Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
लघुगणक के लिए (x-2>0) और वर्गमूल के लिए \(8-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए संयुक्त प्रांत ((2,8]) है। / The logarithm needs (x-2>0), and the square root needs \(8-x\ge 0\). Hence the common domain is ((2,8]).
B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 5\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+5) बनता है, पर (x=5) पर (f) परिभाषित नहीं है। समान फलन के लिए नियम और प्रांत दोनों देखें। / (f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 । इसलिए (f-g)(3)=9a+1=22 , जिससे a=\\frac{7}{3} प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: फलनों का अंतर निकालते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण -2ax घटाने पर +2ax बनता है। / (f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 . Hence, (f-g)(3)=9a+1=22 , giving a=\\frac{7}{3} . Therefore, option D is correct. Exam tip: When subtracting one function from another, change the sign of every term in the second function; thus, subtracting -2ax produces +2ax .
\(f(4)=0\) और \(g(4)=1\), इसलिए भागफल (0) है। मान रखने से पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / \(f(4)=0\) and \(g(4)=1\), so the quotient is (0). Before substituting, check whether the denominator is zero.
((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), इसलिए न्यूनतम मान (8) है। वर्ग पूर्ण करना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), so the minimum value is (8). Completing the square is fast for such questions.
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह ध्यान से रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(f(x)=g(x)\), अर्थात् \(|x-3|=|x+1|\)। इसलिए \(x\), 3 और −1 से समान दूरी पर होना चाहिए। इन दोनों संख्याओं का मध्यबिंदु \(x=1\) है, अतः सही उत्तर C है। \(x=3\) और \(x=-1\) पर क्रमशः केवल एक फलन का मान शून्य होता है, दोनों बराबर नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|=|x-b|\) में समाधान अक्सर \(a\) और \(b\) का मध्यबिंदु होता है। / The equation \((f-g)(x)=0\) means \(f(x)=g(x)\), so \(|x-3|=|x+1|\). Thus, \(x\) must be equally distant from 3 and −1. Their midpoint is \(x=1\), so option C is correct. At \(x=3\) or \(x=-1\), only one of the two function values is zero; they are not equal. Exam tip: For \(|x-a|=|x-b|\), the solution is generally the midpoint of \(a\) and \(b\).
\((fg)(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(x-\frac{3}{x}\right)=x^2-\frac{9}{x^2}\)। यहां \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगती है। / \((fg)(x)=\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(x-\frac{3}{x}\right)=x^2-\frac{9}{x^2}\). Use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) here.
(f) के लिए \(x^2-16\ne 0\), इसलिए \(x\ne -4,4\), और (f(x)\ne 0) हमेशा है। इसलिए केवल (-4) और (4) हटेंगे। / For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
समान पद जोड़ने पर \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x) और (1-5=-4) मिलता है। पदों को डिग्री के अनुसार जोड़ें। / Adding like terms gives \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x), and (1-5=-4). Combine terms by degree.
