empty, then (A) and (B) are equal.
\(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) सदैव असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनके बराबर होने पर दोनों खाली होंगे। अतः (A=B) है। / The sets \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are always disjoint, so if they are equal, both are empty. Hence (A=B).
प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है, इसलिए (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)) है। सूत्र याद करने से वेन आरेख वाले प्रश्न तेज बनते हैं। / Intersection distributes over union, so (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)). Remembering this identity speeds up Venn diagram questions.
(20) तक केवल (2) ही सम अभाज्य संख्या है। इसलिए विषम संख्याएँ हटाने पर ({2}) बचता है। / Only (2) is an even prime number up to (20). Therefore after removing odd numbers, ({2}) remains.
\(A\cup B\) का हर तत्व (C) में है, इसलिए (C) हटाने पर कुछ नहीं बचेगा। अतः परिणाम \(\varnothing\) है। / Every element of \(A\cup B\) lies in (C), so removing (C) leaves nothing. Hence the result is \(\varnothing\).
सामान्य संख्याएँ (4) और (10) के लघुत्तम समापवर्त्य (20) से विभाज्य होंगी। (100) तक ऐसी (5) संख्याएँ हैं। / Common numbers must be divisible by the least common multiple (20) of (4) and (10). There are (5) such numbers up to (100).
किसी तत्व (x) के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियों में (B) और (C) की सदस्यता समान मिलती है। इसलिए (B=C) है। / For any element (x), inside (A) and outside (A), membership in (B) and (C) matches. Hence (B=C).
\(A\setminus B={a,c}\) और \(B\setminus A={e}\) है। उनका संघ ({a,c,e}) है। / Here \(A\setminus B={a,c}\) and \(B\setminus A={e}\). Their union is ({a,c,e}).
असंयुक्त सेटों में कोई दोहराया हुआ तत्व नहीं होता। इसलिए संघ की संख्या सीधे (|A|+|B|) होती है। / Disjoint sets have no repeated common element. Therefore the number of elements in the union is simply (|A|+|B|).
संघ तीन असंयुक्त भागों \(A\setminus B\), \(A\cap B\), और \(B\setminus A\) से बनता है। सभी तत्व मिलाकर ({1,2,3,4,5,6,7}) मिलते हैं। / The union is made from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Combining all gives ({1,2,3,4,5,6,7}).
संघ तीन अलग भागों का योग है: (9+4+11=24)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों की गिनती जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts: (9+4+11=24). In a Venn diagram, add the disjoint regions.
इन दोनों शर्तों का अर्थ है कि (B) का हर तत्व (A) में है। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / Both conditions mean every element of (B) lies in (A). Therefore \(B\subseteq A\).
\(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\) है और (A) के साथ सामान्य तत्व ({3,5,9}) हैं। पहले अंदर का संघ निकालें। / Here \(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\), and the common elements with (A) are ({3,5,9}). Find the inner union first.
किसी भी सेट (A) को (\(A\setminus C\)) और (\(A\cap C\)) में बाँटा जा सकता है। दोनों भाग (B) के समान हैं, इसलिए (A=B) है। / Any set (A) can be split into (\(A\setminus C\)) and (\(A\cap C\)). Since both parts match those of (B), (A=B).
यदि \(A\cap B\) का हर तत्व (C) में है, तो (C) के बाहर इसका कोई तत्व नहीं होगा। इसलिए (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing) है। / If every element of \(A\cap B\) lies in (C), then none of its elements lies outside (C). Hence (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing).
\(A\cap B={3,4}\) और \(A\setminus B={1,2}\) असंयुक्त हैं। इनके पावर सेटों में सामान्य उपसमुच्चय केवल \(\varnothing\) है। / Here \(A\cap B={3,4}\) and \(A\setminus B={1,2}\) are disjoint. The only common subset in their power sets is \(\varnothing\).
समान संघ और समान प्रतिच्छेद मिलकर (B) और (C) की सदस्यता को हर स्थिति में समान कर देते हैं। इसलिए (B=C) सिद्ध होता है। / Equal unions and equal intersections make membership in (B) and (C) identical in every case. Therefore (B=C).
\(A\cap B=A\setminus C\) होने से \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं है। इसलिए \(A\cap B\cap C=\varnothing\) है। / Since \(A\cap B=A\setminus C\), no element of \(A\cap B\) lies in (C). Hence \(A\cap B\cap C=\varnothing\).
\(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है। अंतर में ({-4,4}) बचता है। / Here \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The difference leaves ({-4,4}).
\(B\setminus C\) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं। (A) से इन्हें हटाने पर (A) में या तो (B) से बाहर वाले या (C) में रहने वाले तत्व बचते हैं। / The set \(B\setminus C\) has elements in (B) but not in (C). Removing these from (A) leaves elements of (A) outside (B) or inside (C).
(n(A)=0) से \(A=\varnothing\) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होगा। खाली सेट का किसी भी सेट से प्रतिच्छेद खाली होता है। / Since (n(A)=0), \(A=\varnothing\), so \(A\cap B=\varnothing\). The intersection of the empty set with any set is empty.
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\) सदैव असंयुक्त होते हैं। बराबर होने पर दोनों खाली होंगे, इसलिए (A) भी खाली है। / The sets \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are always disjoint. If they are equal, both are empty, so (A) is empty.
(A) के सभी तत्व (B) में हैं और (B) का (C) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए \(A\cap C=\varnothing\) है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has no common element with (C). Therefore \(A\cap C=\varnothing\).
\(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) और \(C=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। सामान्य (2) को एक बार गिनकर कुल (9) तत्व मिलते हैं। / Here \(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) and \(C=\{2,3,5,7,11\}\). Counting common (2) once gives (9) elements.
दायाँ पक्ष (B) का कोई तत्व नहीं रखता, पर बायाँ पक्ष (B) के सभी तत्व रखता है। समानता तभी संभव है जब \(B=\varnothing\) हो। / The right side contains no element of (B), while the left side contains all elements of (B). Equality is possible only when \(B=\varnothing\).
A. \(C\subseteq A\cap B\) और (A=B)/\(C\subseteq A\cap B\) and (A=B)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(A\cap B\subseteq A\cup B\) और समानता में \(A\cup B\) भी उसी के बराबर होना चाहिए, इसलिए (A=B) और \(C\subseteq A\cap B\) है। / Since \(A\cap B\subseteq A\cup B\), equality forces \(A\cup B=A\cap B\), so (A=B), and also \(C\subseteq A\cap B\).
\(A\cup B={1,2,3,4}\) है और (C) से (2,3) हटते हैं। इसलिए ({1,4}) बचता है। / Here \(A\cup B={1,2,3,4}\), and (2,3) are removed by (C). So ({1,4}) remains.
संघ \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), और \(A\cap B\) का योग है। अतः \(|A\cap B|=70-25-30=15\) है। / The union is the sum of \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence \(|A\cap B|=70-25-30=15\).
(A=\(A\setminus B\)\cup\(A\cap B\)) होता है। दोनों भाग (C) में हैं, इसलिए \(A\subseteq C\) है। / We have (A=\(A\setminus B\)\cup\(A\cap B\)). Since both parts lie in (C), \(A\subseteq C\).
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है, इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। चूँकि \(A\cup B=U\), इसलिए (B=U) है। / From \(A\setminus B=\varnothing\), \(A\subseteq B\), so \(A\cup B=B\). Since \(A\cup B=U\), we get (B=U).
दोनों पक्ष उन तत्वों को बताते हैं जो (A) और (C) में हैं लेकिन (B) में नहीं हैं। इसलिए पहचान सदैव सत्य है। / Both sides describe elements that are in (A) and (C) but not in (B). Hence the identity is always true.
