Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संघ में दोनों अंतराल शामिल होंगे। / The union includes both intervals.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((3,4)) के बीच खाली भाग है, इसलिए इन्हें एक ही अंतराल नहीं बना सकते। / There is a gap between ((1,2)) and ((3,4)), so they cannot be merged into one interval.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग हिस्सों वाले संघ को अलग अंतरालों के संघ के रूप में लिखें। / For separated parts, write the union as separate intervals.
A. रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है/The empty set is a subset of every set
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। / The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिल सकता जो दूसरे समुच्चय में न हो। इसी कारण \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। / So there is no element that can fail to belong to another set. Hence \(\emptyset\) is a subset of every set.
Step 3
Exam Tip
\(\emptyset\) और ({0}) में अंतर याद रखें। / Remember that \(\emptyset\) and ({0}) are different.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है (A) का हर अवयव (B) में है। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(B\subseteq A\) का अर्थ है (B) का हर अवयव (A) में है। इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। / \(B\subseteq A\) means every element of (B) is in (A). Therefore the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय सिद्ध करने के लिए दोनों दिशाओं का उपसमुच्चय संबंध दिखाएँ। / To prove equality of sets, prove subset relation in both directions.
\(x\geq 3\) में (3) शामिल है। / In \(x\geq 3\), (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
(3) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए \([3,\infty\))। / All real numbers greater than (3) are included, so the interval is \([3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है। / Always use a round bracket with \(\infty\).
(A) में (4) तक की संख्याएँ हैं और (4) शामिल है। / (A) contains numbers up to (4), including (4).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में (1) से बड़ी संख्याएँ हैं, पर (1) शामिल नहीं है। साझा भाग ((1,4]) है। / (B) contains numbers greater than (1), excluding (1). The common part is ((1,4]).
Step 3
Exam Tip
अनंत वाले अंतरालों में भी साझा सीमा ध्यान से तय करें। / Even with infinite intervals, decide endpoint inclusion carefully.
प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों में आती हैं। / Natural numbers are included in integers.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक परिमेय संख्याओं में और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं में आती हैं। / Integers are included in rational numbers, and rational numbers are included in real numbers.
Step 3
Exam Tip
संख्या-समुच्चयों की श्रेणी \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\) याद रखें। / Remember the chain \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\).
