Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(P) के अवयव (2,3,5,7) हैं। / The elements of (P) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
ये चारों अवयव (Q) में मिलते हैं, इसलिए \(P\subseteq Q\)। / All four are present in (Q), so \(P\subseteq Q\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बड़े समुच्चय में अतिरिक्त अवयव होने से उपसमुच्चय संबंध टूटता नहीं है। / Exam tip: extra elements in the larger set do not break the subset relation.
\(A\subseteq B\) बताता है कि (A) के सभी अवयव (B) में हैं। / \(A\subseteq B\) says all elements of (A) are in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\ne B\) बताता है कि (A), (B) के बराबर नहीं है, इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / \(A\ne B\) says (A) is not equal to (B), so (A) is a proper subset of (B).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / Exam tip: equality is not allowed in a proper subset.
([1,6)) में (1) शामिल है लेकिन (6) शामिल नहीं है। / In ([1,6)), (1) is included but (6) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शर्त \(1\le x<6\) होगी। / Therefore the condition is \(1\le x<6\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: पहले बाएं कोष्ठक से बाईं असमानता और फिर दाएं कोष्ठक से दाईं असमानता तय करें। / Exam tip: decide the left inequality from the left bracket and the right inequality from the right bracket.
([0,10]) में (0) से (10) तक की सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / ([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
((2,8]) की हर संख्या इसी सीमा के अंदर आती है। / Every number in ((2,8]) lies within this range.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय अंतराल चुनते समय दोनों सिरों को मूल सीमा के अंदर रखें। / Exam tip: while choosing a subset interval, keep both endpoints within the original limits.
((1,4)) में (1) से बड़ी और (4) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। / ((1,4)) contains all real numbers greater than (1) and less than (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{2}\), (1) से बड़ा और (4) से छोटा है, इसलिए यह (A) में है। / \(\frac{3}{2}\) is greater than (1) and less than (4), so it belongs to (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतराल में केवल पूर्णांक नहीं, भिन्न और दशमलव भी आ सकते हैं। / Exam tip: intervals include fractions and decimals too, not just integers.
\(\{3,9\}\) में प्रयुक्त सदस्य मात्र संख्याएँ हैं, और \(A\) के सभी सदस्यों (3, 6, 9) में से 3 और 9 शामिल हैं; अतः \(\{3,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में सभी उपसमुच्चय जैसे \(\{3,9\}\) एक-एक करके तत्व होते हैं, इसलिए \(\{3,9\}\in\mathcal{P}(A)\) सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) का प्रत्येक तत्व एक संख्या है, कोई उपसमुच्चय नहीं — इसलिए \(\{3,9\}\) सदस्य (element) के रूप में \(A\) का भाग नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\{3,9\}\) तथा \(A\) के तत्व समान नहीं हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि वाक्य का उल्टा सच है (यह उपसमुच्चय है)। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के तत्व और उसके उपसमुच्चयों में फर्क अलग-अलग चिन्हों से किया जाता है — "\(\in\)" तत्व के लिए और "\(\subseteq\)" उपसमुच्चय के लिए। / All elements of \(\{3,9\}\) (i.e. 3 and 9) belong to \(A\), so \(\{3,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\), hence every subset (including \(\{3,9\}\)) is an element of \(\mathcal{P}(A)\). Thus \(\{3,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is correct. Option A is wrong because the elements of \(A\) are numbers 3, 6, 9 — not set-members like \(\{3,9\}\). Option C is false since \(\{3,9\}\) is not equal to \(A\). Option D is false because \(\{3,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: distinguish "\(\in\) (element of)" from "\(\subseteq\) (subset of)" — subsets of \(A\) lie in \(\mathcal{P}(A)\).
यदि \(A\cap B = A\) तो इसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है; अतः \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि उससे यह आवश्यक नहीं होता कि \(B\) के सभी तत्व \(A\) में हों। विकल्प C (\(A\cap B=\varnothing\)) तभी सही हो सकता है जब \(A=\varnothing\) हो — सामान्य कथन से यह लागू नहीं होता। विकल्प D (\(A'=B\)) भी नहीं निकाला जा सकता क्योंकि दिया गया सम्बन्ध समूचे \(B\) को \(A\) के पूरक के रूप में निर्दिष्ट्र नहीं करता। परिक्षा‑टिप: किसी भी प्रश्न में यदि \(X\cap Y=X\) दिया हो तो तुरंत लिखें \(X\subseteq Y\)। / \(A\cap B = A\) means every element of \(A\) is also in \(B\); therefore \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is incorrect because that would require every element of \(B\) to lie in \(A\), which is not implied. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) holds only in the special case \(A=\varnothing\), so it is not generally true. Option D (\(A' = B\)) is not implied by the given equality. Exam tip: the identity \(X\cap Y = X\) is equivalent to the subset relation \(X\subseteq Y\).
