Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), तो \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)। अतः यह एक सम फलन है और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता। साथ ही, इसका डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) और रेंज \((0,\infty)\) है, न कि \(\mathbb{R}\)। परीक्षा टिप: \(f(-x)=f(x)\) मिलने पर ग्राफ की y-अक्षीय सममिति पहचानें। / For \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), we have \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\). Therefore, the function is even and its graph is symmetric about the y-axis. Option B is incorrect because the function is undefined at \(x=0\), so the graph does not pass through the origin. Its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) and its range is \((0,\infty)\), not \(\mathbb{R}\). Exam tip: If \(f(-x)=f(x)\), the graph has symmetry about the y-axis.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का प्रांत \(x\ne 0\) है। \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), इसलिए यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्षीय सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए। \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, और ग्राफ प्रथम तथा तृतीय दोनों चतुर्थांशों में स्थित होता है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / The domain of \(f(x)=\frac{1}{x}\) is \(x\ne 0\). Since \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), the function is odd and its graph is symmetric about the origin. Option B is incorrect because symmetry about the \(y\)-axis requires an even function. The function is undefined at \(x=0\), and its graph lies in both the first and third quadrants. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph is symmetric about the origin.
\\(x\\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \\(y\\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \\(0=x^2-4\\), अर्थात \\(x^2=4\\) और \\(x=\\pm2\\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\((-2,0)\\) और \\((2,0)\\) हैं। विकल्प B में \\(x=0\\) होने से वे \\(y\\)-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(x\\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Every point on the \\(x\\)-axis has \\(y=0\\). Thus, \\(0=x^2-4\\), so \\(x^2=4\\) and \\(x=\\pm2\\). Therefore, the intersection points are \\((-2,0)\\) and \\((2,0)\\). The points in option B have \\(x=0\\), so they lie on the \\(y\\)-axis instead. Exam tip: To find intersections with the \\(x\\)-axis, set \\(y=0\\).
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
A. 6 इकाई ऊपर खिसकाकर/By shifting it 6 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2+6\) में 6, पूरे फलन के बाहर जोड़ा गया है। इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए नया \(y\)-मान पुराने मान से 6 अधिक होगा और पूरा परवलय 6 इकाई ऊपर खिसकेगा। नीचे खिसकना \(y=x^2-6\) में होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=f(x)+k\) में \(k>0\) होने पर ग्राफ \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / In \(y=x^2+6\), 6 is added outside the function, so for every \(x\), the new \(y\)-value is 6 greater than before. Thus the entire parabola shifts 6 units upward. A downward shift would correspond to \(y=x^2-6\). Exam tip: in \(y=f(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2/Vertical stretch by a factor of 2
Explanation
Simple Explanation
\(y=2|x|\) में मूल फलन \(|x|\) के मानों को बाहर से 2 से गुणा किया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान दोगुना हो जाता है, जबकि \(x\)-मान वही रहते हैं; यह ऊर्ध्वाधर खिंचाव है और शीर्षबिंदु मूलबिंदु पर ही रहता है। क्षैतिज खिंचाव तब होता जब परिवर्तन इनपुट के भीतर होता, जैसे \(y=|2x|\)। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन दर्शाता है। / In \(y=2|x|\), the output of the parent function \(|x|\) is multiplied by 2. Thus every \(y\)-value doubles while the \(x\)-values remain unchanged, producing a vertical stretch; the vertex stays at the origin. A horizontal stretch would involve changing the input, as in \(y=|2x|\). Exam tip: a multiplier outside the function causes a vertical transformation, whereas one inside the function affects the horizontal scale.
\(y=|2x|\) में मूल फलन के इनपुट \(x\) के स्थान पर \(2x\) है। इसलिए समान \(y\)-मान के लिए आवश्यक \(x\)-मान आधा हो जाता है और ग्राफ \(y\)-अक्ष की ओर सिमटता है; यह क्षैतिज संपीड़न है, जिसका पैमाना \(1/2\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि ऊर्ध्वाधर परिवर्तन तब होता जब पूरे फलन को बाहर से \(1/2\) से गुणा किया जाता। परीक्षा-युक्ति: इनपुट के अंदर का गुणक क्षैतिज और फलन के बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर परिवर्तन करता है। / In \(y=|2x|\), the input \(x\) of the original function is replaced by \(2x\). Thus, for the same \(y\)-value, the required \(x\)-value is halved, so the graph moves toward the \(y\)-axis. This is a horizontal compression with scale factor \(1/2\). Option B is incorrect because a vertical change would result from multiplying the entire function by \(1/2\) outside the function. Exam tip: a multiplier inside the input causes a horizontal transformation, while a multiplier outside the function causes a vertical transformation.
A. 1 इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting it down by 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3-1\) में \(y=x^3\) के मानों से 1 घटाया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-निर्देशांक 1 कम हो जाता है और पूरा ग्राफ 1 इकाई नीचे खिसकता है। इसके विपरीत, \(y=(x-1)^3\) ग्राफ को 1 इकाई दाईं ओर ले जाता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक ऊर्ध्वाधर, जबकि \(x\) के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(y=x^3-1\), 1 is subtracted from every value of \(y=x^3\). Thus each \(y\)-coordinate decreases by 1, so the entire graph shifts 1 unit downward. In contrast, \(y=(x-1)^3\) would shift the graph 1 unit to the right. Exam tip: a constant added or subtracted outside the function causes a vertical shift, whereas a change inside the input causes a horizontal shift.
