Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|x-1|=|x+1|) का अर्थ है कि (x) दोनों बिंदुओं (1) और (-1) से समान दूरी पर है, इसलिए (x=0)। मापांक में दूरी का विचार उपयोगी है। / (|x-1|=|x+1|) means (x) is equally distant from (1) and (-1), so (x=0). The distance idea is useful in modulus questions.
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(-2)=(-2)^2=4\) और \(g(-2)=2(-2)+1=-3\), इसलिए \((f+g)(-2)=4+(-3)=1\)। विकल्प 3 केवल \(f(-2)-g(-2)\) जैसे गलत संचालन से आ सकता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-2)=(-2)^2=4\) and \(g(-2)=2(-2)+1=-3\), so \((f+g)(-2)=4+(-3)=1\). The value 3 may result from an incorrect operation such as subtracting \(g(-2)\) from \(f(-2)\). Exam tip: evaluate the two functions separately before adding their values.
(f) के लिए \(x^2-9\ne 0\), इसलिए \(x\ne \pm3\), और (f(x)) कभी (0) नहीं होता। अतः केवल (-3) और (3) हटेंगे। / For (f), \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne \pm3\), and (f(x)) is never (0). Hence only (-3) and (3) are excluded.
((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), इसलिए शून्य (x=0) और (x=1) हैं। गुणनखंडन विशेषज्ञ स्तर पर सबसे तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), so the zeroes are (x=0) and (x=1). Factorisation is the fastest method at expert level.
वर्गमूल के लिए \(x\ge -2\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। गुणन में दोनों शर्तें साथ लगती हैं। / The square root needs \(x\ge -2\), and the denominator needs \(x\ne 1\). In a product, both conditions apply together.
((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), इसलिए (a=1)। पैरामीटर वाले प्रश्न में दिए मान को सीधे रखें। / ((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), so (a=1). In parameter questions, substitute the given input directly.
फलनों का योग बिंदुवार लिया जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+2x)+(x^2-2x)=2x^2\)। अतः \(\left(\frac{f+g}{2}\right)(x)=\frac{2x^2}{2}=x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C और D क्रमशः केवल \(f\) और \(g\) हैं, जबकि विकल्प B में वर्ग पद छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: समान तथा विपरीत पदों को जोड़ते समय पहले उनका कटाव जाँचें। / Function addition is performed pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+2x)+(x^2-2x)=2x^2\). Therefore, \(\left(\frac{f+g}{2}\right)(x)=\frac{2x^2}{2}=x^2\), so option A is correct. Options C and D are simply \(f\) and \(g\), respectively, while option B omits the squared term. Exam tip: when adding symmetric expressions, first check which opposite terms cancel.
\(\frac{f}{g}=\frac{x^2}{4}\) और \(x^2\ge 0\), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। धन स्थिर से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / \(\frac{f}{g}=\frac{x^2}{4}\) and \(x^2\ge 0\), so the range is \([0,\infty\)). Division by a positive constant does not change sign.
(f−g)(x)=f(x)−g(x)=(x²+1)−(x²−1)=x²+1−x²+1=2। इसलिए परिणाम सभी x के लिए स्थिर फलन 2 है। विकल्प D में ऋण चिह्नों का सही परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को घटाते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के चिह्न बदल दें। / (f−g)(x)=f(x)−g(x)=(x²+1)−(x²−1)=x²+1−x²+1=2. Thus, the difference is the constant function 2 for every x. Option D results from mishandling the signs while subtracting g(x). Exam tip: when subtracting a function, change the sign of every term in the function being subtracted.
((f-g)(x)=\frac{x-2}{x-2}=1), पर (x=2) मूल प्रांत से बाहर है। सरलीकरण के बाद भी प्रतिबंध याद रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x-2}{x-2}=1), but (x=2) is outside the original domain. Keep restrictions even after simplification.
