Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरक में (U) के वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं, इसलिए संख्या (n-r) है। यह सूत्र तभी लागू करें जब \(A\subseteq U\) हो। / The complement contains elements of (U) not in (A), so the number is (n-r). Use this formula only when \(A\subseteq U\).
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में है। इसलिए जो अवयव \(B\) में नहीं हैं, वे \(A\) में भी नहीं होंगे; अतः \(B'\subseteq A'\)। ध्यान रखें: पूरक लेने पर समावेशन का चिह्न उलट जाता है। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) lies in \(B\). Hence, an element outside \(B\) must also be outside \(A\), so \(B'\subseteq A'\). Exam tip: taking complements reverses inclusion; write \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\).
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उस समुच्चय में नहीं होते। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। \(U\) से \(1,5,7,11\) हटाने पर \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B पूरक समुच्चय \(A'\) है, \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव हटाएँ। / The complement of a set contains all elements of the universal set that are not in that set. Hence, \(A=U\setminus A'\). Removing \(1,5,7,11\) from \(U\) gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\). Option B is the given complement \(A'\), not the set \(A\). Exam tip: Always find a complement relative to the specified universal set.
समुच्चय \(A\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(-1\) से छोटी या बराबर हैं अथवा 4 से बड़ी हैं। इसलिए इसके पूरक में \(x>-1\) और \(x\le 4\) होना चाहिए, अतः \(A'=(-1,4]\)। \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि वह \(A\) में है, जबकि 4 शामिल है क्योंकि \(A\) में शर्त \(x>4\) है, \(x\ge 4\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमानता के चिह्न और endpoints की inclusion को ध्यान से बदलें। / The set \(A\) contains all real numbers satisfying \(x\le -1\) or \(x>4\). Hence its complement must satisfy both \(x>-1\) and \(x\le 4\), giving \(A'=(-1,4]\). The endpoint \(-1\) is excluded because it belongs to \(A\), whereas 4 is included because the condition in \(A\) is \(x>4\), not \(x\ge 4\). Exam tip: while taking a complement, check the inequality signs and endpoint inclusion carefully.
यदि (U) में (200) विद्यार्थी हैं, (120) हिंदी लेते हैं, (90) अंग्रेजी लेते हैं और (50) दोनों लेते हैं, तो केवल कोई भी भाषा न लेने वालों की संख्या क्या है?
\(|H\cup E|=120+90-50=160\), इसलिए (|\(H\cup E\)'|=200-160=40)। neither को (\(H\cup E\)') के रूप में पढ़ें। / \(|H\cup E|=120+90-50=160\), so (|\(H\cup E\)'|=200-160=40). Read neither as (\(H\cup E\)').
\(A\cap B'=\varnothing\) का अर्थ है (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए हर (A) का अवयव (B) में है। / \(A\cap B'=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence every element of (A) is in (B).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\), इसलिए \(B\subseteq A\)। पूरक लेकर संबंध आसान हो जाता है। / Taking complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\), so \(B\subseteq A\). Taking complements makes the relation easier.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,36\}\) है, \(A\), 4 के गुणजों का समुच्चय है और \(B\), 9 के गुणजों का समुच्चय है, तो \(|A'\cap B'|\) का मान क्या होगा?
समुच्चय \(A\) में 4 के 9 गुणज और समुच्चय \(B\) में 9 के 4 गुणज हैं। दोनों में समान तत्त्व केवल 36 है, क्योंकि 4 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य 36 है। इसलिए \(|A\cup B|=9+4-1=12\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), अतः \(|A'\cap B'|=36-12=24\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों के प्रतिच्छेद को पहले संघ के पूरक में बदलना गणना को सरल बनाता है। / Set \(A\) contains 9 multiples of 4, while set \(B\) contains 4 multiples of 9. Their only common element is 36, since the least common multiple of 4 and 9 is 36. Thus, \(|A\cup B|=9+4-1=12\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(|A'\cap B'|=36-12=24\). Exam tip: Convert an intersection of complements into the complement of a union before counting.
\(x^2-1\ge 0\) का हल \(x\le -1\) या \(x\ge 1\) है। इसका पूरक (-1<x<1), यानी ((-1,1)) है। / The solution of \(x^2-1\ge 0\) is \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Its complement is (-1<x<1), that is ((-1,1)).
