Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\sin(\pi-x)=\sin x\), क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश में साइन धनात्मक होता है।/\(\sin(\pi-x)=\sin x\), because sine is positive in the second quadrant.
Explanation
Simple Explanation
सही पहचान \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\) है। \(\pi-x\) द्वितीय चतुर्थांश में होता है, जहाँ साइन धनात्मक रहता है। परीक्षा में \(\pi\pm x\) के लिए चतुर्थांश का चिह्न जरूर जाँचें। / Using the subtraction formula, \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\). The angle \(\pi-x\) is in quadrant II, where sine is positive. Exam tip: check the quadrant sign for identities involving \(\pi\pm x\).
\\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\) होता है। \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\) पर \\(\cos x=0\\), इसलिए शून्य से भाग नहीं हो सकता और \\(\tan x\\) अपरिभाषित है। परीक्षा टिप: हर भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य जाँचें। / \\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\). At \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\), \\(\cos x=0\\), so division by zero makes \\(\tan x\\) undefined. Exam tip: for a quotient function, first check where its denominator is zero.
\(\sin x\) का मान सदैव \(-1\) और \(1\) के बीच रहता है तथा दोनों मान प्राप्त भी हो सकते हैं; जैसे \(\sin(\pi/2)=1\) और \(\sin(3\pi/2)=-1\)। इसलिए सिरों को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: परास लिखते समय बराबर का चिह्न न भूलें। / The value of \(\sin x\) always lies from \(-1\) to \(1\), and both endpoints occur: \(\sin(\pi/2)=1\) and \(\sin(3\pi/2)=-1\). Hence the endpoints must be included. Exam tip: use inclusive inequality signs for the range of sine.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=5\), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=5\), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
साइन फलन के रूप \(a\sin bx\) में आयाम \(|a|\) होता है। यहाँ \(a=4\) है, इसलिए आयाम \(|4|=4\) है। \(2\) का संबंध फलन के आवर्तकाल से है, आयाम से नहीं। परीक्षा टिप: आयाम ज्ञात करने के लिए \(\sin\) या \(\cos\) के बाहर के गुणांक का परम मान लें। / For a sine function of the form \(a\sin bx\), the amplitude is \(|a|\). Here, \(a=4\), so the amplitude is \(|4|=4\). The factor \(2\) affects the period of the function, not its amplitude. Exam tip: To find amplitude, take the absolute value of the coefficient outside \(\sin\) or \(\cos\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(-3\cos x\) का मान \(-3\) से \(3\) के बीच होगा। जब \(\cos x=1\) होता है, तब \(-3\cos x=-3\) प्राप्त होता है, अतः न्यूनतम मान \(-3\) है। \(3\) अधिकतम मान है, जो \(\cos x=-1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय फलन को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर उसके अधिकतम और न्यूनतम मानों का क्रम बदल जाता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), \(-3\cos x\) lies between \(-3\) and \(3\). When \(\cos x=1\), we get \(-3\cos x=-3\); hence the minimum value is \(-3\). The value \(3\) is the maximum, obtained when \(\cos x=-1\). Exam tip: multiplying a trigonometric function by a negative number reverses the order of its maximum and minimum values.
क्योंकि \(\sin x\) का मान हमेशा \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(2+\sin x\) का न्यूनतम मान \(2-1=1\) और अधिकतम मान \(2+1=3\) है। अतः परिसर \([1,3]\) है। \([-1,1]\) केवल \(\sin x\) का परिसर है, \(2+\sin x\) का नहीं। परीक्षा टिप: किसी फलन में नियत संख्या जोड़ने पर परिसर की दोनों सीमाएँ उतनी ही संख्या से बदलती हैं। / Since \(\sin x\) always lies between \(-1\) and \(1\), the minimum value of \(2+\sin x\) is \(2-1=1\) and its maximum value is \(2+1=3\). Hence, its range is \([1,3]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin x\) alone, not of \(2+\sin x\). Exam tip: when a constant is added to a function, add that constant to both endpoints of its range.
क्योंकि \(\cos x\) का मान \([-1,1]\) के बीच होता है, इसलिए \(1-\cos x\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, जब \(\cos x=1\), और अधिकतम मान \(2\) होता है, जब \(\cos x=-1\)। अतः परिसर \([0,2]\) है। विकल्प \([-1,1]\) केवल \(\cos x\) का परिसर है, \(1-\cos x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a-\cos x\) के परिसर के लिए \(\cos x\in[-1,1]\) रखकर दोनों सीमांत मान जाँचें। / Since \(\cos x\) lies in \([-1,1]\), the minimum value of \(1-\cos x\) is \(0\) when \(\cos x=1\), and its maximum value is \(2\) when \(\cos x=-1\). Hence, the range is \([0,2]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\cos x\), not of \(1-\cos x\). Exam tip: for an expression such as \(a-\cos x\), substitute the endpoint values \(-1\) and \(1\) of \(\cos x\).
