Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए \(x^2=4\) रखते हैं। इससे \(x=\pm2\), अर्थात् \(x=-2\) और \(x=2\) प्राप्त होते हैं। इन दोनों प्रतिच्छेदों के बीच ही परवलय और रेखा एक सीमित क्षेत्र बनाते हैं, इसलिए सीमा \(-2\le x\le2\) है। विकल्प B में ऋणात्मक \(x\)-मान छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी सीमा ज्ञात करने के लिए पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद हल करें। / At the intersection points, the two curves have equal \(y\)-values, so \(x^2=4\). Thus, \(x=-2\) and \(x=2\). The finite region lies between these two intersection points, giving \(-2\le x\le2\). Option B incorrectly excludes the negative \(x\)-values. Exam tip: To find the horizontal extent of a bounded region, first solve the equations of the two boundaries simultaneously.
जब \(0\le x\le 4\), तब \(|x|=x\) और \(|x-4|=4-x\)। अतः \(y=x+(4-x)=4\), जो एक स्थिर मान है; इसलिए ग्राफ इस पूरे अंतराल पर क्षैतिज रहता है। \(x<0\) और \(x>4\) पर फलन के ढाल क्रमशः \(-2\) और \(2\) हैं, इसलिए वहाँ ग्राफ क्षैतिज नहीं है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान वाले फलन में पहले उन बिंदुओं को पहचानें जहाँ उनके अंदर का व्यंजक शून्य होता है। / For \(0\le x\le 4\), we have \(|x|=x\) and \(|x-4|=4-x\). Hence \(y=x+(4-x)=4\), a constant value, so the graph is horizontal throughout this interval. For \(x<0\) and \(x>4\), the slopes are \(-2\) and \(2\), respectively, so the graph is not horizontal there. Exam tip: For a function involving absolute values, first identify the points where the expressions inside the modulus signs become zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान (0) है इसलिए (y) का अधिकतम मान (3) है। उल्टा मापांक ग्राफ शीर्ष पर अधिकतम देता है। / The minimum value of (|x-2|) is (0), so the maximum value of (y) is (3). An inverted modulus graph gives its maximum at the vertex.
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (|-x|=|x|) है इसलिए (f(-x)=f(x)) मिलता है। इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (|-x|=|x|), we get (f(-x)=f(x)). Therefore the graph is symmetric about the (y)-axis.
मापांक फलन का शीर्ष तब मिलता है जब उसके अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\)। इस मान पर \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), अतः शीर्ष-बिंदु \((-4,-2)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का शीर्ष \((a,b)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus is zero: \(x+4=0\), giving \(x=-4\). Then \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), so the vertex is \((-4,-2)\). Option B results from taking the sign of the horizontal shift incorrectly. Exam tip: the vertex of \(|x-a|+b\) is \((a,b)\).
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}) है पर (x=2) निषिद्ध रहता है। इसलिए ग्राफ (y=x+2) जैसा है लेकिन (x=2) पर छिद्र है। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}), but (x=2) remains excluded. So the graph is like (y=x+2) with a hole at (x=2).
जब \(x>1\), तब \(x-1>0\) और \(x+3>0\), इसलिए \(|x-1|=x-1\) तथा \(|x+3|=x+3\)। अतः \(y=(x-1)-(x+3)=-4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न की उपेक्षा हो गई है, जबकि सही उत्तर सभी \(x>1\) के लिए स्थिर मान \(-4\) है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस खोलने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न अवश्य जाँचें। / For \(x>1\), both \(x-1\) and \(x+3\) are positive. Hence, \(|x-1|=x-1\) and \(|x+3|=x+3\). Therefore, \(y=(x-1)-(x+3)=-4\). Option B results from ignoring the negative sign, while the correct value is the constant \(-4\) for every \(x>1\). Exam tip: Always determine the sign of each expression before removing modulus bars.
\(x\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(2|x+1|-6=0\), जिससे \(|x+1|=3\) प्राप्त होता है। अतः \(x+1=3\) या \(x+1=-3\), यानी \(x=2\) या \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) और \((2,0)\) हैं। विकल्प B में \(x\)-मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has a \(y\)-coordinate of 0. Thus, \(2|x+1|-6=0\), giving \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), so \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the intersection points are \((-4,0)\) and \((2,0)\). The values in option B do not satisfy the equation. Exam tip: To find an \(x\)-intercept, set \(y=0\).
\(-5\le x\le 1\) पर योग ((x+5)+(1-x)=6) होता है। ऐसे ग्राफ में दोनों शून्य बिंदुओं के बीच भाग क्षैतिज होता है। / On \(-5\le x\le 1\), the sum is ((x+5)+(1-x)=6). In such graphs, the part between the two zero points is horizontal.
