Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(A \subseteq U\), इसलिए (\mathcal{P}(A)) के सभी \(2^4=16\) सदस्य (U) के उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में पहले \(A \subseteq U\) जांचें। / Since \(A \subseteq U\), all \(2^4=16\) members of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (U). In exams, first check whether \(A \subseteq U\).
(|\mathcal{P}(A)|=128=27), इसलिए (|A|=7) और (|A'|=4)। non-empty subsets \(2^4-1=15\) होंगे। / Since (|\mathcal{P}(A)|=128=27), (|A|=7) and (|A'|=4). The non-empty subsets are \(2^4-1=15\).
यहां (A'=U-A={b,d}), इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=22=4)। परीक्षा में पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / Here (A'=U-A={b,d}), so (|\mathcal{P}(A')|=22=4). In exams, always take complement with respect to the given universal set.
यहां \(A\cap B={3,4}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (6) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64)। / Here \(A\cap B={3,4}\), so (\(A\cap B\)') has (6) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64).
क्योंकि (|U-A|=9-5=4), इसलिए (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16)। परीक्षा में पहले पूरक की संख्या निकालें। / Since (|U-A|=9-5=4), (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16). In exams, first find the number of elements in the complement.
(a) fixed होने पर odd cardinality के लिए बाकी (4) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{4-1}=8\) हैं। / After fixing (a), an even number of elements must be chosen from the remaining (4) elements for odd cardinality. The number of such choices is \(2^{4-1}=8\).
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) सदस्य है, इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) सदस्य होंगे। खाली समुच्चय और उसके घात समुच्चय को अलग समझें। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) member, so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) members. Treat the empty set and its power set separately.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग सदस्य हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। nested sets को अलग तत्व मानकर गिनना चाहिए। / The set (A) has (3) distinct members, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). Nested sets should be counted as separate elements.
(|\mathcal{P}(A)|=64), इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^{64}\) सदस्य होंगे। परीक्षा में घात समुच्चय पर फिर घात समुच्चय लगाने में घातांक न घटाएं। / (|\mathcal{P}(A)|=64), so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^{64}\) members. In exams, do not reduce the exponent when taking a power set again.
(|U|=8) और (|A|=5), इसलिए \(2^8-2^5=256-32=224\)। परीक्षा में यह ( \mathcal{P}(U-A)) नहीं है। / (|U|=8) and (|A|=5), so \(2^8-2^5=256-32=224\). In exams, this is not (\mathcal{P}(U-A)).
यहां (A'={1,3,5}), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में विकल्प को पूरक के उपसमुच्चय के रूप में जांचें। / Here (A'={1,3,5}), so ({2}) is not its subset. In exams, check each option as a subset of the complement.
({2}) स्वयं (A) का एक तत्व है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है। परीक्षा में तत्व और एकल समुच्चय में फर्क करें। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A). In exams, distinguish an element from a singleton set.
समुच्चय (A) में दो अलग सदस्य \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। परीक्षा में nested elements को गिनते समय सावधान रहें। / The set (A) has two distinct members \(\varnothing\) and \({\varnothing}\), so (|\mathcal{P}(A)|=22=4). In exams, be careful while counting nested elements.
क्योंकि \(A\in \mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in \mathcal{P}(U)\) और अतः \(A\subseteq U\)। परीक्षा में \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\) से \(A\subseteq U\) निकालें। / Since \(A\in \mathcal{P}(A)\), \(A\in \mathcal{P}(U)\), hence \(A\subseteq U\). In exams, infer \(A\subseteq U\) from \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\).
(|\mathcal{P}(A')|=8=23), इसलिए (|A'|=3) और (|A|=7-3=4)। परीक्षा में \(2^n\) से (n) पहचानें। / (|\mathcal{P}(A')|=8=23), so (|A'|=3) and (|A|=7-3=4). In exams, identify (n) from \(2^n\).
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए कुल subsets \(2^3=8\) और proper subsets (8-1=7) हैं। परीक्षा में पूरा समुच्चय हटाना न भूलें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so total subsets are \(2^3=8\) and proper subsets are (8-1=7). In exams, do not forget to exclude the whole set.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए दोनों के समान उपसमुच्चय में केवल \(\varnothing\) है। परीक्षा में intersection of power sets को common subsets समझें। / (A) and (A') are disjoint, so the only common subset is \(\varnothing\). In exams, understand intersection of power sets as common subsets.
जब \(A\cap B=\varnothing\), तब common subset केवल \(\varnothing\) होता है। इसलिए cardinality (1) है। / When \(A\cap B=\varnothing\), the only common subset is \(\varnothing\). Therefore the cardinality is (1).
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में यह identity बहुत उपयोगी है। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^2=4\). This identity is very useful in exams.
(|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), इसलिए अंतर (9) है। परीक्षा में \(\varnothing\) दोनों में common गिनें। / (|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), so the difference is (9). In exams, count \(\varnothing\) as common to both.
दो-सदस्यीय subsets की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए combination लगाएं। / The number of two-element subsets is \(\binom{3}{2}=3\). In exams, use combinations for fixed-size subsets.
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) होती है। परीक्षा में \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) का प्रयोग तेज गणना के लिए करें। / The number of such subsets is \(\binom{6}{4}=15\). In exams, use \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) for faster calculation.
किसी (n)-तत्वीय समुच्चय में odd subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, अतः \(2^6=64\)। परीक्षा में even और odd subsets बराबर होते हैं। / For an (n)-element set, the number of odd subsets is \(2^{n-1}\), so \(2^6=64\). In exams, even and odd subsets are equal in number.
Even cardinality subsets की संख्या \(2^{8-1}=128\) है। परीक्षा में \(n\geq1\) होने पर even और odd subsets बराबर याद रखें। / The number of even cardinality subsets is \(2^{8-1}=128\). In exams, remember that for \(n\geq1\), even and odd subsets are equal.
(1) fixed है और (5) excluded है, इसलिए शेष ({2,3,4}) से \(2^3=8\) choices मिलती हैं। परीक्षा में fixed और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (5) is excluded, so the remaining ({2,3,4}) gives \(2^3=8\) choices. In exams, separate fixed and forbidden elements.
(a) और (b) fixed हैं, बाकी (4) तत्वों पर \(2^4=16\) विकल्प हैं। परीक्षा में compulsory elements को पहले रख दें। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (4) elements give \(2^4=16\) choices. In exams, place compulsory elements first.
कुल subsets \(2^6=64\) हैं और (2,4) दोनों न होने वाले subsets \(2^4=16\) हैं, इसलिए उत्तर (48) है। परीक्षा में at least one के लिए complement method तेज है। / Total subsets are \(2^6=64\), and subsets containing neither (2) nor (4) are \(2^4=16\), so the answer is (48). In exams, use complement method for at least one.
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
\(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), इसलिए complement ({4,6}) है और power set size \(2^2=4\)। परीक्षा में पहले union फिर complement लें। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), so the complement is ({4,6}) and the power set size is \(2^2=4\). In exams, take union first and then complement.
(U) में primes ({2,3,5,7,11}) हैं, इसलिए (|A'|=12-5=7) और \(2^7=128\) नहीं? ध्यान दें (A') में (7) तत्व हैं, इसलिए सही मान (128) है। / The primes in (U) are ({2,3,5,7,11}), so (|A'|=12-5=7) and the value is \(2^7=128\). In exams, do not count (1) as prime.
(A') में odd numbers ({1,3,5,7,9}) हैं, इसलिए non-empty subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में \(\varnothing\) हटाने पर (1) घटाएं। / (A') contains odd numbers ({1,3,5,7,9}), so non-empty subsets are \(2^5-1=31\). In exams, subtract (1) to exclude \(\varnothing\).
B. असत्य क्योंकि \(1\notin \mathcal{P}(A)\)/False because \(1\notin \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
\({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \(1\in\mathcal{P}(A)\), जो गलत है। परीक्षा में \(\in\) और \(\subseteq\) का अर्थ ध्यान से पढ़ें। / \({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) means \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false. In exams, read the meanings of \(\in\) and \(\subseteq\) carefully.
(a) excluded होने पर शेष (3) तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3=8\) subsets हैं। परीक्षा में excluded element हटाकर गिनें। / When (a) is excluded, the remaining (3) elements are free, so there are \(2^3=8\) subsets. In exams, remove the excluded element and count.
जोड़ी ({2,3}) के लिए (2) choices हैं और बाकी (3) तत्वों के लिए \(2^3\), इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। परीक्षा में linked elements को cases में बांटें। / For the pair ({2,3}), there are (2) choices and for the remaining (3) elements there are \(2^3\), so \(2\cdot2^3=16\). In exams, split linked elements into cases.
(1) fixed होने के बाद बाकी (5) तत्वों में odd number चुनना होगा, जिसकी संख्या \(2^{5-1}=16\) है। परीक्षा में total parity को fixed element से adjust करें। / After fixing (1), an odd number must be chosen from the remaining (5) elements, which is \(2^{5-1}=16\). In exams, adjust total parity using the fixed element.
\(A\cap B={3}\), इसलिए complement में (5) तत्व हैं और power set size \(2^5=32\) है। परीक्षा में complement सार्वत्रिक समुच्चय से लें। / \(A\cap B={3}\), so the complement has (5) elements and the power set size is \(2^5=32\). In exams, take complement from the universal set.
\(|A\cup B|=6+5-3=8\), इसलिए complement में (2) तत्व हैं और power set size \(2^2=4\) है। परीक्षा में inclusion-exclusion लगाएं। / \(|A\cup B|=6+5-3=8\), so the complement has (2) elements and the power set size is \(2^2=4\). In exams, use inclusion-exclusion.
(|B-A|=2) और (|U-B|=3), इसलिए \(2^2+2^3=4+8=12\)। परीक्षा में nested subsets में अंतर सीधे घटाकर निकालें। / (|B-A|=2) and (|U-B|=3), so \(2^2+2^3=4+8=12\). In exams, find differences in nested subsets by direct subtraction.
Singleton members ({1},{2},{3}) हैं, इसलिए संख्या (3) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3}), so the number is (3). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में singleton members भी (8) होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality के बराबर होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Disjoint subsets केवल ({3,4}) से बनेंगे, इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटाएं। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4}), so the number is \(2^2=4\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A'={4,5,6,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए proper subsets \(2^4-1=15\) हैं। परीक्षा में पूरा (A') हटाना न भूलें। / (A'={4,5,6,7}) has (4) elements, so proper subsets are \(2^4-1=15\). In exams, remember to exclude the whole (A').
\(2^n=2^{12-n}\), इसलिए (n=12-n) और (n=6)। परीक्षा में समान base के exponents बराबर करें। / \(2^n=2^{12-n}\), so (n=12-n) and (n=6). In exams, equate exponents when the bases are equal.
(|\mathcal{P}(A)|=32=25), इसलिए (|A|=5) और (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / (|\mathcal{P}(A)|=32=25), so (|A|=5) and (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
कुल \(2^5=32\) subsets हैं और sizes (0,1,2) वाले (1+5+10=16) हैं, इसलिए उत्तर (16) है। परीक्षा में complement counting करें। / Total subsets are \(2^5=32\), and those of sizes (0,1,2) are (1+5+10=16), so the answer is (16). In exams, use complement counting.
संख्या \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\) है। परीक्षा में at least का अर्थ सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number is \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\). In exams, at least means adding all larger sizes.
(1) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व (5) में से चुने जाएंगे: \(\binom{5}{2}=10\)। परीक्षा में compulsory element के बाद remaining choice गिनें। / (1) is fixed, so the remaining (2) elements are chosen from (5): \(\binom{5}{2}=10\). In exams, count remaining choices after fixing the compulsory element.
(1) हटाने पर (5) तत्व बचते हैं, जिनमें से (3) चुनने हैं: \(\binom{5}{3}=10\)। परीक्षा में excluded element को पहले हटा दें। / After removing (1), (5) elements remain and (3) must be chosen: \(\binom{5}{3}=10\). In exams, remove the excluded element first.
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें। / (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
(A') से disjoint subsets केवल (A) के subsets होंगे, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में disjoint from complement का अर्थ subset of original set समझें। / Subsets disjoint from (A') are exactly subsets of (A), so the number is \(2^4=16\). In exams, understand disjoint from complement as subset of the original set.
