Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
भिन्न (Y − X) में Y के वे सदस्य आते हैं जो X में नहीं हैं। Y के सदस्य हैं 3, 7 और 9। 3 और 7 दोनों X में भी मौजूद हैं, केवल 9 X में नहीं है; इसलिए Y − X = {9}। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प {3, 7} है — यह वास्तव में Y ∩ X (intersection) है, जबकि {1,5} X − Y है। परिक्षा-संकेत: सदस्यता की जाँच करें — हर तत्व के लिए पूछें “क्या यह X में है?” और केवल उन तत्वों को रखें जो X में नहीं हैं। / The difference Y − X contains elements of Y that are not in X. Y = {3, 7, 9}; 3 and 7 are in X as well, so they are excluded. Only 9 is not in X, so Y − X = {9}. The closest distractor {3, 7} represents Y ∩ X (the intersection), not the difference; {1, 5} would be X − Y. Exam tip: check membership for each element (or sketch a quick Venn diagram) to avoid mixing up intersection and difference.
यदि \(A\subseteq B\), तो \(A\) के सभी तत्व पहले से ही \(B\) में मौजूद हैं। इसलिए संघ में कोई नया तत्व नहीं जुड़ता और \(A\cup B=B\) होगा। विकल्प B और C कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकते हैं — ध्यान रखें कि जब \(A\subseteq B\) हो तब \(A\cap B=A\) होता है, अतः वे उत्तर सही नहीं हैं। विकल्प D में \(A\setminus B\) इस स्थिति में शून सेट \(\varnothing\) होगा। परीक्षा-सुझाव: पहले यह जाँचें कि कोई समुच्चय अन्य का भाग है; इससे \(\cup,\cap,\setminus\) के परिणाम तुरंत मिल जाते हैं। / If \(A\subseteq B\), every element of A is already in B, so the union adds nothing new and \(A\cup B=B\). A common distractor is \(A\cap B\); note that when \(A\subseteq B\) we have \(A\cap B=A\), so that option is not the union unless \(A=B\). \(A\setminus B\) would be \(\varnothing\) in this case, also incorrect. Exam tip: remember that for \(A\subseteq B\) you immediately get \(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\), and \(A\setminus B=\varnothing\).
किसी समुच्चय का अपने‑आप के साथ संघ उसी समुच्चय के बराबर होता है — यह idempotent गुण है। इसलिए \((A\cup A)=A\)। विकल्प B सामान्यतः गलत है क्योंकि \(\varnothing\) खाली समुच्चय है और केवल तब बराबर होगा जब \(A\) भी खाली हो; विकल्प C में \(A\setminus A=\varnothing\) आता है; विकल्प D में \(A\cap\varnothing=\varnothing\) होता है। परीक्षा सुझाव: संघ का idempotent नियम \((X\cup X=X)\) याद रखें और अलग‑अलग सेट ऑपरेशनों के परिणामों (जैसे \(A\setminus A\), \(A\cap\varnothing\)) का अभ्यास करें। / The union of a set with itself equals the same set — this is the idempotent law. Hence \((A\cup A)=A\). Option B is incorrect because \(\varnothing\) is the empty set and equals \(A\) only when \(A\) itself is empty; option C gives \(A\setminus A=\varnothing\); option D gives \(A\cap\varnothing=\varnothing\). Exam tip: Memorize the idempotent law \((X\cup X=X)\) and practise basic set operation results like \(A\setminus A\) and \(A\cap\varnothing\).
यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्त्व जो \(A\) में है वह \(A\cap B\) में भी होगा। पर \(A\cap B\) के तत्त्व वे ही होते हैं जो दोनों \(A\) और \(B\) में हैं; इसलिए किसी भी \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी होगा। यह बिल्कुल यही कहता है कि \(A\subseteq B\)। दूसरे विकल्प (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्त्व हो सकते हैं जो \(A\) में न हों — उदाहरण के लिए \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(A\cap B=A\) रहता है पर \(B\subseteq A\) गलत है। विकल्प (\(A=B^{c}\)) और (\(A\cup B=\varnothing\)) सामान्यतः लागू नहीं होते। परीक्षा टिप: सदस्य-स्तरीय (element-wise) तर्क अपनाएँ — किसी भी \(x\in A\) को लेकर दिखाएँ कि \(x\in B\)। / If \(A\cap B = A\), then every element of \(A\) is also an element of \(A\cap B\). But elements of \(A\cap B\) are precisely those in both \(A\) and \(B\), so for any \(x\in A\) we must have \(x\in B\). This means \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is not necessarily true — for example \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) satisfies \(A\cap B=A\) but not \(B\subseteq A\). Options C and D do not follow from the given equality in general. Exam tip: use an element-wise proof or remember the identity \(A\cap B=A\iff A\subseteq B\).
यदि \(A\cup B = A\) है तो अर्थ यह है कि \(A\) में \(B\) के सभी तत्व पहले से मौजूद हैं। इसलिए हर \(b\in B\) के लिए \(b\in A\) होगा, यानि \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) तब ही सही होगा जब \(A=B\) (पर्याप्त नहीं साबित)। विकल्प \(A\cap B=\varnothing\) गलत है क्योंकि यदि \(B\subseteq A\) है तो परस्पर छेद (intersection) \(B\) बराबर भी हो सकता है, खाली सेट नहीं जरुरी। विकल्प \(B\setminus A=B\) तब ही संभव है जब \(B\) का कोई भी सदस्य \(A\) में न हो — पर यहाँ \(B\subseteq A\) है, अतः \(B\setminus A=\varnothing\) होगा। परीक्षा-सुझाव: एक सरल सदस्य-युक्त तर्क (take an arbitrary element of B) या Venn-आलेख से यह तुरंत दिखता है। / From \(A\cup B = A\) we infer every element of \(B\) is already in \(A\); hence for any \(b\in B\) we have \(b\in A\), i.e. \(B\subseteq A\). \(A\subseteq B\) is not implied (it would require \(A=B\)). \(A\cap B=\varnothing\) is not necessarily true — if \(B\subseteq A\) then the intersection may be \(B\) (not empty). \(B\setminus A=B\) would mean no element of \(B\) lies in \(A\), which contradicts \(B\subseteq A\); in fact then \(B\setminus A=\varnothing\). Exam tip: Use the element-wise definition of union/subset (pick an arbitrary element of B) or draw a quick Venn diagram to check containment.
घात समुच्चय में मूल समुच्चय के सभी उपसमुच्चय आते हैं। / The power set contains all subsets of the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({a,c}) में (c) है, जो (A) में नहीं है। इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / ({a,c}) contains (c), which is not in (A). So it is not a subset of (A).
Step 3
Exam Tip
घात समुच्चय के प्रश्न में पहले जाँचें कि दिया गया समुच्चय वास्तव में उपसमुच्चय है या नहीं। / In power set questions, first check whether the given set is truly a subset.
