Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मान लें कि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक सम फलन और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक विषम फलन है। तब \(h(x)=f(g(x))\) के बारे में कौन-सा कथन सदैव सत्य है?
क्योंकि \(g(-x)=-g(x)\) और \(f\) सम है, इसलिए \(h(-x)=f(-g(x))=f(g(x))=h(x)\)। अतः \(h\) सम है; यह अनिवार्यतः अचर नहीं होता। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले भीतर वाले फलन की सममिति लगाएँ। / Since \(g(-x)=-g(x)\) and \(f\) is even, \(h(-x)=f(-g(x))=f(g(x))=h(x)\). Hence \(h\) is even, not necessarily constant. Exam tip: apply the parity of the inner function first in a composition.
फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\)। अतः \(x=0\) या \(x=4\) पर यह फलन शून्य होता है, इसलिए सही समुच्चय \(\{0,4\}\) है। विकल्प B केवल \(f(x)\) के शून्यकों \(0\) और \(5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग के शून्यक निकालने से पहले दोनों फलनों को जोड़कर प्राप्त व्यंजक का गुणनखंड करें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\). Thus, the expression is zero when \(x=0\) or \(x=4\), so the correct set is \(\{0,4\}\). Option B gives the zeroes of \(f(x)\) alone, not those of \(f(x)+g(x)\). Exam tip: first form the sum of the functions and then factorise it to find its zeroes.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \(f(1)=1^2+2(1)=3\) और \(g(1)=1^2-2(1)=-1\)। इसलिए \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प C केवल तब आता जब योग या किसी अन्य संक्रिया को गलत ढंग से लागू किया जाए। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान ज्ञात करके उनका गुणन करें। / For product functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(1)=1^2+2(1)=3\) and \(g(1)=1^2-2(1)=-1\). Therefore, \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), so option B is correct. Option C would result from applying an incorrect operation instead of multiplication. Exam tip: To evaluate \((fg)(a)\), first find \(f(a)\) and \(g(a)\), then multiply them.
(f) के लिए \(x\ne 3\) और भागफल में (g(x)\ne 0) भी \(x\ne 3\) देता है। इसलिए केवल (3) हटेगा। / For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
((f+g)(x)=2|x|), और (x<0) पर यह (-2x) भी होता है। दिए विकल्पों में (2|x|) सामान्य और सही रूप है। / ((f+g)(x)=2|x|), and for (x<0) it is also (-2x). Among the options, (2|x|) is a general correct form.
\(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) और \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\)। इसलिए \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), अतः विकल्प A सही है। यहाँ \(x=3\) और \(x=1\) पर फलन अपरिभाषित हैं, लेकिन \(x=2\) दोनों फलनों के प्रांत में है। परीक्षा-युक्ति: अंतर फलन का मान निकालते समय पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग ज्ञात करें। / \(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) and \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\). Therefore, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), so option A is correct. The functions are undefined at \(x=3\) and \(x=1\), but \(x=2\) belongs to the domain of both functions. Exam tip: For a difference function, evaluate the two functions separately and then subtract.
((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। पूर्ण वर्ग का परास अऋण होता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), so the range is \([0,\infty\)). The range of a perfect square is non-negative.
समान हर से (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। प्रांत में \(x=\pm1\) हटेंगे। / With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
(f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x। दिया है कि यह 5x के बराबर है, इसलिए x के गुणांक मिलाने पर a − b = 5। विकल्प B में चिह्न की गलती के कारण −5 आता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों को घटाकर उनके गुणांकों की तुलना करें। / (f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x. Since this equals 5x, comparing the coefficients of x gives a − b = 5. Option B results from a sign error. Exam tip: subtract like-powered terms first, then compare their coefficients.
उत्पाद सरल होकर (1) हो सकता है, पर मूल फलनों में (x=3) और (x=-3) निषिद्ध हैं। प्रांत मूल शर्तों से तय होता है। / The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
