Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार किसी सेट \(B\) को \(A\) का उपसमुच्चय तभी कहा जाएगा जब \(B\) के हर सदस्य \(A\) में भी उपस्थित हों। यहाँ \(A=\{1,2,5,10\}\)। विकल्प A, B और C के सभी तत्व \(A\) में हैं, अतः वे उपसमुच्चय हैं। विकल्प D में तत्व 4 भी है, पर 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, इसलिए \({2,4}\) \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सेट को उपसमुच्चय जाँचना हो तो उसके हर तत्व को मूल सेट में एक‑एक करके चेक करें। / By definition, B is a subset of A only if every element of B belongs to A. Here \(A=\{1,2,5,10\}\). All elements of options A, B and C are contained in A, so they are subsets. Option D contains 4, which is not an element of A, therefore \({2,4}\) is not a subset of A. Exam tip: when checking subsets list the elements of A (e.g. divisors of 10) first and verify each candidate element individually.
कथन: \(\emptyset\subseteq A\) हर समुच्चय \(A\) के लिए सत्य है। कारण: \(\emptyset\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं है जो \(A\) में न हो। नीचे दिए गए विकल्पों में सही चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) तभी होगा जब प्रत्येक तत्त्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी हो। \(\emptyset\) में कोई तत्त्व नहीं है, अतः "प्रत्येक तत्त्व \(\emptyset\) का \(A\) में होना" सत्य है (vacuous truth)। कारण वही तथ्य सीधे बताता है: \(\emptyset\) में कोई विरोधी तत्त्व नहीं है, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। निकटतम विचलन (विकल्प D) गलत इसलिए है कि कारण वास्तव में कथन की व्याख्या करता है; वह कोई अलग तर्क नहीं दे रहा। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय की परिभाषा को हमेशा "हर तत्त्व के लिए" के रूप में पढ़ें — खाली समुच्चय के लिए यह शून्य विरोधी देता है। / By definition, \(B\subseteq A\) iff every element of \(B\) is an element of \(A\). Since \(\emptyset\) has no elements, the statement "every element of \(\emptyset\) belongs to \(A\)" is vacuously true. The reason restates this absence of a counterexample, so it correctly explains the assertion. Closest distractor (option D) is wrong because it denies that the reason explains the assertion, whereas here the reason is exactly the justification. Exam tip: translate subset claims into "for all x in B, x in A"; for \(\emptyset\) such universal claims are always true (vacuous truth).
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
हर सदस्य के लिए तीन विकल्प हैं: किसी में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Hence there are \(3^3=27\) pairs.
({1,2}) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व ({3,4,5,6}) से चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / ({1,2}) is fixed, so choose the remaining (2) elements from ({3,4,5,6}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
"ठीक एक" का अर्थ है या तो सिर्फ मोबाइल या सिर्फ लैपटॉप — दोनों नहीं। सिर्फ मोबाइल = 92 − 51 = 41, सिर्फ लैपटॉप = 78 − 51 = 27। इसलिए ठीक एक = 41 + 27 = \(68\)। विकल्प B (119) दरअसल कम-से-कम एक डिवाइस रखने वालों की गिनती है (92+78−51) और इसलिए गलत है। परीक्षा सुझाव: "ठीक एक" के लिए पहले हर समूह में से दोनों रखने वालों को घटाएँ, फिर शेषों को जोड़ें। / "Exactly one" means either only mobile or only laptop (not both). Only mobile = 92 − 51 = 41, only laptop = 78 − 51 = 27. So exactly one = 41 + 27 = \(68\). Option B (119) is the number with at least one device (92+78−51), not exactly one, so it is incorrect. Exam tip: subtract the intersection from each group to get "only" counts, then add them to find exactly one.
तीन क्लबों में \(n(A)=72\), \(n(B)=68\), \(n(C)=61\), \(n(A\cap B)=29\), \(n(B\cap C)=24\), \(n(C\cap A)=26\) और \(n(A\cap B\cap C)=11\) दिए हैं। केवल \(B\) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल \(B\) वाले सदस्य के लिए समावेशन–बहिष्करण का उपयोग करें: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(68-29-24+11=26\)। विकल्प 15 तब होता है जब त्रि-इंटरसेक्शन \(+11\) जोड़ना भूल जाएँ (यानी \(68-29-24=15\))—यह गलत है क्योंकि केंद्र भाग को दो बार घटाने पर उसे एक बार जोड़ना जरूरी है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाकर केंद्र व किनारे के हिस्से लेबल करें; इससे केवल-एक सेट के हिस्से सीधे मिल जाते हैं। / Use inclusion–exclusion for the part only in B: only \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Thus \(68-29-24+11=26\). The option 15 corresponds to forgetting to add back the triple intersection (\(68-29-24=15\)), which is incorrect because the common central region was subtracted twice and must be added once. Exam tip: sketch a three-set Venn diagram and label each region; compute the ‘only B’ region directly from the overlaps.
