Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\lfloor x\rfloor+{x}=\lfloor x\rfloor+x-\lfloor x\rfloor=x\)। परिभाषा को सीधे रखने से प्रश्न सरल हो जाता है। / \(\lfloor x\rfloor+{x}=\lfloor x\rfloor+x-\lfloor x\rfloor=x\). Substituting the definition directly makes the question simple.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर \(x-2\ne 0\) चाहिए। भागफल में वर्गमूल और हर दोनों प्रतिबंध लागू होते हैं। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\), and the denominator needs \(x-2\ne 0\). In a quotient, both square-root and denominator restrictions apply.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए रूप (x-2) है पर (x=3) हटेगा। रद्द किए गए हर को कभी न भूलें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the form is (x-2), but (x=3) is excluded. Never forget the cancelled denominator.
हर में \(\sqrt{x-2}\) है, इसलिए (x-2>0), यानी (x>2)। हर वाले वर्गमूल में शून्य भी निषिद्ध होता है। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0), meaning (x>2). A square root in the denominator cannot be zero.
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(1)=f(1)g(1)\)। यहाँ \(f(1)=1+a\) और \(g(1)=1-a\), इसलिए \((1+a)(1-a)=0\)। शून्य गुणनफल नियम से \(a=-1\) या \(a=1\), अर्थात् \(a=\pm1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(a=0\) रखने पर गुणनफल \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का मान दिए गए बिंदु पर निकालकर शून्य गुणनफल नियम लगाएँ। / For the product of functions, \((fg)(1)=f(1)g(1)\). Here, \(f(1)=1+a\) and \(g(1)=1-a\), so \((1+a)(1-a)=0\). By the zero-product property, \(a=-1\) or \(a=1\), hence \(a=\pm1\). Option B is incorrect because substituting \(a=0\) gives a product equal to \(1\). Exam tip: Evaluate the functions at the specified point first, then apply the zero-product property.
\(\frac{1}{x}\) वाले पद कटते हैं, पर (x=0) प्रांत से बाहर रहता है। अभिव्यक्ति सरल होने पर भी मूल प्रतिबंध रखें। / The \(\frac{1}{x}\) terms cancel, but (x=0) remains outside the domain. Keep original restrictions even after simplification.
A. वे \(x\ne 1\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 1\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x+1) सरलीकृत होता है, लेकिन (f) पर (x=1) परिभाषित नहीं है। समान नियम और समान प्रांत दोनों जरूरी हैं। / (f(x)) simplifies to (x+1), but (f) is not defined at (x=1). Equal functions need both the same rule and the same domain.
((f+g)(x)=x-2-x=x(x-1)), इसलिए शून्य (0) और (1) हैं। शून्य समुच्चय के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-x=x(x-1)), so the zeroes are (0) and (1). For a zero set, set the function equal to (0).
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए (x=2) और (x=-2) निषिद्ध हैं। योग में दोनों फलनों के प्रांत का प्रतिच्छेद लें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so (x=2) and (x=-2) are forbidden. For a sum, take the intersection of the domains.
A. (1) के निकट लेकिन बराबर नहीं/approaches (1) but not equal
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\), इसलिए मान (1) से छोटा रहकर (1) के निकट जाता है। यहां वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता। / \(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\), so the value stays below (1) and approaches (1). The actual maximum is not attained here.
