Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f) में (x=-2) पर हर शून्य है, इसलिए (f) और (f-g) अपरिभाषित हैं। सरलीकरण से पहले मूल प्रांत देखें। / In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), इसलिए यह स्थिर फलन है। घटाव में दूसरे कोष्ठक के चिन्ह बदलें। / ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\), यानी \(-4\le x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। प्रांत इन शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
(f=(x+2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x+2\), पर (x=-2) हटेगा। रद्द हुआ हर भी प्रांत में प्रतिबंध देता है। / (f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
((fg)(x)=3x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद दोनों दिशाओं में जाता है। / ((fg)(x)=3x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial extends in both directions.
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\) प्राप्त होता है। अब \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(-4x\) आएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) में वर्ग पूर्ण करते समय \(x\) के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग जोड़ें और घटाएँ। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\). Completing the square gives \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \(-4x\), not \(+4x\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\), take half of the coefficient of \(x\), square it, and add and subtract that value.
समान हर से (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x})। दूसरे अंश को घटाते समय दोनों चिन्ह बदलते हैं। / With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
((f-g)(x)=x-2-2x-1), इसलिए यह हमेशा ऋणात्मक नहीं है। सही हल के लिए द्विघात असमता हल करनी होती है। / This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), जो ((x+3)2=0) पर न्यूनतम \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) मानना उपयोगी है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
पहले g(x) और h(x) का गुणन करें: g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2। इसलिए (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8। अतः विकल्प A सही है। विकल्प D में 2gh के पूरे पद को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: संयुक्त फलनों में गुणन और संख्यात्मक गुणक को पहले व्यवस्थित करके फिर घटाएँ। / First multiply g(x) and h(x): g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2. Hence, (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8. Therefore, option A is correct. Option D results from failing to subtract the complete term 2gh correctly. Exam tip: In algebraic combinations of functions, evaluate the product and its numerical coefficient before performing subtraction.
